Derivadas: Concepto, Reglas y Aplicaciones en Optimización

Question 1

¿Cuál es la función de la segunda derivada en relación con la gráfica de una función?

Accepted Answer

Mide la concavidad de la gráfica.

Answer

Determina la positividad de la primera derivada.

Answer

Es siempre el doble de la primera derivada.

Answer

Nunca puede ser cero.

Question 2

¿Cuál es la derivada de la función potencia f(x) = x^n, donde n es un número real?

Accepted Answer

n*x^(n-1)

Answer

n*x^n

Answer

x^(n-1)

Answer

x^n+1

Question 3

¿Cómo se emplean las derivadas en física para determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en un momento específico?

Accepted Answer

Para calcular la velocidad instantánea de un cuerpo en un instante determinado.

Answer

Para calcular la aceleración media de un cuerpo durante un intervalo de tiempo.

Answer

Para calcular el desplazamiento total de un cuerpo en un intervalo de tiempo.

Question 4

¿Cuál es la relación entre la derivada de una función y la pendiente de la recta tangente a su gráfica en un punto dado?

Accepted Answer

En un punto determinado, la derivada es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Answer

En un punto determinado, la derivada es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por ese punto y el origen.

Answer

En un punto determinado, la derivada es igual a la pendiente de la recta paralela al eje x que pasa por ese punto.

Answer

En un punto determinado, la derivada no está relacionada con ninguna pendiente.

Question 5

¿Cómo se utilizan las derivadas para minimizar la resistencia al aire que experimenta un objeto en movimiento?

Accepted Answer

Calculando la derivada y analizando sus puntos críticos y concavidad.

Answer

Calculando la segunda derivada y buscando los puntos de inflexión.

Answer

Integrando la derivada para calcular el área de la sección transversal del objeto.

Question 6

¿Cuál es la diferencia entre la derivada de una función y su diferencial? Proporciona ejemplos.

Accepted Answer

La derivada es una función que representa la tasa de cambio instantánea, mientras que el diferencial es un número que representa el cambio aproximado de la función en un pequeño intervalo.

Answer

El diferencial es la derivada multiplicada por una constante.

Answer

La derivada es el cociente entre el cambio de la función y el cambio de la variable independiente.

Answer

La derivada y el diferencial son conceptos equivalentes.

Question 7

¿Cómo se emplean las derivadas para hallar la velocidad de una reacción química?

Accepted Answer

Calculando la pendiente de la gráfica de concentración en función del tiempo.

Answer

Calculando el área bajo la gráfica de concentración en función del tiempo.

Answer

Calculando el punto de inflexión de la gráfica de concentración en función del tiempo.

Answer

Calculando la derivada de la constante de velocidad respecto al tiempo.

Question 8

¿Cuál es el método para hallar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado utilizando la derivada?

Accepted Answer

Evaluar la derivada en ese punto

Answer

Calcular la segunda derivada en ese punto

Answer

Resolver la ecuación de la curva en ese punto

Answer

Calcular la integral de la derivada en ese punto

Question 9

¿Cuál es la regla general para derivar una función polinomial de grado 'n'?

Accepted Answer

(n)⋅x^(n−1)

Answer

x^n

Answer

(n)⋅x^n

Answer

x/(n+1)

Question 10

¿Cómo se utiliza la derivada para estudiar el movimiento en física?

Accepted Answer

La derivada de la posición respecto al tiempo da la velocidad instantánea.

Accepted Answer

La derivada de la velocidad respecto al tiempo da la aceleración instantánea.

Answer

La derivada de la aceleración respecto al tiempo da la velocidad instantánea.

Answer

La derivada del desplazamiento respecto al tiempo da la aceleración instantánea.

Question 11

¿Por qué es esencial la regla de la cadena para derivar funciones compuestas?

Accepted Answer

Permite calcular la tasa de cambio de funciones compuestas, lo que es crucial para su análisis.

Answer

Simplifica las derivadas de funciones compuestas tratándolas como funciones independientes.

Answer

Solo es aplicable a funciones polinómicas y logarítmicas.

Question 12

Calcula la derivada de la función f(x) = 2x³ + 5x - 1.

Accepted Answer

6x² + 5

Answer

8x³ + 5

Answer

6x² - 5

Answer

8x³ - 5

Question 13

Determina la derivada de f(x) = e^x + ln(x).

Accepted Answer

e^x + 1/x

Answer

e^x - 1/x

Answer

e^x + ln(x)

Answer

e^x - ln(x)

Question 14

Determina la regla de la derivada de una función constante f(x) = c.

Accepted Answer

f'(x) = 0

Answer

f'(x) = 1

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = c

Question 15

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = sen(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

sen(x)

Answer

-sen(x)

Question 16

Sea f(x) una función derivable en todo el dominio real. Si f'(x) > 0 para todo x, ¿qué se puede afirmar sobre f(x)?

Accepted Answer

f(x) es creciente en R.

Answer

f(x) es decreciente en R.

Answer

f(x) tiene un extremo relativo en cada punto de R.

Answer

f(x) es constante en R.

Question 17

Determina la integral que es igual a la derivada f'(x) = sen(x) + cos(x).

Accepted Answer

∫(sen(x) + cos(x)) dx

Answer

∫(cos(x) - sen(x)) dx

Answer

∫(cos(x) + sen(x)) dx

Answer

∫(sen(x) - cos(x)) dx

Question 18

Calcula la derivada de la función f(x) = (x² - 1)/(x + 1).

Accepted Answer

(2x(x + 1) - (x² - 1))/(x + 1)²

Answer

(x² + 1)/(x + 1)²

Answer

(2x(x - 1) + (x² - 1))/(x + 1)²

Answer

(x² + 1)/(x - 1)²

Question 19

¿Cuál es el punto crítico de la función f(x) = x³ - 3x² + 2?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = 3

Question 20

Calcula la derivada segunda de la función f(x) = sen(x).

Accepted Answer

-cos(x)

Answer

cos(x)

Answer

-sen(x)

Answer

sen(x)

Question 21

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = |x - 2|?

Accepted Answer

1 si x > 2, -1 si x < 2

Answer

1 si x > 2, 0 si x ≤ 2

Answer

0 si x > 2, -1 si x < 2

Answer

0

Question 22

Calcula la derivada implícita de la ecuación y² - x³ = 1.

Accepted Answer

dy/dx = x²/(2y)

Answer

dy/dx = -x²/(2y)

Answer

dy/dx = 2y/x³

Answer

dy/dx = -2y/x³

Question 23

Determina la derivada de la función f(x) = x³ - 2x² + 5.

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

x² - 4x

Answer

9x² - 4x

Answer

3x³ - 4x² + 5

Question 24

Calcula la derivada de la función f(x) = sen(x²).

Accepted Answer

2x cos(x²)

Answer

cos(x²)

Answer

x cos(x²)

Answer

x² cos(x²)

Question 25

Determina la derivada de la función f(x) = ln(x² + 1).

Accepted Answer

2x/(x² + 1)

Answer

1/(x² + 1)

Answer

1/(2x)

Answer

(x² + 1)/x

Question 26

Calcula la aceleración instantánea de un objeto que se mueve con velocidad v(t) = t² - 2t + 1.

Accepted Answer

2t - 2

Answer

t - 2

Answer

2t + 1

Answer

t + 1

Question 27

¿Cuál es la ecuación de la tangente a la curva y = x³ - 2x + 1 en el punto (1, 0)?

Accepted Answer

y = 3x - 2

Answer

y = x - 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = 2x - 1

Question 28

¿Cuál de las siguientes funciones no es diferenciable en todos sus puntos?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 29

Calcula la derivada de la función f(x) = x³ - 2x² + 5.

Accepted Answer

3x²(x-2)

Answer

3x²(x+2)

Answer

x³(x-2)

Answer

x³(x+2)

Question 30

¿Cuál es la derivada de h(x) = e^x + sen(x)?

Accepted Answer

e^x + cos(x)

Answer

e^x - cos(x)

Answer

e^x + tan(x)

Answer

e^x - tan(x)

Question 31

Calcula la derivada de f(x) = |x|.

Accepted Answer

1 si x > 0, -1 si x < 0

Answer

-1 si x > 0, 1 si x < 0

Answer

1

Answer

-1

Question 32

¿Cuál de las siguientes funciones tiene una derivada constante?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = ln(x)

Question 33

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = ln(x + 1)?

Accepted Answer

1/(x + 1)

Answer

(x + 1)/x

Answer

1/x

Answer

x

Question 34

La derivada de la función f(x) = e^(2x + 1) es:

Accepted Answer

2e^(2x + 1)

Answer

e^(2x + 1)

Answer

2xe^(2x + 1)

Answer

e^2x

Question 35

¿Cuál es el valor mínimo absoluto de la función f(x) = x² - 4x + 5?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

5

Question 36

La derivada de la función f(x) = |x| es:

Accepted Answer

x/|x|

Answer

1/|x|

Answer

0

Answer

Indefinida

Question 37

Si la función f(x) es continua y derivable en el intervalo [a, b], ¿cuál es el teorema que garantiza la existencia de al menos un número c en el intervalo (a, b) tal que f'(c) = 0?

Accepted Answer

Teorema de Rolle

Answer

Teorema del Valor Medio

Answer

Teorema del Máximo y del Mínimo

Answer

Teorema de Taylor

Question 38

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x³ con respecto a x?

Accepted Answer

3x²

Answer

3x

Answer

x²

Answer

1

Question 39

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = sen(x) con respecto a x?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

sen(x)

Answer

-cos(x)

Answer

-sen(x)

Question 40

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = log(x) con respecto a x?

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Answer

-1/x

Answer

x²

Question 41

¿Cuál es el valor máximo de la función f(x) = x² - 4x + 3?

Accepted Answer

2

Answer

-2

Answer

0

Answer

1

Question 42

¿Cuál es la derivada segunda de la función f(x) = e^x con respecto a x?

Accepted Answer

2e^x

Answer

e^x

Answer

3e^x

Answer

4e^x

Question 43

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = √x con respecto a x?

Accepted Answer

1/(2√x)

Answer

2√x

Answer

1/√x

Answer

-1/(2√x)

Question 44

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = arctan(x) con respecto a x?

Accepted Answer

1/(1 + x²)

Answer

-1/(1 + x²)

Answer

1/x

Answer

-1/x

Question 45

Determina la derivada de la función f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x² - 2x + 5

Answer

f'(x) = x² - 2x + 5

Question 46

Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x) = x³ + 2x² - 1 en el punto (1, 2).

Accepted Answer

y = -2x + 4

Answer

y = -x + 3

Answer

y = x + 3

Answer

y = 2x + 4

Question 47

Encuentra el valor máximo de la función f(x) = -x² + 4x - 2.

Accepted Answer

x = 2, f(x) = 2

Answer

x = 1, f(x) = 1

Answer

x = 3, f(x) = 1

Answer

x = 4, f(x) = 2

Question 48

¿Cuál de las afirmaciones siguientes es cierta sobre la derivada de una función creciente?

Accepted Answer

La derivada es positiva.

Answer

La derivada es negativa.

Answer

La derivada es cero.

Answer

La derivada es constante.

Question 49

¿Qué es la derivada direccional y para qué se utiliza en el análisis de superficies?

Accepted Answer

Es la derivada de una función en una dirección específica, usada para hallar planos tangentes a superficies en un punto dado.

Answer

Es la derivada de una función respecto al tiempo, usada para resolver ecuaciones diferenciales.

Answer

Es una medida de la curvatura de una superficie, usada para calcular su área.

Answer

Es el vector perpendicular a la superficie en un punto dado, usado para encontrar puntos críticos.

Question 50

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente la derivada de una función?

Accepted Answer

La derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en cada punto.

Accepted Answer

La derivada es la tasa de variación de la función respecto a la variable independiente.

Answer

La derivada es el valor máximo de la función.

Question 51

Calcula la derivada de f(x) = (x³ + 2x²) / (2x - 1), donde x es distinto de 1/2.

Accepted Answer

(3x² + 4x) / (2x - 1) - (x³ + 2x²) / (2x - 1)²

Answer

(4x³ + 6x²) / (2x - 1)²

Answer

(x³ - 2x²) / (2x - 1)

Answer

(6x + 4) / (2x - 1)

Question 52

Calcula el punto máximo local de la función h(x) = -x² + 4x + 3.

Accepted Answer

(2, 7)

Answer

(2, -7)

Answer

(4, -5)

Answer

(-4, 5)

Question 53

Calcula la derivada de la función g(x) = (2x + 3)(x - 1).

Accepted Answer

5x + 2

Answer

5x - 2

Answer

5x

Answer

5

Question 54

Calcula la derivada de la función implícita definida por la ecuación x² + y² = 25.

Accepted Answer

dy/dx = -x/y

Answer

dy/dx = x/y

Answer

dy/dx = y/x

Answer

dy/dx = -y/x

Question 55

¿Cuál de las siguientes funciones no es derivable?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

g(x) = x³

Answer

h(x) = e^x

Answer

k(x) = ln(x)

Question 56

Calcula la derivada de la función f(x) = sen(2x).

Accepted Answer

2cos(2x)

Answer

cos(2)

Answer

2sen(x)

Answer

cos(x)

Question 57

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la derivada de f(x) = log₂(x^3)?

Accepted Answer

3log₂(x)/x

Answer

3log₂(x)x

Answer

3/xlog₂(x)

Answer

xlog₂(x)

Question 58

Calcula la derivada de la función f(x) = arctan(x).

Accepted Answer

1/(1 + x²)

Answer

1/(1 - x²)

Answer

-1/(1 + x²)

Answer

-1/(1 - x²)

Question 59

¿Cuál de las siguientes funciones tiene una derivada constante?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = ln(x)

Question 60

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x² + 3x - 5?

Accepted Answer

2x + 3

Answer

x + 3

Answer

2x² + 3x

Answer

x² + 3

Question 61

Calcula la derivada de la función f(x) = seno(2x).

Accepted Answer

2coseno(2x)

Answer

-2seno(2x)

Answer

-coseno(2x)

Answer

2seno(x)

Question 62

Halla la derivada de la función f(x) = e^x.

Accepted Answer

e^x

Answer

x*e^x

Answer

-e^x

Answer

1/e^x

Question 63

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Answer

-1/x

Answer

ln(x²)

Question 64

Calcula la derivada de la función f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1.

Accepted Answer

3x² - 4x + 5

Answer

3x² + 4x + 5

Answer

x² - 2x + 5

Answer

3x³ - 2x² + 5x - 1