Aplicaciones del Cálculo Vectorial: Ejercicios y Ejemplos para Ingeniería Civil

Question 1

¿Cuál de las siguientes es una aplicación del gradiente en física?

Accepted Answer

Describe la dirección de máxima variación de un campo escalar.

Answer

Circulación

Answer

Flujo

Answer

Campo vectorial

Question 2

Se tiene una superficie S parametrizada por r(u, v) = (u^2 + v^2, u - v). ¿Cuál es el vector normal a S?

Accepted Answer

(2u, 1)

Answer

(-2u, -1)

Answer

(u^2, u - v)

Answer

(1, 2u)

Question 3

¿Cuál de los siguientes es un ejemplo de un campo escalar?

Accepted Answer

Temperatura

Answer

Posición

Answer

Fuerza

Answer

Velocidad

Question 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para un campo vectorial irrotacional?

Accepted Answer

Su circulación alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero.

Answer

Su divergencia es siempre positiva.

Answer

Su gradiente es nulo.

Question 5

Una línea de flujo de un campo vectorial F es una curva tangente en cada punto a:

Accepted Answer

F

Answer

∇ × F

Answer

r(t)

Answer

∇ · F

Question 6

¿Cuál es la ecuación diferencial que representa la ley de Faraday para campos inducidos por movimiento, donde emf es la fuerza electromotriz?

Accepted Answer

emf = -dΦ/dt

Answer

emf = I·R

Answer

emf = V·t

Answer

emf = L·di/dt

Question 7

Para calcular la circulación de un campo vectorial F = (x, y) alrededor de una circunferencia unitaria centrada en el origen, ¿qué teorema de cálculo vectorial es aplicable?

Accepted Answer

Teorema de circulación de Stokes

Answer

Teorema fundamental del cálculo vectorial

Answer

Teorema de la divergencia de Gauss

Answer

Teorema del gradiente

Question 8

Un campo escalar ϕ satisface la ecuación de Laplace ∇²ϕ = 0. ¿Qué tipo de función es la solución general para ϕ?

Accepted Answer

Función armónica

Answer

Función polinómica

Answer

Función exponencial

Answer

Función vectorial

Question 9

El teorema de cálculo vectorial que relaciona el flujo de un campo vectorial F a través de una superficie cerrada S con la divergencia de F en la región encerrada por S es:

Accepted Answer

Teorema de la divergencia de Gauss

Answer

Teorema de Stokes

Answer

Teorema fundamental del cálculo vectorial

Answer

Teorema del gradiente

Question 10

En un campo estático de potencial escalar ϕ, ¿qué relación matemática existe entre el rotacional del gradiente de ϕ y un vector nulo?

Accepted Answer

∇x(∇ϕ) = 0

Answer

∇²ϕ = 0

Answer

∇.(∇ϕ) = 0

Question 11

La ley de Biot-Savart describe el campo magnético (dB) generado por una corriente eléctrica (Idl). ¿Cuál es la expresión correcta de esta ley?

Accepted Answer

dB = μ0/4π * (Idl x r)/r³

Answer

dε = Q²/4πε₀r²

Answer

dE = k(q₁q₂)/r²

Answer

dF = q(v x B)

Question 12

La condición de contorno de Cauchy para el potencial de velocidad (u) en un fluido viscoso incompresible que fluye sobre una superficie sólida establece que:

Accepted Answer

∂u/∂n = 0

Answer

∂²u/∂n² = 0

Answer

u = 0

Answer

∇·u = 0

Question 13

Calcula el gradiente de la función escalar f(x, y, z) = x²y + y²z.

Accepted Answer

(2xy, x² + 2yz, y²)

Answer

(x², y², z²)

Answer

(x, y, z)

Answer

(2x, y, 2z)

Question 14

Calcula el flujo del campo vectorial **F**(x, y, z) = (x, y, z) a través de la superficie esférica de radio *a* centrada en el origen.

Accepted Answer

4πa²

Answer

0

Answer

πa³

Answer

2πa²

Question 15

Determina el rotacional del campo vectorial **F**(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x).

Accepted Answer

(0, 0, 0)

Answer

(x, y, z)

Answer

(1, 1, 1)

Answer

(-1, -1, -1)

Question 16

Calcula el gradiente de la función escalar f(x, y, z) = xy + yz + zx.

Accepted Answer

(y + z, x + z, x + y)

Answer

(y, x, z)

Answer

(x, y, z)

Question 17

¿Cuál de las siguientes opciones describe la superficie definida por la ecuación x² + y² + z² = 1?

Accepted Answer

Esfera

Answer

Cilindro

Answer

Paraboloide

Answer

Plano

Question 18

Un avión viaja a una velocidad de 600 km/h en dirección N30°E. ¿Cuál es la componente horizontal de la velocidad del avión?

Accepted Answer

300√3 km/h

Answer

600√3 km/h

Answer

300 km/h

Answer

600 km/h

Question 19

Para calcular el trabajo realizado por una fuerza **F** = (x² + y²) **i** + (x - y) **j** al mover un objeto desde el punto A(0, 0) hasta el punto B(1, 1) a lo largo de una línea recta, ¿qué integral de línea se debe utilizar?

Accepted Answer

∫C (x^2 + y^2)dx + (x - y)dy

Answer

∫C (x^2 + y^2) **i** + (x - y) **j** ds

Answer

∫C (x^2 + y^2)ds

Answer

∫C (x^2 + y^2)dx + (x - y)ds

Question 20

Un campo vectorial **F** es conservativo si:

Accepted Answer

Su rotacional es cero.

Answer

Es un campo radial.

Answer

Su divergencia es cero.

Question 21

El flujo de un campo vectorial F a través de una superficie S se calcula mediante:

Accepted Answer

La integral de superficie de F sobre S.

Answer

La divergencia de F sobre S.

Answer

El rotacional de F sobre S.

Answer

La integral de línea de F sobre el borde de S.

Question 22

Se tiene una superficie S limitada por una curva C. Se aplica el teorema de Stokes para relacionar la integral de línea de un campo vectorial F sobre C con la integral de superficie de su rotacional sobre S. ¿Qué condición debe cumplir el campo vectorial F para que se pueda aplicar el teorema de Stokes?

Accepted Answer

F debe ser continuamente diferenciable en una región que contiene S y C.

Answer

F debe ser conservativo.

Answer

F debe ser un campo radial.

Question 23

Un fluido incompresible tiene una divergencia:

Accepted Answer

Cero

Answer

Infinita

Answer

Constante no nula

Answer

Variable en el tiempo

Question 24

Se utiliza el teorema de la divergencia para calcular el flujo de un campo vectorial F a través de una superficie cerrada S. ¿Qué se relaciona el teorema de la divergencia?

Accepted Answer

La integral de superficie de F sobre S con la integral de volumen de la divergencia de F sobre el volumen encerrado por S.

Answer

La integral de línea de F sobre el borde de S con la integral de superficie de la divergencia de F sobre S.

Question 25

Se quiere determinar la temperatura en un punto específico de un cuerpo, donde la distribución de temperatura está dada por una función escalar. ¿Qué herramienta del cálculo vectorial se utiliza para encontrar el gradiente de la función?

Accepted Answer

El gradiente

Answer

La integral de línea

Answer

El rotacional

Answer

La divergencia