Espacios vectoriales: definición, propiedades y subespacios

Question 1

Si V es un espacio vectorial de dimensión n y W es un subespacio vectorial de V con dimensión m, ¿cuál es el valor máximo de m?

Accepted Answer

n

Answer

m + n

Answer

m - n

Answer

n - 1

Question 2

Si A es una matriz cuadrada de orden n, el conjunto de vectores {v ∈ R^n: Av = λv} para algún escalar λ es:

Accepted Answer

El núcleo de A

Answer

El espacio fila de A

Answer

El espacio columna de A

Answer

El conjunto vacío

Question 3

Sea W un subespacio de R³ generado por los vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. ¿Cuál es la dimensión de W?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

4

Question 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones caracteriza correctamente a un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto no vacío con dos operaciones: suma de vectores y multiplicación por escalar, que cumplen determinadas propiedades.

Answer

Un conjunto finito de elementos que pueden ser sumados y multiplicados por números reales.

Answer

Un conjunto de vectores que no siempre pueden ser sumados o multiplicados por escalares.

Question 5

Identifique la propiedad esencial de los subespacios vectoriales.

Accepted Answer

Están cerrados bajo la suma de vectores y la multiplicación por escalar.

Answer

Siempre contienen el vector cero.

Answer

Son isomorfos al espacio vectorial original.

Answer

Tienen una dimensión finita.

Question 6

¿Cuál es la base estándar del espacio vectorial R^3?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(0, 1), (1, 1), (1, 0)}

Answer

{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}

Answer

{(1, 0), (0, 1), (0, 0)}

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente un espacio vectorial sobre un cuerpo K?

Accepted Answer

Es un conjunto V no vacío junto con dos operaciones, suma y multiplicación escalar, que satisfacen ciertas propiedades.

Answer

Es un conjunto con una única operación, la suma.

Answer

Es un conjunto con una única operación, la multiplicación escalar.

Question 8

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un subespacio del espacio vectorial R³?

Accepted Answer

{ (x, y, z) en R³ | x + 2y - z = 0 }

Answer

{ (x, y, z) en R³ | x > 0 }

Answer

{ (x, y, z) en R³ | xy = 0 }

Answer

{ (x, y, z) en R³ | x² + y² + z² = 1 }

Question 9

Para que un subconjunto S de un espacio vectorial V sea un subespacio, ¿cuáles de las siguientes condiciones son necesarias y suficientes?

Accepted Answer

S es no vacío, cerrado bajo la suma y cerrado bajo la multiplicación escalar.

Answer

S es no vacío y cerrado bajo la suma.

Answer

S es no vacío y cerrado bajo la multiplicación escalar.

Question 10

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente una base de un espacio vectorial?

Accepted Answer

Es un conjunto de vectores linealmente independientes y generadores del espacio.

Answer

Es un conjunto de vectores linealmente dependientes y generadores del espacio.

Answer

Es un conjunto de vectores linealmente independientes y no generadores del espacio.

Question 11

Si un espacio vectorial V tiene dimensión n, ¿cuántos vectores linealmente independientes como máximo puede tener?

Accepted Answer

n

Answer

n - 1

Answer

n + 1

Question 12

Para que una transformación lineal T: V -> V sea invertible, ¿cuál de las siguientes condiciones debe cumplirse?

Accepted Answer

T es tanto inyectiva como sobreyectiva.

Answer

T es sobreyectiva.

Answer

T es inyectiva.

Answer

T es diagonalizable.

Question 13

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la diagonalización de matrices es correcta?

Accepted Answer

Una matriz es diagonalizable si y solo si tiene un conjunto de vectores propios linealmente independientes.

Answer

Una matriz es diagonalizable si y solo si tiene valores propios distintos.

Question 14

Sea V un espacio vectorial y S un subconjunto de V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en S es un subespacio de V.

Answer

El conjunto de todas las sumas de vectores en S es un subespacio de V.

Answer

El conjunto de todos los productos escalares de vectores en S es un subespacio de V.

Question 15

¿Es el conjunto de vectores S = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} linealmente independiente?

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

No hay suficiente información

Answer

Depende del contexto

Question 16

Determinar si la función f: R^3 -> R^2 definida por f(x, y, z) = (x + y, x - z) es lineal.

Accepted Answer

Sí

Answer

No hay suficiente información

Answer

No

Answer

Lineal sólo si x = 0

Question 17

¿Cuál es el vector cero en el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el intervalo [0, 1]?

Accepted Answer

La función f(x) = 0 para todo x

Answer

La función f(x) = x^2

Answer

La función f(x) = e^x

Question 18

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA sobre un subespacio de un espacio vectorial V?

Accepted Answer

Un subespacio es un conjunto que contiene al vector cero.

Answer

Un subespacio es cerrado bajo las operaciones de V.

Answer

Un subespacio es un subconjunto de V.

Answer

Un subespacio tiene la misma dimensión que V.

Question 19

La dimensión de un espacio vectorial es el número de:

Accepted Answer

Vectores linealmente independientes que forman una base

Answer

Vectores en el espacio vectorial

Answer

Subespacios del espacio vectorial

Question 20

¿Cuál de los siguientes conjuntos es una base para el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el intervalo [0, 1]?

Accepted Answer

{1, x, x^2}

Answer

{1, e^x, sin(x)}

Answer

{0, 1, x}

Answer

{x, x^2, x^3}

Question 21

El producto escalar de los vectores (1, 2, 3) y (4, 5, 6) en el espacio vectorial R^3 es:

Accepted Answer

32

Answer

20

Answer

15

Answer

50

Question 22

Dados los vectores u = (1, 2) y v = (3, -1) en R², ¿cuál es el vector u - v?

Accepted Answer

(-2, 3)

Answer

(4, -1)

Answer

(1, 4)

Answer

(4, 1)

Question 23

Dado el conjunto R² con la suma usual de vectores y la multiplicación por escalares, ¿cuál de los siguientes conjuntos es un subespacio vectorial de R²?

Accepted Answer

{(x, y) ∈ R² | x = y}

Answer

{(x, y) ∈ R² | x + y = 1}

Answer

{(x, y) ∈ R² | y = 2x}

Answer

{(x, y) ∈ R² | x = 0}

Question 24

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. ¿Qué propiedad garantiza que la suma de vectores en V es asociativa?

Accepted Answer

(u + v) + w = u + (v + w) para todo u, v, w ∈ V

Answer

Para cada u ∈ V, existe un vector -u ∈ V tal que u + (-u) = 0

Answer

u + 0 = u para todo u ∈ V

Answer

k(u + v) = ku + kv para todo k ∈ K y u, v ∈ V

Question 25

¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial R⁴?

Accepted Answer

4

Answer

3

Answer

2

Question 26

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. ¿Cuál de las siguientes propiedades NO es necesaria para que V sea un espacio vectorial?

Accepted Answer

El producto de un escalar por un vector en V siempre es un vector en V.

Answer

Existe un vector 0 ∈ V tal que u + 0 = u para todo u ∈ V

Answer

Para cada u ∈ V, existe un vector -u ∈ V tal que u + (-u) = 0

Question 27

Sean u, v, w vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V. ¿Cuál de los siguientes conjuntos también es linealmente independiente?

Accepted Answer

{u, u + v, u + v + w}

Answer

{u, v, w + u}

Answer

{u, v, 2u + v}

Answer

{u + v, u - v, w}

Question 28

Considere el espacio vectorial P₂ de todos los polinomios de grado menor o igual a 2. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es una base de P₂?

Accepted Answer

{1, x, x²}

Answer

{1, x, x² + 1}

Answer

{1, x + 1, x² + x}

Answer

{x, x² - 1, 2x²}

Question 29

Sea W el subespacio vectorial de R³ generado por los vectores (1, 0, 1) y (0, 1, 1). ¿Cuál de los siguientes vectores NO pertenece a W?

Accepted Answer

(2, 1, 0)

Answer

(1, 1, 2)

Answer

(1, 0, -1)

Answer

(0, 2, 2)

Question 30

Si S es un subconjunto de un espacio vectorial V, ¿cuáles de las siguientes condiciones DEBE cumplir S para ser un subespacio vectorial de V?

Accepted Answer

S debe contener el vector nulo, S debe ser cerrado bajo la suma de vectores y S debe ser cerrado bajo la multiplicación por escalares.

Answer

S debe ser un conjunto finito.

Question 31

Si una base de un espacio vectorial V tiene n vectores, ¿cuál es la dimensión de V?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

∞