Métodos Directos para Sistemas de Ecuaciones Lineales: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

¿Cuál de los siguientes métodos se emplea directamente para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Eliminación Gaussiana

Answer

Gradiente conjugado

Answer

Búsqueda de raíces

Answer

Iteración de Jacobi

Question 2

En la eliminación Gaussiana, ¿qué operación se realiza en las filas para anular los coeficientes por debajo del pivote?

Accepted Answer

Resta de un múltiplo de la fila del pivote

Answer

Suma de un múltiplo de la fila del pivote

Answer

División por la fila del pivote

Answer

Multiplicación por la fila del pivote

Question 3

¿Cuál es el resultado de factorizar una matriz simétrica y definida positiva A como A = LL^T?

Accepted Answer

La matriz L es triangular inferior y no singular.

Answer

La matriz L es simétrica y no singular.

Answer

La matriz L es ortogonal y no singular.

Answer

La matriz L es triangular superior y no singular.

Question 4

¿Qué tipo de matriz se emplea en la descomposición QR?

Accepted Answer

Matriz ortogonal y matriz triangular superior

Answer

Matriz diagonal y matriz triangular superior

Answer

Matriz triangular inferior y matriz triangular superior

Answer

Matriz simétrica y matriz triangular inferior

Question 5

Si A es una matriz invertible y b es un vector, ¿cuál es la solución del sistema Ax = b?

Accepted Answer

x = A^-1b

Answer

x = bA

Answer

x = Ab

Answer

x = bA^-1

Question 6

¿Qué método se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales mal acondicionados?

Accepted Answer

Factorización LU con pivoteo parcial

Answer

Método de Cholesky

Answer

Eliminación Gaussiana simple

Answer

Método de Jacobi

Question 7

En la eliminación Gaussiana, ¿qué pivote se selecciona en cada paso?

Accepted Answer

El elemento con mayor valor absoluto en la columna actual

Answer

El elemento con menor valor absoluto en la columna actual

Answer

El primer elemento de la columna actual

Question 8

En la descomposición QR, ¿qué propiedades tiene la matriz Q?

Accepted Answer

Ortogonal, es decir, Q^T Q = I

Answer

Simétrica, es decir, Q = Q^T

Answer

Triangular superior, es decir, Q es una matriz de Hessenberg

Answer

Diagonal, es decir, Q = diag(q_1, q_2, ..., q_n)

Question 9

¿Cuál de los siguientes NO es un método directo para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Método de la secante

Answer

Método de Cholesky

Answer

Factorización LU

Answer

Eliminación Gaussiana

Question 10

¿Cuál de los siguientes métodos directos se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Eliminación Gaussiana

Answer

Método de bisección

Answer

Método de iteración

Question 11

En la factorización LU, ¿qué matriz representa la matriz triangular inferior con diagonal unitaria?

Accepted Answer

L

Answer

P

Answer

A

Answer

U

Question 12

El método de Cholesky es aplicable para sistemas de ecuaciones lineales con matrices:

Accepted Answer

Simétricas definidas positivas

Answer

Escalonadas

Answer

Triangulares

Answer

Simétricas definidas negativas

Question 13

En el método QR, ¿qué matriz es ortogonal?

Accepted Answer

Q

Answer

P

Answer

A

Answer

R

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la eliminación Gaussiana?

Accepted Answer

Puede producir una matriz escalonada equivalente a la matriz original.

Answer

Es un método iterativo.

Answer

Siempre converge a una solución única.

Question 15

La factorización LU se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales:

Accepted Answer

No singulares

Answer

Singulares

Answer

Deficientes

Answer

Inconsistentes

Question 16

¿Cuál de los siguientes métodos es un método directo y numéricamente estable?

Accepted Answer

Factorización LU

Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

Método de relajación

Answer

Método de Jacobi

Question 17

En el método de Cholesky, la matriz L es:

Accepted Answer

Triangular inferior con diagonal positiva definida

Answer

Triangular superior con diagonal positiva definida

Answer

Triangular superior con diagonal no nula

Answer

Triangular inferior con diagonal no nula

Question 18

¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es un beneficio de utilizar métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Son iterativos

Answer

Son eficientes

Answer

Son estables numéricamente

Answer

Son precisos

Question 19

Aplica la eliminación Gaussiana al sistema de ecuaciones lineales:
x + 2y = 5, 3x - y = 10. ¿Cuál es la solución?

Accepted Answer

x = 2, y = 1

Answer

x = 2, y = 2

Answer

x = 3, y = 1

Answer

x = 1, y = 2

Question 20

¿Cuál es la ventaja del método QR sobre la factorización LU?

Accepted Answer

Estabilidad numérica para matrices mal condicionadas

Answer

Mayor eficiencia para matrices densas

Answer

Facilidad de implementación

Question 21

En el método QR, ¿qué representa la matriz Q?

Accepted Answer

Matriz ortogonal

Answer

Matriz diagonal

Answer

Matriz triangular superior

Answer

Matriz triangular inferior

Question 22

Para utilizar el método de Cholesky, ¿qué condición debe cumplir la matriz?

Accepted Answer

Matriz simétrica definida positiva

Answer

Matriz diagonalizable

Answer

Matriz triangular inferior

Answer

Matriz cuadrada no singular

Question 23

¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales es incompatible?

Accepted Answer

x + y = 1, x + y = 2

Answer

x - y = 1, x + y = 3

Answer

x + y = 1, x - y = 1