Integrales Múltiples: Conceptos, Teoremas y Aplicaciones

Question 1

¿Cuál es el significado geométrico de la integral doble  ∫∫_D f(x,y) dA, donde f(x,y) ≥ 0 para todo (x,y) en D?

Accepted Answer

El volumen del sólido bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región D en el plano xy.

Answer

El área de la región D en el plano xy.

Answer

La longitud de la curva que delimita la región D.

Question 2

El teorema de Fubini establece que, bajo ciertas condiciones, el orden de integración en una integral doble:

Accepted Answer

Puede ser intercambiado.

Answer

No afecta el resultado final.

Answer

Depende del signo de la función.

Answer

Debe ser siempre de adentro hacia afuera.

Question 3

Se desea calcular el volumen del sólido limitado por el plano z = 0 y el paraboloide z = 4 - x^2 - y^2. ¿Cuál de las siguientes integrales dobles representa el volumen del sólido?

Accepted Answer

∫∫_D (4 - x^2 - y^2) dA, donde D es el círculo x^2 + y^2 ≤ 4.

Answer

∫∫_D (4 - x^2 - y^2) dA, donde D es el cuadrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.

Answer

∫∫_D (x^2 + y^2 - 4) dA, donde D es el círculo x^2 + y^2 ≤ 4.

Question 4

Al cambiar el orden de integración en la integral iterada ∫_0^1 ∫_0^x f(x,y) dy dx, se obtiene:

Accepted Answer

∫_0^1 ∫_y^1 f(x,y) dx dy

Answer

∫_0^x ∫_0^1 f(x,y) dx dy

Answer

∫_0^1 ∫_0^y f(x,y) dx dy

Answer

∫_y^1 ∫_0^1 f(x,y) dx dy

Question 5

¿Cuál es la integral triple que representa el volumen del sólido limitado por el cilindro x^2 + y^2 = 1 y los planos z = 0 y z = 2?

Accepted Answer

∫∫∫_E dV, donde E = {(x,y,z) | x^2 + y^2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}

Answer

∫∫∫_E (x^2 + y^2) dV, donde E = {(x,y,z) | x^2 + y^2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}

Answer

∫∫_D (2 - x^2 - y^2) dA, donde D es el círculo x^2 + y^2 ≤ 1

Question 6

Se desea calcular la masa de una lámina con densidad superficial ρ(x,y) = x + y, limitada por las curvas y = x y y = x^2. ¿Cuál de las siguientes integrales dobles representa la masa de la lámina?

Accepted Answer

∫_0^1 ∫_{x^2}^x (x + y) dy dx

Answer

∫_0^1 ∫_x^{x^2} (x + y) dy dx

Answer

∫_0^1 ∫_0^1 (x + y) dy dx

Question 7

Al cambiar a coordenadas cilíndricas, la integral triple ∫_{-1}^1 ∫_{-sqrt{1-x^2}}^{sqrt{1-x^2}} ∫_0^{sqrt{x^2+y^2}} f(x,y,z) dz dy dx se convierte en:

Accepted Answer

∫_0^{2π} ∫_0^1 ∫_0^r f(r cos θ, r sen θ, z) r dz dr dθ

Answer

∫_0^{π} ∫_0^1 ∫_0^r f(r cos θ, r sen θ, z) r dz dr dθ

Answer

∫_0^{2π} ∫_0^1 ∫_0^r f(r cos θ, r sen θ, z) dz dr dθ

Question 8

¿Cuál es el Jacobiano de la transformación de coordenadas x = u + v, y = u - v?

Accepted Answer

-2

Answer

1

Answer

2

Answer

-1

Question 9

Se utiliza una integral doble para calcular el área de una región R en el plano xy. ¿Cuál debe ser la función a integrar?

Accepted Answer

f(x,y) = 1

Answer

f(x,y) = y

Answer

f(x,y) = x

Answer

f(x,y) = x + y

Question 10

En el cálculo del volumen de un sólido utilizando integrales triples, ¿qué representa el elemento de volumen dV en coordenadas esféricas?

Accepted Answer

ρ^2 sen φ dρ dφ dθ

Answer

sen φ dρ dφ dθ

Answer

ρ dρ dφ dθ

Answer

ρ^2 dρ dφ dθ

Question 11

Calcula la integral doble de la función f(x, y) = xy sobre el rectángulo R definido por 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 2.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Question 12

Usa el teorema de Fubini para evaluar la integral triple ∫∫∫f(x, y, z) dV sobre el sólido E acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1.

Accepted Answer

1/6

Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

1/4

Question 13

Calcula el volumen del sólido E acotado por las superficies z = x² + y², z = 0 y y = x + 1.

Accepted Answer

8/15

Answer

1/15

Answer

4/15

Answer

2/15

Question 14

Determina el área de la superficie del paraboloide z = x² + y² sobre el rectángulo R definido por 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ 1.

Accepted Answer

5π

Answer

π

Answer

2π

Answer

10π

Question 15

Calcula la integral de línea de la función f(x, y) = x² + y sobre la curva C parametrizada por r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ π/2.

Accepted Answer

π/2

Answer

π/4

Answer

2π

Answer

π

Question 16

Determina el flujo del campo vectorial F(x, y) = (y, -x) a través de la curva C dada por x² + y² = 4, orientada en sentido antihorario.

Accepted Answer

0

Answer

2π

Answer

-2π

Answer

π

Question 17

Encuentra el centroide del triángulo con vértices A(0, 0), B(2, 0) y C(0, 3).

Accepted Answer

(4/3, 1)

Answer

(2/3, 1)

Answer

(1, 2/3)

Answer

(1, 4/3)

Question 18

Calcula el momento de inercia del disco sólido de radio R respecto al eje z.

Accepted Answer

(1/2)πR⁴

Answer

(1/4)πR⁴

Answer

πR⁴

Answer

(3/2)πR⁴

Question 19

Determina la integral de superficie de la función f(x, y, z) = z sobre la superficie del hemisferio superior de radio R centrado en el origen.

Accepted Answer

(2/3)πR³

Answer

πR³

Answer

(3/2)πR³

Answer

(1/3)πR³

Question 20

Encuentra el campo vectorial F(x, y, z) cuya divergencia es f(x, y, z) = x² + y² + z².

Accepted Answer

(x, y, z)

Answer

(x³, y³, z³)

Answer

(2x, 2y, 2z)