Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales: Cálculo para Conocimientos Generales

Question 1

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial y'' + y = 0?

Accepted Answer

y(x) = C₁cos(x) + C₂sen(x)

Answer

y(x) = C₁e^x + C₂e^(-x)

Answer

y(x) = x^2 + C

Answer

y(x) = sen(x) + cos(x)

Question 2

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales modela el decaimiento radiactivo?

Accepted Answer

Ecuación de desintegración radiactiva

Answer

Ecuación de crecimiento logístico

Answer

Ecuación de calor

Answer

Ecuación de onda

Question 3

La temperatura de un objeto en un horno se rige por la ecuación diferencial dT/dt = -k(T - T₀), donde k es una constante positiva. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio del objeto?

Accepted Answer

T₀

Answer

0

Answer

k

Answer

-k

Question 4

El crecimiento de una población según un modelo logístico viene dado por la ecuación diferencial:

Accepted Answer

y' = ky(1 - y/L)

Answer

y' = ky

Answer

y' = ky(y - L)

Answer

y' = ky(y + L)

Question 5

La constante de integración en la solución de una ecuación diferencial representa:

Accepted Answer

El valor inicial de la función

Answer

El valor máximo de la función

Answer

El valor mínimo de la función

Answer

La pendiente de la función

Question 6

¿Qué tipo de ecuación diferencial describe el movimiento de un objeto en caída libre?

Accepted Answer

Lineal de segundo orden

Answer

Lineal de primer orden

Answer

No lineal de primer orden

Answer

No lineal de segundo orden

Question 7

La ecuación diferencial y'' + 2y' + 2y = 0 es:

Accepted Answer

Homogénea lineal

Answer

No homogénea lineal

Answer

Homogénea no lineal

Answer

No homogénea no lineal

Question 8

Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado se resuelve mediante:

Accepted Answer

Separación de variables

Answer

Integración

Answer

Eliminación de variables

Answer

Sustitución directa

Question 9

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación diferencial lineal de segundo orden?

Accepted Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y'' + y^3 = 0

Answer

y' + sen(y) = 0

Answer

y' = xy^2

Question 10

La ecuación y' = ky modela:

Accepted Answer

Crecimiento exponencial

Answer

Crecimiento lineal

Answer

Desintegración exponencial

Answer

Crecimiento logarítmico

Question 11

¿Cuál de los siguientes es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Método de Euler

Answer

Regla de Cramer

Answer

Sustitución directa

Answer

Separación de variables

Question 12

¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial parcial ∂u/∂x - ∂u/∂y = 0?

Accepted Answer

u = f(x) + g(y)

Answer

u = f(x - y)

Answer

u = f(x + y)

Answer

u = f(x)*g(y)

Question 13

La ecuación diferencial y'' + 4y = 0 representa un movimiento:

Accepted Answer

Armónico simple

Answer

Amortiguado

Answer

Forzado

Answer

Periódico

Question 14

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales se utiliza en economía?

Accepted Answer

Modelos de crecimiento económico

Answer

Modelos de predicción de precios

Answer

Modelos de difusión de enfermedades

Answer

Modelos de movimiento de fluidos

Question 15

La ecuación diferencial y' + y = x tiene como factor integrante:

Accepted Answer

e^x

Answer

e^-x

Answer

x

Answer

-x

Question 16

Una función y satisface la ecuación diferencial y'' + 4y' + 4y = 0. La solución general de esta ecuación es:

Accepted Answer

y = c1 * e^(-2x) * cos(2x) + c2 * e^(-2x) * sin(2x)

Answer

y = c1 * sin(2x) + c2 * cos(2x)

Answer

y = c1 * e^(2x) * cos(2x) + c2 * e^(2x) * sin(2x)

Answer

y = c1 * e^(-4x) + c2 * e^(4x)

Question 17

Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. Ignorando la resistencia del aire, la altura del objeto en función del tiempo t viene dada por la ecuación:

Accepted Answer

h(t) = 10t - 4,9t^2

Answer

h(t) = -4,9t^2

Answer

h(t) = 10t + 4,9t^2

Answer

h(t) = -4,9t + 10

Question 18

La serie de Taylor de la función f(x) = e^x alrededor de x = 0 es:

Accepted Answer

∑(n=0 to ∞) (x^n / n!)

Answer

∑(n=1 to ∞) (x^(n-1) / (n-1)!)

Answer

∑(n=2 to ∞) (x^(n-2) / (n-2)!)

Answer

∑(n=3 to ∞) (x^(n-3) / (n-3)!)

Question 19

¿Cuál es el principio fundamental que subyace al uso de ecuaciones diferenciales para modelar fenómenos del mundo real?

Accepted Answer

La capacidad de representar cambios infinitesimales en una variable dependiente

Answer

La posibilidad de predecir el comportamiento futuro de un sistema

Answer

La capacidad de resolver únicamente problemas lineales

Question 20

¿Cuál es la función de la condición inicial al resolver una ecuación diferencial?

Accepted Answer

Establecer el valor de la constante en la solución.

Answer

Identificar el tipo de ecuación diferencial.

Answer

La condición inicial no afecta la solución.

Question 21

Selecciona la ecuación diferencial que modela el crecimiento poblacional.

Accepted Answer

dP/dt = kP

Answer

P/dt = k

Answer

dP/dt = -kP

Answer

d²P/dt² = kP

Question 22

Identifica la ecuación diferencial que describe el flujo de calor en una barra.

Accepted Answer

u''(x, t) = k²u(x, t)

Answer

u(x, t) = k²u''(x, t)

Answer

u'(x, t) = k²u(x, t)

Answer

u'''(x, t) = k²u(x, t)

Question 23

¿Cuál es la interpretación de la solución de la ecuación diferencial y' = -ky?

Accepted Answer

Decaimiento exponencial

Answer

Movimiento parabólico

Answer

Movimiento armónico simple

Answer

Crecimiento exponencial

Question 24

Distingue una ecuación diferencial parcial.

Accepted Answer

∂u/∂x + ∂u/∂y = 0

Answer

y' + 2y = x

Answer

u''(x, t) = k²u(x, t)

Answer

x²y' + xy = 1

Question 25

Indica una aplicación de las ecuaciones diferenciales parciales en economía.

Accepted Answer

Modelar el flujo de dinero en un mercado

Answer

Encontrar el máximo de una función

Answer

Dibujar gráficos

Answer

Resolver ecuaciones algebraicas

Question 26

Selecciona la ecuación diferencial que modela la oscilación de un resorte.

Accepted Answer

m'' + kx = 0

Answer

m''' + kx = 0

Answer

m'' + kx' = 0

Answer

m''' + kx' = 0

Question 27

La ecuación diferencial que modela el decaimiento radiactivo es:

Accepted Answer

y' = -ky, donde k es la constante de desintegración.

Answer

y'' = -ky^2

Answer

y' = ky^2

Answer

y'' = ky

Question 28

Una ecuación diferencial que describe el movimiento de un resorte amortiguado es:

Accepted Answer

my'' + by' + ky = 0, donde m es la masa, b es el coeficiente de amortiguamiento y k es la constante elástica.

Answer

my' + by'' + ky = 0

Answer

my'' + by'' - ky = 0

Answer

my'' + by' - ky = 0

Question 29

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene raíces complejas conjugadas si:

Accepted Answer

El discriminante (b^2 - 4ac) es negativo.

Answer

El discriminante (b^2 - 4ac) es positivo.

Answer

El coeficiente lineal (b) es cero.

Answer

El discriminante (b^2 - 4ac) es cero.

Question 30

La ecuación diferencial y'' - 4y' + 4y = 0 representa:

Accepted Answer

Movimiento armónico simple, que describe el movimiento periódico de un sistema.

Answer

Circuito eléctrico, que describe el flujo de corriente y voltaje en circuitos.

Answer

Ninguna de las anteriores.

Answer

Decaimiento radiactivo, que describe la desintegración de elementos radiactivos.

Question 31

El método utilizado para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior es:

Accepted Answer

Método de los coeficientes indeterminados, que permite encontrar soluciones particulares para ecuaciones no homogéneas.

Answer

Método de separación de variables, que solo es aplicable a ecuaciones de primer orden.

Answer

Método del factor integrante, que se utiliza para resolver ecuaciones de primer orden lineales.

Question 32

Una ecuación diferencial parcial que describe la difusión del calor es:

Accepted Answer

u_t = k u_xx, donde u es la temperatura, t es el tiempo y k es la difusividad térmica.

Answer

u_y = k u_t

Answer

u_x = k u_t

Answer

u_t = k u_xy

Question 33

El tipo de ecuación diferencial utilizada para modelar el crecimiento de una población es:

Accepted Answer

Ecuación logística, que describe el crecimiento limitado en función de la capacidad de carga.

Answer

Ecuación de onda, que describe la propagación de ondas en medios continuos.

Answer

Ecuación de Laplace, que describe el potencial eléctrico en un campo electrostático.

Answer

Ecuación de calor, que describe la difusión del calor en un cuerpo.

Question 34

La transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales:

Accepted Answer

Transformando el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, lo que simplifica la resolución de ciertas ecuaciones.

Answer

Resolviendo ecuaciones diferenciales mediante integración.

Answer

Transformando el dominio de la frecuencia al dominio del tiempo.

Question 35

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales representa el crecimiento exponencial con una tasa de crecimiento constante k?

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = y²

Answer

y' = sen(y)

Answer

y' = k + y

Question 36

La ecuación diferencial y'' - 2y' + y = 0 surge en el estudio de:

Accepted Answer

Oscilaciones armónicas

Answer

Difusión

Answer

Crecimiento poblacional

Answer

Circuitos eléctricos

Question 37

La solución general de la ecuación diferencial y'' + 4y = 0 es:

Accepted Answer

y = A cos(2t) + B sen(2t)

Answer

y = ln(t)

Answer

y = t²

Answer

y = e^(2t)

Question 38

En un modelo de crecimiento poblacional, donde la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población, la ecuación diferencial que describe este proceso es:

Accepted Answer

dP/dt = kP

Answer

dP/dt = t/P

Answer

dP/dt = -kP

Answer

dP/dt = P/t

Question 39

La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RL es:

Accepted Answer

L(dI/dt) + RI = V

Answer

R(dI/dt) + LI = V

Answer

I(dL/dt) + RV = V

Answer

V(dI/dt) + RI = L

Question 40

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales es separable?

Accepted Answer

y' = y/x

Answer

y' = sen(x + y)

Answer

y' = x + y

Answer

y' = y²

Question 41

Un objeto de 1 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con una constante de proporcionalidad de 0,5, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe la velocidad del objeto en función del tiempo?

Accepted Answer

dv/dt = -9,8 - 0,5v

Answer

dv/dt = -9,8 + v

Answer

dv/dt = -9,8 - v

Answer

dv/dt = -9,8 + 0,5v

Question 42

Una empresa produce 100 unidades de un producto al día. La demanda diaria del producto es de 80 unidades. Si el inventario inicial es de 20 unidades, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe la cantidad de inventario en función del tiempo?

Accepted Answer

dI/dt = 100 - 80

Answer

dI/dt = 80 - 100

Answer

dI/dt = 100 + 80

Answer

dI/dt = 80 + 100

Question 43

Un péndulo simple de longitud L se balancea con un ángulo pequeño. La ecuación diferencial que modela el movimiento del ángulo θ del péndulo con respecto al tiempo es:

Accepted Answer

d²θ/dt² + (g/L)θ = 0

Answer

dθ/dt + (g/L)θ = 0

Answer

dθ/dt - (g/L)θ = 0

Answer

d²θ/dt² - (g/L)θ = 0

Question 44

Una población de bacterias crece exponencialmente con una tasa de crecimiento constante de 0,5. Si la población inicial es de 100 bacterias, ¿cuál será el número aproximado de bacterias después de 10 horas?

Accepted Answer

512

Answer

1024

Answer

256

Answer

500

Question 45

Selecciona la ecuación diferencial que describe el enfriamiento de un objeto en un ambiente con temperatura constante:

Accepted Answer

dy/dt = -k(y - T)

Answer

d²y/dt² = k(y - T)

Answer

dy/dt = k(y - T)

Answer

d²y/dt² = -k(y - T)

Question 46

Una masa de 10 kg está unida a un resorte con una constante de resorte de 50 N/m. Si la masa se desplaza 0,2 metros desde su posición de reposo y luego se suelta, la ecuación diferencial que gobierna el movimiento de la masa es:

Accepted Answer

d²x/dt² + 5x = 0

Answer

dx/dt - 5x = 0

Answer

dx/dt + 5x = 0

Answer

d²x/dt² - 5x = 0

Question 47

Encuentra la solución general de la ecuación diferencial y' + 2y = 0:

Accepted Answer

y = Ce^(-2x)

Answer

y = Ce^2x

Answer

y = xCe^(-2x)

Answer

y = xCe^2x

Question 48

Una empresa invierte 5000 € en publicidad cada mes. La demanda del producto que fabrica la empresa está modelada por la ecuación diferencial dQ/dt = 0,02Q - 0,0005Q², donde Q representa la cantidad demandada. ¿Cuál es la cantidad de demanda en estado estable?

Accepted Answer

10000

Answer

15000

Answer

20000

Answer

5000

Question 49

Selecciona la aplicación de las ecuaciones diferenciales en el campo de la biología:

Accepted Answer

Modelado del crecimiento de poblaciones

Answer

Cálculo de integrales

Answer

Resolución de ecuaciones algebraicas

Question 50

Clasifica la ecuación diferencial y' = xy + 2x²:

Accepted Answer

Separable

Answer

Exacta

Answer

No lineal

Answer

Lineal

Question 51

Encuentra el factor de integración de la ecuación diferencial (x + y)dx + (x - y)dy = 0:

Accepted Answer

1/(x² - y²)

Answer

x - y

Answer

1/(x + y)

Answer

x² - y²

Question 52

Determina si la ecuación diferencial y' = y(y - 1) es lineal o no lineal:

Accepted Answer

No lineal

Answer

Lineal

Answer

Exacta

Answer

Separable

Question 53

El orden de la ecuación diferencial d³y/dx³ + dy/dx - y = 0 es:

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

1

Answer

4