Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Cálculo para Conocimientos Generales

Question 1

Indica cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Accepted Answer

y' - 2y = e^x

Answer

y' + xy = cos(x)

Answer

y'' + y' - 2y = 0

Answer

y'y = x^2

Question 2

Resuelve la ecuación diferencial y' = y(1 - y).

Accepted Answer

y = 1/(1 + Ce^(-x))

Answer

y = 1/(1 - Ce^(-x))

Answer

y = Ce^(x) - 1

Answer

y = -Ce^(x) + 1

Question 3

Dada la ecuación diferencial y' = y^2 - 1, determina su ecuación general.

Accepted Answer

y = ±1 + Ce^(-2x)

Answer

y = ±1 - Ce^(-2x)

Answer

y = ±1 - Ce^(2x)

Answer

y = ±1 + Ce^(2x)

Question 4

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales es homogénea?

Accepted Answer

y'' + y' - y = 0

Answer

y' + xy = cos(x)

Answer

y' - 2y = e^x

Answer

y'y = x^2

Question 5

Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación que:

Accepted Answer

Contiene una derivada de orden 1

Answer

Contiene una derivada de orden superior a 1

Answer

No contiene derivadas

Answer

Es una ecuación cuadrática

Question 6

El factor integrante de la ecuación y' + y = x es:

Accepted Answer

e^x

Answer

x

Answer

e^-x

Answer

1/x

Question 7

El orden de una ecuación diferencial se refiere a:

Accepted Answer

El grado más alto de la derivada que contiene

Answer

El número de variables independientes que contiene

Answer

El número de variables dependientes que contiene

Answer

El número de ecuaciones que contiene

Question 8

La ecuación y' = x^2 y representa:

Accepted Answer

Una ecuación diferencial no lineal de primer orden

Answer

Una ecuación diferencial lineal de primer orden

Answer

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden

Answer

Una ecuación diferencial no lineal de orden superior

Question 9

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma y' = f(x, y) es separable si:

Accepted Answer

f(x, y) se puede expresar como un producto de funciones de x e y

Answer

f(x, y) es lineal

Answer

f(x, y) es continua

Answer

y = 0 es una solución constante

Question 10

La solución general de la ecuación y' - 2xy = 0 es:

Accepted Answer

y = Ce^(x^2)

Answer

y = Cx^2 + D

Answer

y = -Ce^(-x^2)

Answer

y = Cx

Question 11

¿Cuál de las siguientes NO es una condición de existencia para una ecuación diferencial de primer orden?

Accepted Answer

Unicidad de la solución

Answer

Continuidad de f(x, y)

Answer

Limitación del dominio

Answer

Derivabilidad de f(x, y)

Question 12

Un modelo matemático para el crecimiento de una población que obedece la ecuación diferencial y' = ky es:

Accepted Answer

Crecimiento exponencial

Answer

Crecimiento decreciente

Answer

Crecimiento logístico

Answer

Crecimiento lineal

Question 13

Una ecuación diferencial de primer orden no lineal se caracteriza por:

Accepted Answer

No tener una solución analítica general

Answer

Tener una función f(x, y) que es lineal

Answer

Tener siempre soluciones únicas

Answer

Ser siempre separable

Question 14

La pendiente del campo direccional de la ecuación diferencial y' = x^2 - y^2 en el punto (1, 1) es:

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 15

En una ecuación diferencial de primer orden, ¿cuál de las siguientes características define a una ecuación lineal?

Accepted Answer

El término dependiente y su derivada son lineales en y

Answer

El término independiente es una función constante

Answer

La ecuación es separable

Answer

El coeficiente de y es cero

Question 16

Considerando la ecuación diferencial y' + y = sen(x), ¿cuál es la mejor estrategia para resolverla?

Accepted Answer

Método de factores integrantes

Answer

Método de separación de variables

Answer

Método de sustitución

Answer

Método de variación de constantes

Question 17

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales es separable?

Accepted Answer

y' = y/x

Answer

y' = x + y^2

Answer

y' = sen(y)

Answer

y' = xy + 1

Question 18

En una ecuación diferencial de primer orden, ¿qué representa el término dependiente?

Accepted Answer

La derivada de la variable dependiente

Answer

La variable independiente

Answer

El término constante

Answer

El coeficiente de la variable dependiente

Question 19

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto a la ecuación diferencial y' = y + x?

Accepted Answer

Es una ecuación lineal de primer orden

Answer

Es una ecuación no lineal de primer orden

Answer

Es una ecuación de segundo orden

Answer

No es una ecuación diferencial

Question 20

¿Cuál es la forma general de una ecuación diferencial lineal de primer orden?

Accepted Answer

y' + P(x)y = Q(x)

Answer

y' - P(x)y = Q(x)

Answer

y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0

Answer

y''' + P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0

Question 21

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales exactas?

Accepted Answer

Método de integración directa

Answer

Método de separación de variables

Answer

Método del factor integrante

Answer

Método de variación de constantes

Question 22

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial y' + y = e^x?

Accepted Answer

y = Ce^x + e^x

Answer

y = Ce^-x + e^x

Answer

y = Ce^-x - e^x

Answer

y = Ce^x - e^x

Question 23

¿Cuál es la principal ventaja de utilizar un campo direccional para comprender las soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden?

Accepted Answer

Indica la dirección de la solución en cada punto mediante flechas.

Answer

Proporciona todas las soluciones exactas de la ecuación.

Answer

Solo es aplicable a ecuaciones lineales de primer orden.

Question 24

Para la ecuación diferencial (1 + y^2)dx + (x + sen(y))dy = 0, determina el factor integrador multiplicado por la ecuación que la hace integrable.

Accepted Answer

e^(x+sen(y))

Answer

e^(y+sen(x))

Answer

1 + y^2

Answer

x + sen(y)

Question 25

Halla la derivada de la función f(x) = ln(x^2 + 1). Calcula la función que representa la pendiente de la función original.

Accepted Answer

2x/(x^2 + 1)

Answer

x/(x^2 + 1)

Answer

1/(x^2 + 1)

Answer

2x

Question 26

Calcula la derivada segunda de la función f(x) = e^(2x). Determina la función que representa la concavidad de la función original.

Accepted Answer

4e^(2x)

Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x)

Answer

0

Question 27

Identifica la función que tiene una gráfica cóncava hacia abajo. Determina la función cuyo gráfico tiene forma de "U" invertida.

Accepted Answer

y = -x^2

Answer

y = x^2

Answer

y = 1/x

Answer

y = e^x

Question 28

La ecuación diferencial (y' + 3y = e^x) es una ecuación diferencial de primer orden **lineal**.

Accepted Answer

Lineal

Answer

Homogénea

Answer

Separable

Answer

No lineal

Question 29

La ecuación diferencial ((x+y)dx - (x-y)dy = 0) es una ecuación diferencial **exacta** porque:

Accepted Answer

Sus derivadas parciales respecto a x e y son iguales.

Answer

Es lineal.

Answer

Su grado es igual a 1.

Question 30

La ecuación diferencial de primer orden que modela el crecimiento poblacional de una bacteria es:

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = xy

Answer

y' = y^2

Question 31

La temperatura de un objeto que se enfría se rige por la ecuación diferencial: dT/dt = -k(T - Ta), donde k es una constante positiva y Ta es la temperatura ambiente. ¿Cuál es la solución general de esta ecuación?

Accepted Answer

T = Ta + Ce^(-kt)

Answer

T = Ce^(kt) + Ta

Answer

T = Ta - Ce^(-kt)

Answer

T = Ta - Ce^(kt)

Question 32

¿Cuál de las siguientes opciones es una ecuación diferencial de primer orden?

Accepted Answer

y' + 2y = sen(x)

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y''' + y = e^x

Answer

y'''' - 3y'' + 2y = x

Question 33

Una reacción química se modela mediante la ecuación diferencial: dC/dt = kC(1 - C), donde C es la concentración del reactante y k es una constante positiva. ¿Qué tipo de función representa la solución general de esta ecuación?

Accepted Answer

Función logística

Answer

Función lineal

Answer

Función exponencial

Answer

Función trigonométrica

Question 34

De las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden, ¿cuál es lineal?

Accepted Answer

y' + y = x

Answer

y' = xy

Answer

y' = y^2

Answer

y' = sen(y)

Question 35

En la ecuación diferencial y' = (x^2 - 1)/y, ¿qué tipo de punto singular tiene?

Accepted Answer

Punto singular regular

Answer

Punto singular irregular

Answer

Punto de equilibrio

Answer

Punto ordinario

Question 36

¿Es la ecuación diferencial y' = y^3 - 1 autónoma?

Accepted Answer

Sí

Answer

No se puede determinar

Answer

Depende de las condiciones iniciales

Answer

No

Question 37

Para la ecuación diferencial y' = k(M - y), donde k y M son constantes, determina su solución de equilibrio.

Accepted Answer

y = M

Answer

y = k

Answer

y = 0

Answer

y = -M

Question 38

Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación que involucra una función desconocida y su derivada de primer orden. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones **no** es una ecuación diferencial de primer orden?

Accepted Answer

y'' + 2y' - y = 0

Answer

y' = sin(x) + cos(y)

Answer

dy/dx = x^2 + y

Answer

y' + xy = e^x

Question 39

Una ecuación diferencial de primer orden se considera lineal si:

Accepted Answer

La función desconocida y sus derivadas aparecen solo en términos lineales.

Answer

La ecuación no contiene términos de producto entre la función desconocida y sus derivadas.

Answer

La ecuación puede ser resuelta por métodos analíticos.

Answer

La función desconocida y sus derivadas aparecen solo en términos cuadráticos.

Question 40

El método de solución para una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma y' + p(x)y = q(x) se conoce como:

Accepted Answer

Método de factor integrante

Answer

Método de Euler

Answer

Método de Frobenius

Answer

Método de separación de variables

Question 41

El método de separación de variables se puede aplicar a ecuaciones diferenciales de primer orden que son:

Accepted Answer

Separables

Answer

Exactas

Answer

Homogéneas

Answer

Lineales

Question 42

Una ecuación diferencial de primer orden se considera exacta si:

Accepted Answer

La derivada parcial de M con respecto a y es igual a la derivada parcial de N con respecto a x, donde M y N son las funciones que componen la ecuación.

Answer

La ecuación se puede resolver por el método de factor integrante.

Answer

La ecuación es de la forma y' = f(x,y).

Answer

La ecuación puede ser escrita en la forma dy/dx = f(x,y).

Question 43

La solución general de la ecuación diferencial y' = -2y es:

Accepted Answer

y = Ce^(-2x)

Answer

y = C

Answer

y = Ce^(2x)

Answer

y = -2x + C

Question 44

Un modelo matemático para el crecimiento de una población se puede expresar como una ecuación diferencial de primer orden. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa un modelo de crecimiento exponencial?

Accepted Answer

dP/dt = kP

Answer

dP/dt = k(P-N)

Answer

dP/dt = kP(P-N)

Answer

dP/dt = kP(N-P)

Question 45

¿Cuál de las siguientes opciones es una ecuación diferencial de primer orden lineal?

Accepted Answer

y' + 2xy = x

Answer

y'' = y'

Answer

y' + y^2 = sen(x)

Answer

y' = x^2 + y

Question 46

Resuelve la ecuación diferencial y'(x) = 2x - y(x), dada la condición inicial y(0) = 1.

Accepted Answer

y(x) = x^2 + e^(-x)

Answer

y(x) = e^(-x) + x^2

Answer

y(x) = e^x - x^2

Answer

y(x) = x^2 - e^(-x)

Question 47

Resuelve la ecuación diferencial y' = (y-1)/(x+2).

Accepted Answer

y = 1 + Ce^(-x-2)

Answer

y = -1 - Ce^(x-2)

Answer

y = 1 - Ce^(x+2)

Answer

y = -1 + Ce^(-x+2)

Question 48

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial y' + y = e^x?

Accepted Answer

y = Ce^(-x) + e^x

Answer

y = Ce^x - e^(-x)

Answer

y = Ce^x + e^(-x)

Answer

y = Ce^(-x) - e^x

Question 49

Determina la solución particular de la ecuación diferencial y'' - 4y' + 4y = 0, dada la condición inicial y(0) = 1 y y'(0) = 2.

Accepted Answer

y(x) = e^(2x) + x

Answer

y(x) = e^(2x) - x

Answer

y(x) = e^(-2x) + x

Answer

y(x) = e^(-2x) - x

Question 50

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales modela el crecimiento de una población según un modelo logístico?

Accepted Answer

y' = ky(1-y/L)

Answer

y' = ky(y+L)

Answer

y' = ky(y-L)

Answer

y' = ky(1+y/L)

Question 51

La ecuación diferencial y' = y^2 - 1 representa:

Accepted Answer

Crecimiento autocatalítico

Answer

Crecimiento exponencial

Answer

Crecimiento logístico

Answer

Crecimiento lineal

Question 52

¿Cuál es el orden de la ecuación diferencial y''' + 2y'' - 5y' + 6y = 0?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

4

Answer

2