Funciones de Varias Variables: Conceptos y Representación Gráfica

Question 1

¿Cuál de las siguientes características define a una función de varias variables?

Accepted Answer

Depende de dos o más variables independientes

Answer

Solo se puede representar gráficamente en dos dimensiones

Answer

Su dominio es siempre finito

Question 2

¿Qué representa el dominio de una función de varias variables?

Accepted Answer

El conjunto de valores posibles para las variables independientes

Answer

El gráfico de la función

Answer

El conjunto de valores posibles para la variable dependiente

Question 3

Para la función f(x, y) = x^2 + y^2, ¿cuál es el punto de su gráfica con coordenada z igual a 18?

Accepted Answer

(3, 3, 18)

Answer

(2, 4, 20)

Answer

(0, 6, 36)

Question 4

Para la función f(x, y) = xy, ¿en qué puntos cumple la condición del teorema del valor medio?

Accepted Answer

En todos los puntos (x, y) donde xy ≠ 0

Answer

Solo en el punto (0, 0)

Answer

En todos los puntos

Answer

Solo en los puntos donde x = y

Question 5

¿Cuál es la función del gradiente en el estudio de funciones de varias variables?

Accepted Answer

Proporciona la dirección de mayor incremento

Answer

Calcula el valor máximo

Answer

Determina los puntos críticos

Answer

Encuentra los puntos de silla

Question 6

¿Cuál es la diferencia clave entre una función escalar y una función vectorial?

Accepted Answer

Una función escalar asigna un solo número a cada punto, mientras que una función vectorial asigna un vector

Answer

Ambas asignan números a cada punto

Answer

Una función escalar es siempre continua, mientras que una función vectorial no

Question 7

¿Cuál de las siguientes definiciones describe con precisión una función de varias variables?

Accepted Answer

Una regla que asigna a cada conjunto ordenado de valores de entrada un valor de salida único.

Answer

Una ecuación que expresa la dependencia de una variable respecto a otra.

Answer

Un gráfico que representa la relación entre dos o más variables.

Question 8

¿Cuál es el dominio de la función f(x, y) = √(x^2 + y^2)?

Accepted Answer

Todos los pares ordenados (x, y) tales que x^2 + y^2 es mayor o igual que 0

Answer

Todos los pares ordenados (x, y) tales que x es mayor o igual que 0 e y es mayor o igual que 0

Answer

Todos los pares ordenados (x, y) tales que x^2 + y^2 es igual a 1

Question 9

¿Cuál es la representación gráfica de la función f(x, y) = x^2 + y^2?

Accepted Answer

Una esfera centrada en el origen

Answer

Un cono centrado en el eje z

Answer

Un plano que pasa por el origen

Answer

Un cilindro centrado en el eje y

Question 10

¿Cuál es la derivada parcial de la función f(x, y) = x^3 + y^2 con respecto a x?

Accepted Answer

3x^2

Answer

xy

Answer

y^2

Answer

x^3

Question 11

¿Cuál es la diferencial total de la función f(x, y) = ln(x^2 + y^2)?

Accepted Answer

((2x)/(x^2 + y^2))dx + ((2y)/(x^2 + y^2))dy

Answer

(2x)dx + (2y)dy

Answer

(1/x)dx + (1/y)dy

Answer

ln(x)dx + ln(y)dy

Question 12

¿Cuál de las siguientes integrales representa el volumen bajo la superficie de la función f(x, y) = xy sobre la región R definida por x^2 + y^2 menor o igual que 1?

Accepted Answer

∫∫R xy dx dy

Answer

∫∫R xy^2 dx dy

Answer

∫∫R x^2 y^2 dx dy

Answer

∫∫R x^2 y dx dy

Question 13

El dominio de la función f(x, y) = xy + 1 es:

Accepted Answer

R²

Answer

R² - {y = 0}

Answer

R

Answer

R² - {(0, 0)}

Question 14

El recorrido de la función f(x, y) = x² + y² es:

Accepted Answer

[0, ∞)

Answer

R²

Answer

R

Answer

R² - {(0, 0)}

Question 15

La representación gráfica de la función f(x, y) = x + y en el plano xy es:

Accepted Answer

Una recta diagonal

Answer

Una parábola

Answer

Una elipse

Answer

Una circunferencia

Question 16

Dados los valores f(2, 1) = 1 y f(2, 4) = 4, calcula el valor de la derivada parcial de f(x, y) con respecto a x en el punto (2, 1).

Accepted Answer

1.5

Answer

3

Answer

2

Answer

0

Question 17

El teorema de Stokes afirma que:

Accepted Answer

La circulación de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada es igual al flujo del rotacional del campo a través de la superficie que bordea la curva

Answer

El flujo de un campo vectorial a través de una superficie es igual a la circulación del campo alrededor de la frontera de la superficie

Answer

La divergencia de un campo vectorial en un punto es igual al flujo del campo a través de una superficie esférica centrada en el punto

Question 18

¿Cuál de las siguientes expresiones representa una función de dos variables?

Accepted Answer

f(x, y) = x² + y²

Answer

z = x + y

Answer

y = 2x + 1

Answer

x² + y = 1

Question 19

Determina el dominio de la función f(x, y) = 1 / (x - y).

Accepted Answer

{(x, y) | x ≠ y}

Answer

{(x, y) | y > 0}

Answer

{(x, y) | x + y > 0}

Answer

{(x, y) | x > 0}

Question 20

¿Cuál es el recorrido de la función f(x, y) = x² - y²?

Accepted Answer

[-∞, +∞]

Answer

[-x², x²]

Answer

[-1, 1]

Answer

[0, +∞]

Question 21

Determina si la función f(x, y) = x²y + y³ es continua en el punto (0, 0).

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Condicionalmente

Answer

No se puede determinar

Question 22

Encuentra el gradiente de la función f(x, y) = x³ + 2xy.

Accepted Answer

(3x² + 2y, 2x)

Answer

(x, y)

Answer

(3x², 2)

Answer

(x³, 2y)