Ecuaciones Diferenciales: Aprende y Domina los Sistemas de Ecuaciones

Question 1

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales es correcta?

Accepted Answer

Son aquellos en los que la derivada de cada variable depende únicamente de las demás variables del sistema y de la propia variable.

Answer

Son aquellos en los que las variables son independientes entre sí.

Question 2

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales es de primer orden y no lineal?

Accepted Answer

$\qquad y' = x^2 y + y^3$

Answer

$\qquad y' = 2xy + y$

Answer

$\qquad y'' = y' + y$

Answer

$\qquad y''' = y + y$

Question 3

¿Qué método se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y no lineales que son separables?

Accepted Answer

Método de separación de variables

Answer

Método de las pendientes

Answer

Método de variación de parámetros

Answer

Método de gráficos direccionales

Question 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales autónomos es verdadera?

Accepted Answer

Pueden exhibir comportamiento caótico.

Answer

No pueden modelar sistemas físicos reales.

Answer

Son siempre lineales en el tiempo.

Answer

Siempre tienen una solución única y estable.

Question 5

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el método de las pendientes es verdadera?

Accepted Answer

Permite visualizar el campo de pendientes de una ecuación diferencial de primer orden.

Answer

Es un método para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Answer

Es un método analítico para encontrar soluciones exactas.

Question 6

Considera el sistema de ecuaciones diferenciales lineales: x' = y, y' = -x. ¿Cuál es el punto crítico?

Accepted Answer

(0, 0)

Answer

(-1, -1)

Answer

(1, 1)

Question 7

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de los sistemas de ecuaciones diferenciales en ingeniería civil?

Accepted Answer

Modelado de puentes

Answer

Procesamiento de imágenes

Answer

Diseño de motores

Answer

Circuitos eléctricos

Question 8

¿Cuál de los siguientes métodos NO se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales?

Accepted Answer

Método de Newton-Raphson

Answer

Método de sustitución

Answer

Método de variación de parámetros

Answer

Método de eliminación

Question 9

Un sistema de ecuaciones diferenciales se considera lineal si:

Accepted Answer

Tanto las funciones incógnitas como sus derivadas aparecen linealmente en las ecuaciones.

Answer

Las ecuaciones son lineales en una de las funciones incógnitas.

Answer

Las funciones incógnitas aparecen linealmente, pero sus derivadas no.

Question 10

El método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales consiste en:

Accepted Answer

Eliminar una de las funciones incógnitas derivando una o ambas ecuaciones y combinándolas.

Answer

Encontrar una solución particular para cada ecuación y luego sumarlas.

Answer

Sustituir una de las funciones incógnitas por una expresión en términos de la otra.

Question 11

El método de variación de parámetros se utiliza para encontrar:

Accepted Answer

Una solución particular de un sistema no homogéneo, dada una solución general del sistema homogéneo asociado.

Answer

Una solución general de un sistema homogéneo.

Question 12

Un sistema de ecuaciones diferenciales tiene infinitas soluciones si:

Accepted Answer

El Wronskiano de las soluciones del sistema homogéneo asociado es cero para algún valor del intervalo de definición.

Answer

El Wronskiano de las soluciones del sistema homogéneo asociado es distinto de cero para todo valor del intervalo de definición.

Question 13

Se dice que dos funciones  y1(x) e y2(x) son linealmente independientes en un intervalo I si:

Accepted Answer

La única solución de la ecuación c1*y1(x) + c2*y2(x) = 0 para todo x en I es c1 = c2 = 0.

Answer

El Wronskiano de y1(x) e y2(x) es cero para algún valor de x en I.

Answer

y1(x) = k*y2(x) para alguna constante k y para todo x en I.

Question 14

Un punto crítico de un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo es aquel donde:

Accepted Answer

Las derivadas de todas las funciones incógnitas son cero.

Answer

Al menos una de las funciones incógnitas es cero.

Answer

El sistema se convierte en lineal.

Question 15

Un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma x' = Ax, donde x es un vector columna de funciones incógnitas y A es una matriz constante, se denomina:

Accepted Answer

Sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes.

Answer

Sistema no lineal homogéneo.

Answer

Sistema lineal no homogéneo.

Question 16

Se utiliza el método de los autovalores y autovectores para encontrar la solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma:

Accepted Answer

x' = Ax, donde A es una matriz constante.

Answer

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, donde M(x,y) y N(x,y) son funciones continuas.

Answer

dy/dx = f(x)g(y), donde f(x) y g(y) son funciones continuas.

Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x), donde p(x), q(x) y g(x) son funciones continuas.

Question 17

¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales tiene un punto de equilibrio en el origen?

Accepted Answer

x' = x^2 + y^2, y' = xy

Answer

x' = x + y^2, y' = xy

Answer

x' = x^2 - y^2, y' = xy

Answer

x' = x - y^2, y' = xy

Question 18

¿Qué técnica se utiliza para encontrar soluciones particulares de sistemas de ecuaciones diferenciales no homogéneas?

Accepted Answer

Variación de parámetros

Answer

Eliminación

Answer

Sustitución

Question 19

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden es verdadera?

Accepted Answer

Pueden utilizarse para modelar fenómenos como el crecimiento de la población y el decaimiento radiactivo.

Answer

Siempre tienen soluciones únicas.

Question 20

¿Qué método se utiliza para analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio de los sistemas de ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Linealización

Answer

Variación de parámetros

Answer

Integración numérica

Answer

Transformada de Laplace

Question 21

¿Cuál de las siguientes es una ventaja de utilizar la transformada de Laplace para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.

Answer

Siempre proporciona soluciones exactas.

Answer

Es aplicable a todos los sistemas de ecuaciones diferenciales.

Question 22

¿Cuál de los siguientes métodos NO se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales?

Accepted Answer

Método de Newton-Raphson

Answer

Método de variación de parámetros

Answer

Método de sustitución

Answer

Método de eliminación

Question 23

Un sistema de ecuaciones diferenciales se considera lineal si:

Accepted Answer

Las ecuaciones son lineales en las variables dependientes y sus derivadas.

Answer

Las ecuaciones no contienen términos constantes.

Answer

Las ecuaciones son lineales solo en las variables dependientes.

Question 24

El método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales se basa en:

Accepted Answer

Eliminar una de las variables dependientes para obtener una ecuación diferencial de orden superior.

Answer

Utilizar la transformada de Laplace para convertir el sistema en un sistema algebraico.

Answer

Encontrar una solución particular para cada ecuación del sistema.

Question 25

El método de variación de parámetros se utiliza para encontrar:

Accepted Answer

Una solución particular de un sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneo.

Answer

Los valores propios de la matriz de coeficientes.

Answer

La solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo.

Question 26

Un sistema de ecuaciones diferenciales se considera autónomo si:

Accepted Answer

Las ecuaciones no dependen explícitamente de la variable independiente.

Answer

Las ecuaciones son homogéneas.

Answer

Las ecuaciones son lineales.

Question 27

Un punto crítico de un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo es un punto donde:

Accepted Answer

Las derivadas de todas las variables dependientes son cero.

Answer

Las variables dependientes son todas iguales a cero.

Answer

El determinante de la matriz Jacobiana es cero.

Question 28

¿Cuál de los siguientes métodos se puede utilizar para determinar la estabilidad de un punto crítico?

Accepted Answer

Método de linealización

Answer

Método de Euler

Answer

Método de Runge-Kutta

Answer

Método de Newton-Raphson

Question 29

Un ciclo límite en un sistema de ecuaciones diferenciales es:

Accepted Answer

Una trayectoria cerrada en el espacio de fase que atrae o repele trayectorias cercanas.

Answer

Un punto crítico inestable.

Answer

Un punto crítico estable.

Question 30

El teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia y unicidad de la solución de un problema de valor inicial si:

Accepted Answer

Las funciones del lado derecho del sistema son continuas y tienen derivadas parciales continuas respecto a las variables dependientes.

Answer

El sistema es lineal.

Question 31

Un sistema de ecuaciones diferenciales se puede utilizar para modelar:

Accepted Answer

Todas las anteriores.

Answer

La propagación de una enfermedad.

Answer

El movimiento de un péndulo.

Answer

La interacción entre dos especies en un ecosistema.