Aplicaciones de las Derivadas: Optimización y Análisis de Funciones

Question 1

¿Cómo varía la función f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1 en el intervalo (1, 2)?

Accepted Answer

Creciente

Answer

Decreciente

Answer

Constante

Answer

No se puede determinar

Question 2

¿Cuál es la derivada segunda de f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

1/x²

Answer

-1/x²

Answer

-1/x

Answer

1/x

Question 3

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de las derivadas permite determinar los valores máximos y mínimos de una función?

Accepted Answer

Optimización

Answer

Estudio de la concavidad

Answer

Análisis de monotonía

Answer

Cálculo de velocidades instantáneas

Question 4

Una función es monótona creciente si su derivada es:

Accepted Answer

Positiva

Answer

Indefinida

Answer

Cero

Answer

Negativa

Question 5

Para encontrar los puntos de inflexión de una función, se utiliza la derivada:

Accepted Answer

Segunda

Answer

Primera

Answer

No se utiliza la derivada

Answer

Tercera

Question 6

¿Cuál es el método utilizado para hallar la derivada de una función implícita?

Accepted Answer

Diferenciación implícita

Answer

Regla del producto

Answer

Regla de la cadena

Answer

Regla del cociente

Question 7

Calcula la derivada de la función f(x) = x^3 - 2x^2 + 1.

Accepted Answer

3x^2 - 4x

Answer

x^3 - 4x

Answer

3x^2 + 4x

Question 8

Para estudiar la concavidad hacia arriba o hacia abajo de una función, se analiza la señal de su:

Accepted Answer

Derivada segunda

Answer

Derivada tercera

Answer

Derivada primera

Answer

No se utiliza la derivada

Question 9

Estudiar la monotonía de la función polinómica f(x) = x⁴ - 2x².

Accepted Answer

Creciente para x < 0 y decreciente para x > 0

Answer

Creciente para x < 0 y constante para x > 0

Answer

Creciente para x > 0 y decreciente para x < 0

Answer

Decreciente para x < 0 y constante para x > 0

Question 10

Calcular la derivada de la función logarítmica f(x) = ln(x² + 1).

Accepted Answer

2x/(x² + 1)

Answer

ln(x)

Answer

1/(x² + 1)

Answer

x²/(x² + 1)

Question 11

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x^2 + 3x - 2?

Accepted Answer

2x + 3

Answer

x^2 + 3x

Answer

2

Answer

3

Question 12

La derivada de la función f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x

Answer

0

Answer

e^(x-1)

Answer

xe^x

Question 13

¿Cuál de las siguientes funciones es cóncava hacia arriba en todo su dominio?

Accepted Answer

f(x) = x^4 + 2x^2 + 1

Answer

f(x) = x^2 - 2x + 1

Answer

f(x) = -x^4 + 2x^2 + 1

Answer

f(x) = x^3 - x^2 + x

Question 14

¿Para qué valor de x la función f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1 tiene un máximo relativo?

Accepted Answer

x = 4/3

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Answer

x = 1

Question 15

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = sen(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

sen(x)/cos(x)

Answer

-sen(x)

Answer

cos(x)/sen(x)

Question 16

La función de producción de una empresa es f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x, donde x es el número de unidades producidas. ¿Cuántas unidades debe producir la empresa para minimizar el costo promedio?

Accepted Answer

x = 4/3

Answer

x = 3

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Question 17

El área de un círculo es A = πr^2. Si el radio del círculo aumenta a una tasa de 2 cm/s, ¿a qué tasa está aumentando el área?

Accepted Answer

dA/dt = 2πr * dr/dt

Answer

dA/dt = π * r^2 * dr/dt

Answer

dA/dt = 4πr * dr/dt

Answer

dA/dt = r^2 * dr/dt

Question 18

Una función f(x) tiene una derivada continua y es positiva en el intervalo [a, b]. ¿Qué se puede afirmar sobre la función f(x) en este intervalo?

Accepted Answer

Es estrictamente creciente.

Answer

Tiene un máximo en el intervalo.

Answer

Es estrictamente decreciente.

Answer

Tiene un mínimo en el intervalo.

Question 19

Una empresa que fabrica televisores quiere maximizar su beneficio, dado por la función B(q) = -q³ + 12q² + 18q - 10, donde q es la cantidad de televisores producidos. ¿Cuál es el número óptimo de televisores que deben producirse para maximizar el beneficio?

Accepted Answer

6

Answer

2

Answer

8

Answer

4

Question 20

Una función f(x) tiene una segunda derivada negativa para todo x. ¿Qué se puede concluir sobre la concavidad de su gráfica?

Accepted Answer

Es cóncava hacia abajo.

Answer

Tiene puntos de inflexión.

Answer

Es lineal.

Answer

Es cóncava hacia arriba.

Question 21

La derivada de la función f(x) = e^(x³ + 2x) es:

Accepted Answer

(3x² + 2)e^(x³ + 2x)

Answer

(x³ + 2x)e^(x³ + 2x)

Answer

e^(3x² + 2x)

Answer

3x²e^(x³ + 2x)

Question 22

Sea f(x) = g(x)/h(x), donde g(x) y h(x) son derivables en el intervalo [a, b]. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

f'(x) = (h(x)g'(x) - g(x)h'(x))/(h(x))²

Answer

f'(x) = h'(x) / g'(x)

Answer

f'(x) = g'(x) + h'(x)

Answer

f'(x) = g'(x) - h'(x)

Question 23

Sea f(x) = (sin x) / (cos x), donde g(x) y h(x) son derivables en el intervalo [a, b]. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

f'(x) = (cos x sin x + sin x (-sin x))/(cos x)²

Answer

f'(x) = cos x / sin x

Answer

f'(x) = cos x + sin x

Answer

f'(x) = sin x / cos x

Question 24

La función de demanda de un producto es q(p) = 120 - 4p, donde p es el precio por unidad. ¿Cuál es la elasticidad precio de la demanda cuando el precio es 20?

Accepted Answer

-1

Answer

-0.5

Answer

0.5

Answer

1

Question 25

Un fabricante puede producir x unidades de un producto a un coste total de C(x) = 0.02x³ + 0.4x² + 12x. Determine el nivel de producción que minimiza el coste medio por unidad.

Accepted Answer

40

Answer

25

Answer

10

Answer

100

Question 26

La población de una ciudad crece a una tasa de P'(t) = 1200e^(0.01t) personas por año, donde t es el tiempo en años. ¿Cuál es el aumento de la población durante el octavo año?

Accepted Answer

Aproximadamente 1370 personas

Answer

Aproximadamente 5000 personas

Answer

Aproximadamente 1000 personas

Answer

Aproximadamente 2000 personas

Question 27

¿En qué intervalo la función f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1 es decreciente?

Accepted Answer

(0, 1)

Answer

(-∞, 1)

Answer

(-∞, 0) U (1, ∞)

Answer

(0, ∞)

Question 28

La velocidad de un objeto en movimiento está dada por la función v(t) = 4t³ - 12t² + 9t, donde t representa el tiempo. ¿En qué momento alcanza la aceleración máxima?

Accepted Answer

t = 2

Answer

t = 1

Answer

t = 3

Answer

t = 0

Question 29

Una empresa estima la demanda de un producto mediante la función d(p) = 100 - 2p², donde 'p' representa el precio del producto. ¿Cuál es el precio que maximiza los ingresos?

Accepted Answer

p = 5

Answer

p = 15

Answer

p = 10

Answer

p = 20

Question 30

¿Cuál de las siguientes funciones NO tiene un máximo ni un mínimo local?

Accepted Answer

f(x) = x³ + x

Answer

f(x) = x⁴ - 4x² + 3

Answer

f(x) = -x³ + 3x² - 2x + 1

Answer

f(x) = -x² + 2x + 1

Question 31

La función f(x) = √(x-1) es derivable en:

Accepted Answer

(1, ∞)

Answer

(0, ∞)

Answer

[-1, 1]

Answer

(0, 1)

Question 32

¿Cuál de las siguientes es la derivada de la función f(x) = sen(2x)?

Accepted Answer

f'(x) = 2cos(2x)

Answer

f'(x) = cos(2x)

Answer

f'(x) = sen(2x)

Answer

f'(x) = -2cos(2x)

Question 33

¿Cuál de las siguientes NO es una aplicación directa de las derivadas?

Accepted Answer

Encontrar el área de una superficie

Answer

Encontrar los puntos críticos de funciones

Answer

Optimizar funciones

Answer

Estudiar la monotonía de funciones

Question 34

Una empresa tiene la siguiente función de costo: C(x) = 1000 + 20x - 0.1x², donde 'x' es la cantidad de unidades producidas. ¿Cuál es el costo marginal de producir la unidad número 100?

Accepted Answer

10

Answer

0

Answer

20

Answer

-10

Question 35

La función de ingreso de una empresa viene dada por I(x) = 50x - 0.05x², donde 'x' es la cantidad de unidades vendidas. ¿Cuántas unidades se deben vender para maximizar el ingreso?

Accepted Answer

500

Answer

1000

Answer

2000

Answer

250

Question 36

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba. Su altura en metros después de 't' segundos está dada por h(t) = 20t - 5t². ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota en el instante t = 2 segundos?

Accepted Answer

0 m/s

Answer

10 m/s

Answer

-10 m/s

Answer

20 m/s

Question 37

Dada la función f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1, ¿en qué intervalo la función es creciente?

Accepted Answer

(-∞, 1) U (3, +∞)

Answer

(-∞, 1)

Answer

(1, 3)

Answer

(3, +∞)

Question 38

Si una función f(x) tiene un punto crítico en x = a donde f'(a) = 0 y f''(a) < 0, ¿qué podemos afirmar?

Accepted Answer

f(x) tiene un máximo relativo en x = a

Answer

f(x) tiene un mínimo relativo en x = a

Answer

f(x) tiene un punto de inflexión en x = a

Answer

No se puede determinar la naturaleza del punto crítico

Question 39

Un fabricante estima que la demanda de un producto está dada por la función p(x) = 100 - 0.01x, donde x es la cantidad demandada y p es el precio unitario. ¿Cuál es la elasticidad de la demanda cuando el precio es de 50€?

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

-0.5

Question 40

La función de costo total de una empresa es C(x) = 0.01x³ - 0.3x² + 20x + 1000. ¿Cuál es el nivel de producción que minimiza el costo promedio?

Accepted Answer

100

Answer

150

Answer

200

Answer

50

Question 41

Se estima que la población de una ciudad crece a una tasa de P'(t) = 1000 + 20t personas por año, donde t es el tiempo en años.  Si la población actual es de 100,000 habitantes, ¿cuál será la población dentro de 5 años?

Accepted Answer

102,500

Answer

101,000

Answer

105,000

Answer

102,000

Question 42

Dada la función f(x) = (x² - 1)(x + 2), ¿cuáles son sus puntos críticos?

Accepted Answer

x = -2, x = -1/√3, x = 1/√3

Answer

x = -2, x = 0, x = 1

Answer

x = -2, x = 1

Answer

x = -1, x = 1

Question 43

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva y = x³ - 2x + 1 en el punto (1, 0)?

Accepted Answer

y = x - 1

Answer

y = -x + 1

Answer

y = 3x - 3

Question 44

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las derivadas en Matemáticas para la Administración y Dirección de Empresas?

Accepted Answer

Optimización de funciones

Answer

Resolución de ecuaciones diferenciales

Answer

Cálculo de integrales

Answer

Estudio de límites

Question 45

Si el beneficio de una empresa está dado por la función B(x) = 100x - x^2, ¿en qué nivel de producción (x) se obtiene el beneficio máximo?

Accepted Answer

x = 50

Answer

x = 75

Answer

x = 25

Answer

x = 100

Question 46

¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función que es estrictamente creciente en todo su dominio?

Accepted Answer

Imagen que muestra un gráfico de una función con pendiente positiva en todo su dominio.

Answer

Imagen que muestra un gráfico de una función con un punto de máximo.

Answer

Imagen que muestra un gráfico de una función con pendiente negativa en todo su dominio.

Question 47

Si la concavidad de una función está hacia abajo en un intervalo, entonces la función es:

Accepted Answer

Cóncava hacia abajo

Answer

Convexa hacia abajo

Answer

Convexa hacia arriba

Answer

Cóncava hacia arriba

Question 48

¿Cuál de las siguientes es una ventaja del uso de las derivadas en el análisis de funciones?

Accepted Answer

Proporciona información sobre la tasa de cambio y los puntos críticos.

Answer

Simplifica los cálculos algebraicos.

Answer

Elimina la necesidad de graficar las funciones.

Question 49

Si la derivada de una función en un punto es igual a cero, ¿qué se puede concluir?

Accepted Answer

La función tiene un punto crítico en ese punto.

Answer

La función es decreciente en ese punto.

Answer

La función tiene un punto de inflexión en ese punto.

Answer

La función es creciente en ese punto.

Question 50

En un gráfico de la derivada de una función, ¿qué indica un pico hacia abajo?

Accepted Answer

Un punto de máximo local

Answer

Un punto de inflexión

Answer

Un punto de mínimo local

Question 51

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4?

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x - 4

Answer

f'(x) = x^2 - 4x + 5

Answer

f'(x) = 5

Question 52

Si la función f(x) es continua en el intervalo [a, b] y f'(x) > 0 en todo el intervalo, ¿qué se puede concluir?

Accepted Answer

La función es estrictamente creciente en [a, b].

Answer

La función tiene un mínimo en [a, b].

Answer

La función es estrictamente decreciente en [a, b].

Answer

La función tiene un máximo en [a, b].

Question 53

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las derivadas en el análisis de la elasticidad?

Accepted Answer

Determinar si la demanda es elástica o inelástica.

Answer

Estimar la inflación.

Answer

Predecir los cambios de precios.

Answer

Calcular los ingresos totales.