Aplicaciones de vectores y espacios vectoriales: Cuestionarios interactivos

Question 1

Selecciona la afirmación correcta sobre los vectores unitarios:

Accepted Answer

Son vectores de magnitud unitaria (1).

Answer

Son vectores ortogonales al eje Y.

Answer

Son vectores que siempre apuntan hacia la derecha.

Answer

Son vectores paralelos al eje X.

Question 2

Un avión vuela a una velocidad de 200 km/h con una dirección de 30° al norte del este. Calcula las componentes horizontal y vertical de la velocidad del avión.

Accepted Answer

Horizontal: 173,2 km/h, Vertical: 100 km/h

Answer

Horizontal: 200 km/h, Vertical: 0 km/h

Answer

Horizontal: 0 km/h, Vertical: 200 km/h

Answer

Horizontal: 100 km/h, Vertical: 173,2 km/h

Question 3

Dentro de las siguientes afirmaciones sobre espacios vectoriales, ¿cuál es la falsa?

Accepted Answer

Un espacio vectorial es un conjunto finito de vectores.

Answer

Un espacio vectorial está cerrado bajo la multiplicación por un escalar.

Answer

Un espacio vectorial está cerrado bajo la suma de vectores.

Question 4

Determina la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

1

Answer

4

Question 5

Para los vectores v = (1, 2) y w = (3, 4), calcula el ángulo entre ellos.

Accepted Answer

33,69°

Answer

60°

Answer

45°

Answer

90°

Question 6

Identifica la transformación que es una aplicación lineal:

Accepted Answer

T(x, y) = (2x + y, 3x - 2y)

Answer

T(x, y) = (x^2, y^2)

Answer

T(x, y) = (sen(x), cos(y))

Answer

T(x, y) = (|x|, |y|)

Question 7

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una aplicación de los vectores en física?

Accepted Answer

Temperatura (en grados Celsius)

Answer

Velocidad

Answer

Fuerza

Question 8

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un subespacio vectorial del espacio R^3?

Accepted Answer

{x ∈ R^3 : x1 + x2 + x3 = 0}

Answer

{x ∈ R^3 : x1 = x2}

Answer

{x ∈ R^3 : x1 > x2}

Answer

{x ∈ R^3 : x1 = 1}

Question 9

En un espacio vectorial de dimensión n, ¿cuál es el número máximo de vectores linealmente independientes que forman una base?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

2n

Question 10

¿Cuál de los siguientes conjuntos NO es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales?

Accepted Answer

Los números reales positivos

Answer

Las matrices de 2x2 con entradas reales

Answer

Los vectores en el plano con coordenadas reales

Answer

Los polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales

Question 11

¿Cuál es el vector unitario en la dirección del vector A = (3, 4)?

Accepted Answer

(3/5, 4/5)

Answer

(4/5, 3/5)

Answer

(5/3, 5/4)

Question 12

¿Cuál de las siguientes transformaciones lineales es una aplicación lineal?

Accepted Answer

f(x) = x + 2

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 13

En un espacio vectorial de dimensión 3, ¿cuántos vectores linealmente independientes se necesitan para formar una base?

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

2

Answer

5

Question 14

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa un plano en el espacio tridimensional?

Accepted Answer

x + y - z = 0

Answer

x + y + z = 10

Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

y = x^3

Question 15

En un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿cuántas soluciones posibles hay si el determinante de la matriz de coeficientes es cero?

Accepted Answer

Infinitas

Answer

1

Answer

Ninguna

Answer

2

Question 16

Si dos vectores son ortogonales, entonces su producto escalar es:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

Mayor que 0

Question 17

Determina si el conjunto de vectores {v1, v2, v3} es linealmente independiente si v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 4, 6) y v3 = (3, 6, 9).

Accepted Answer

No es linealmente independiente (son múltiplos escalares entre sí).

Answer

Es linealmente independiente

Answer

No se puede determinar

Answer

Es linealmente dependiente solo para valores escalares no nulos

Question 18

Determina si la transformación T: R^3 → R^3 definida por T(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) es lineal.

Accepted Answer

Sí, es lineal ya que cumple las dos propiedades de linealidad: aditividad y homogeneidad.

Answer

Es lineal solo para transformaciones homogéneas

Answer

No, no es lineal

Question 19

Encuentra el vector unitario en la dirección del vector v = (3, 4, 0).

Accepted Answer

(3/5, 4/5, 0)

Answer

(0, 3/5, 4/5)

Answer

(4/5, 3/5, 0)

Answer

(5/3, 4/3, 0)

Question 20

Determina si la siguiente matriz es diagonalizable: A = [[1, 2], [3, 4]]

Accepted Answer

Sí, es diagonalizable porque sus autovalores son distintos y tiene un autovector linealmente independiente para cada autovalor.

Answer

Es diagonalizable solo para valores propios complejos

Answer

No, no es diagonalizable

Question 21

Determina el vector perpendicular al plano definido por los puntos P(1, 2, 3), Q(2, 3, 4) y R(3, 4, 5).

Accepted Answer

(1, 1, 1)

Answer

(0, 1, 0)

Answer

(1, 1, 0)

Answer

(1, 0, 1)

Question 22

¿Cuál de las siguientes opciones NO se aplica a los vectores en física?

Accepted Answer

Calcular el área de un triángulo.

Answer

Representar el desplazamiento de un objeto.

Answer

Determinar la velocidad de un objeto.

Answer

Calcular la fuerza resultante sobre un objeto.

Question 23

Un avión viaja 200 km hacia el este y luego 300 km hacia el norte. ¿Cuál es el desplazamiento total del avión, en magnitud y dirección?

Accepted Answer

360.55 km, 56.3° al norte del este.

Answer

200 km, 0°.

Answer

300 km, 90°.

Answer

500 km, 45° al norte del este.

Question 24

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumple con ciertas propiedades. ¿Cuál de las siguientes NO es una propiedad de un espacio vectorial?

Accepted Answer

La suma de dos vectores es siempre un escalar.

Answer

Existe un vector cero.

Answer

La multiplicación por un escalar es asociativa.

Answer

Cada vector tiene un inverso aditivo.

Question 25

¿Cuál de los siguientes conjuntos NO forma un espacio vectorial?

Accepted Answer

El conjunto de todas las matrices 2x2 con entradas reales.

Answer

El conjunto de todos los vectores en el plano cartesiano.

Answer

El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a 3.

Answer

El conjunto de todos los números reales.

Question 26

Un sistema de ecuaciones lineales se puede representar como una combinación lineal de vectores. ¿Cuál de las siguientes opciones describe correctamente la relación entre el sistema de ecuaciones y los vectores?

Accepted Answer

Las soluciones del sistema de ecuaciones son las combinaciones lineales de los vectores que representan las ecuaciones.

Answer

Los vectores que representan las ecuaciones son las soluciones del sistema de ecuaciones.

Question 27

Un ingeniero civil está diseñando un puente. ¿Cómo se pueden utilizar los vectores y los espacios vectoriales en este proceso?

Accepted Answer

Para calcular las fuerzas que actúan sobre el puente, determinar la estabilidad del puente y optimizar la distribución de materiales.

Answer

Para determinar el color del puente.

Question 28

Un arquitecto está diseñando un edificio. ¿Cómo se pueden utilizar los vectores y los espacios vectoriales en este proceso?

Accepted Answer

Para representar la posición de los elementos del edificio en el espacio, para calcular el volumen del edificio y para optimizar el flujo de aire dentro del edificio.

Answer

Para determinar el color del edificio.

Question 29

¿Cuál de las siguientes opciones es un ejemplo de un espacio vectorial de dimensión infinita?

Accepted Answer

El espacio de todos los polinomios con coeficientes reales.

Answer

El espacio de todas las matrices 2x2 con entradas reales.

Answer

El espacio de todos los vectores en el plano cartesiano.

Question 30

Un ingeniero mecánico está diseñando un motor. ¿Cómo se pueden utilizar los vectores y los espacios vectoriales en este proceso?

Accepted Answer

Para modelar el movimiento de las piezas del motor, para calcular la fuerza y el torque que actúan sobre las piezas del motor y para optimizar el diseño del motor.

Answer

Para determinar el color del motor.

Question 31

La base de un espacio vectorial es un conjunto linealmente independiente que abarca todo el espacio. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es una base del espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a 2?

Accepted Answer

{1, x, x^2, x^3}

Answer

{1 + x, x + x^2, 1 + x^2}

Answer

{1 - x, x - x^2, x^2 - 1}

Answer

{1, x, x^2}