Integrales Definidas: Cálculo de Áreas y Volúmenes

Question 1

Calcula el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva y = sqrt(x) y el eje x entre los límites de integración a = 0 y b = 4 alrededor del eje y.

Accepted Answer

64π/5

Answer

32π/5

Answer

256π/5

Answer

128π/5

Question 2

Calcula la integral definida de la función f(x) = |x| entre los límites de integración a = -2 y b = 2.

Accepted Answer

8

Answer

4

Answer

16

Answer

32

Question 3

Determina si la integral definida de la función f(x) = 1/(x^2) entre los límites de integración a = 0 y b = 1 converge o diverge.

Accepted Answer

Diverge a infinito

Answer

Diverge a menos infinito

Answer

No se puede determinar

Answer

Converge

Question 4

Calcula la integral definida de la función f(x) = cos(x) entre los límites de integración a = 0 y b = π/2.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

π/2

Question 5

¿Cuál es la fórmula para la integral definida de f(x) en el intervalo [a, b]?

Accepted Answer

∫[a, b] f(x) dx

Answer

∫[a, b] f'(x) dx

Answer

∫[b, a] f(x) dx

Answer

∫[b, a] f'(x) dx

Question 6

¿Cuál es la propiedad fundamental de la integral definida?

Accepted Answer

Representa el área bajo la curva de f(x) en el intervalo [a, b]

Answer

Representa la pendiente de la curva de f(x) en x = a

Answer

Representa el valor máximo de f(x) en el intervalo [a, b]

Question 7

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de la región limitada por la curva y(x), el eje x y las verticales x = a y x = b?

Accepted Answer

∫[a, b] y(x) dx

Answer

∫[a, b] x(y) dy

Answer

∫[a, b] y'(x) dx

Answer

∫[a, b] x'(y) dy

Question 8

¿Qué teorema se utiliza para encontrar la integral indefinida de una función?

Accepted Answer

Teorema fundamental del cálculo

Answer

Teorema de la integral sustitución

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema de Rolle

Question 9

Para resolver integrales impropias de Tipo I, ¿qué método se utiliza?

Accepted Answer

Límite

Answer

Integración por partes

Answer

Fracciones parciales

Answer

Sustitución

Question 10

¿Cuál de las siguientes integrales es una integral impropia de Tipo II?

Accepted Answer

∫[0, ∞] e^(-x) dx

Answer

∫[π, 2π] sen(x) dx

Answer

∫[0, 1] 1/(x^2) dx

Answer

∫[0, 1] x/(x-1) dx

Question 11

¿En qué consiste la aplicación de las integrales definidas en el cálculo de volúmenes?

Accepted Answer

Sumar el área de secciones transversales.

Answer

Calcular la pendiente de una curva

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales

Answer

Encontrar el punto de inflexión de una función

Question 12

Sea f(x) = |x-1|. Calcular la integral definida de f(x) en el intervalo [0, 2].

Accepted Answer

1,5

Answer

0,5

Answer

2

Answer

3

Question 13

¿Cuál es el volumen del sólido generado al rotar la región delimitada por las rectas y = x, y = 0, x = 0 y x = 2 alrededor del eje y?

Accepted Answer

8π

Answer

16π

Answer

32π

Answer

4π

Question 14

Calcula la integral ∫(1 / (x^2 + 1)) dx en el intervalo [0, 1].

Accepted Answer

arctan(x) | [0, 1] = π/4

Answer

(x^2 + 1) | [0, 1] = 2

Answer

1 / (x^2 + 1) | [0, 1] = 0

Answer

ln(x^2 + 1) | [0, 1] = ln(2)

Question 15

¿Cuál es el valor de la integral ∫(e^x) dx en el intervalo [0, 1]? (Usa el método de sustitución)

Accepted Answer

e - 1

Answer

0

Answer

1

Answer

e

Question 16

¿Cuál es el área de la región limitada por la curva y = |x| y el eje x en el intervalo [-1, 1]?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Question 17

Calcula la integral ∫(1 / sqrt(1 - x^2)) dx en el intervalo [0, 1].

Accepted Answer

arcsen(x) | [0, 1] = π/2

Answer

ln(1 - x^2) | [0, 1] = -ln(2)

Answer

1 / sqrt(1 - x^2) | [0, 1] = 2

Answer

(1 - x^2) | [0, 1] = 0

Question 18

Sea f(x) = 1/x^2 en (0, 1]. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es **correcta**?

Accepted Answer

La integral definida ∫[0, 1] f(x) dx no existe.

Answer

La integral definida ∫[0, 1] f(x) dx es igual a -1.

Answer

La integral definida ∫[0, 1] f(x) dx es igual a ∞.

Answer

La integral definida ∫[0, 1] f(x) dx es igual a 1.

Question 19

Calcula la integral definida de la función f(x) = x^2 en el intervalo [0, 2].

Accepted Answer

8/3

Answer

16/3

Answer

12

Answer

4

Question 20

Determina si la función f(x) = |x| es integrable en el intervalo [-1, 1].

Accepted Answer

Sí

Answer

Solo en el intervalo [-1, 0]

Answer

Solo en el intervalo [0, 1]

Answer

No

Question 21

Calcula la integral impropia de la función f(x) = 1 / x^2 en el intervalo [1, ∞].

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Answer

-1

Question 22

Determina si la integral definida de la función f(x) = sen(x) / x en el intervalo [0, 1] es convergente o divergente.

Accepted Answer

Divergente

Answer

No se puede determinar

Answer

Semi-convergente

Answer

Convergente

Question 23

Determina el valor de la integral definida ∫[0, 1] (x^2 + 1) / (x^2 - 1) dx.

Accepted Answer

0

Answer

∞

Answer

-1

Answer

1

Question 24

Calcula la integral definida ∫[0, 3] (x² + 2x) dx.

Accepted Answer

15

Answer

18

Answer

12

Answer

21

Question 25

¿Cuál de las siguientes funciones es una primitiva de f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x e^x

Answer

1/e^x

Answer

ln(e^x)

Question 26

Calcula el área de la región limitada por las curvas y=x² e y=2x+1.

Accepted Answer

11/6

Answer

17/6

Answer

15/6

Answer

13/6

Question 27

Determina el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región limitada por las curvas y=x e y=x².

Accepted Answer

π/5

Answer

π/6

Answer

π/8

Answer

π/4

Question 28

Calcula la integral impropia ∫[0, ∞] e^(-x) dx.

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

-1

Answer

0

Question 29

¿Cuál de las siguientes integrales representa el trabajo realizado por una fuerza de F(x)=2x+1?

Accepted Answer

∫[0, 5] (2x+1) dx

Answer

∫[0, 5] (2x-1) dx

Answer

∫[0, 1] (2x+1) dx

Question 30

Calcula la integral definida usando el cambio de variable u=2x-1: ∫[0, 2] (x+1)² dx.

Accepted Answer

27/4

Answer

23/4

Answer

21/4

Answer

25/4

Question 31

¿Cuál de las siguientes integrales representa la longitud de arco de la curva y=x³?

Accepted Answer

∫[0, 1] √(1+(3x²)²) dx

Answer

∫[0, 1] √(1-(3x²)²) dx

Answer

∫[0, 1] (3x²)² dx

Answer

∫[0, 1] x³ dx

Question 32

Calcula la integral definida ∫[1, e] ln(x) dx.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

e

Answer

-1

Question 33

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área bajo la curva y=sen(x) en el intervalo [0, π]?

Accepted Answer

-cos(x)|_[0, π]

Answer

sen(x)|_[0, π]

Answer

cos(x)|_[0, π]

Answer

-sen(x)|_[0, π]