Operaciones con campos vectoriales: cuestionarios interactivos para Cálculo Vectorial

Question 1

Calcula la divergencia del campo vectorial F = (x^2 + y^2)i + (x + 2y)j.

Accepted Answer

x + 4

Answer

2x + 2

Answer

x + 2

Answer

2x

Question 2

El teorema de Gauss establece que la integral de la divergencia de un campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a:

Accepted Answer

El flujo del campo vectorial a través de la superficie

Answer

La circulación del campo vectorial alrededor de la superficie

Answer

La suma de los flujos a través de todas las superficies parciales

Answer

El volumen encerrado por la superficie

Question 3

El operador nabla se define como:

Accepted Answer

(∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

Answer

(d/dx, d/dy, d/dz)

Answer

∇(x, y, z)

Answer

Φ(x, y, z)

Question 4

La divergencia de un campo vectorial representa:

Accepted Answer

La existencia o ausencia de fuentes o sumideros en un punto

Answer

La tasa de cambio de un campo vectorial a lo largo de una línea

Answer

El flujo de un campo vectorial a través de una superficie

Answer

La circulación de un campo vectorial alrededor de un punto

Question 5

Calcula el gradiente del campo vectorial **F(x, y) = (x²y, xy²)** en el punto **(1, 2)**.

Accepted Answer

(2, 4)

Answer

(0, 0)

Answer

(1, 2)

Answer

(4, 2)

Question 6

Determina el potencial escalar del campo vectorial **F(x, y) = (2x, 3y)**.

Accepted Answer

x² + 3xy

Answer

2x³ + 3y³

Answer

x² + y²

Answer

No tiene potencial escalar

Question 7

Calcular la divergencia del campo vectorial F(x,y,z) = (x^2, y^3, z^4).

Accepted Answer

2x + 3y + 4z

Answer

0

Answer

x^2 + y^3 + z^4

Answer

x + y + z

Question 8

El teorema del gradiente establece que si F(x,y,z) es un campo conservativo, entonces:

Accepted Answer

F = ∇φ, donde φ es una función escalar

Answer

F = Δφ, donde Δ es un operador diferencial

Answer

F = ∇×φ, donde φ es una función escalar

Answer

F = ∇·φ, donde φ es un campo vectorial

Question 9

Sea F(x,y,z) un campo vectorial solenoidal. Entonces el flujo del campo vectorial a través de cualquier superficie cerrada S es:

Accepted Answer

0

Answer

Igual al triple del flujo a través de cualquier superficie abierta delimitada por S

Answer

Igual al doble del flujo a través de cualquier superficie abierta delimitada por S

Answer

Igual al flujo a través de cualquier superficie abierta delimitada por S

Question 10

Sea F(x,y,z) un campo vectorial armónico. Entonces el laplaciano de F es:

Accepted Answer

0

Answer

Igual a la divergencia de F

Answer

Igual al gradiente de F

Answer

Igual al rotacional de F

Question 11

El operador laplaciano aplicado a un campo escalar φ se define como:

Accepted Answer

∇²φ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z²

Answer

∇²φ = ∇·φ

Answer

∇²φ = ∂φ/∂x + ∂φ/∂y + ∂φ/∂z

Answer

∇²φ = ∇×φ

Question 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el rotacional es correcta y cuál es su significado físico?

Accepted Answer

Mide la circulación del campo vectorial en un punto.

Answer

Es un campo vectorial solenoidal.

Answer

Indica la dirección y magnitud del campo vectorial.

Question 13

Si F(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2), ¿cuál es el resultado de calcular su gradiente y su utilidad en la Ingeniería Civil?

Accepted Answer

(2x, 2y, 2z)

Answer

(x^2 + y^2 + z^2)

Answer

(0, 0, 0)

Answer

(x, y, z)

Question 14

El campo vectorial F(x, y) = (x, -y) cumple una de las siguientes propiedades. ¿Cuál es y cuál es su importancia en la Ingeniería Civil?

Accepted Answer

Es un campo irrotacional.

Answer

Es un campo conservativo.

Answer

Su divergencia es cero.

Answer

Es un campo solenoidal.

Question 15

¿Cuál es el resultado de calcular la divergencia del campo vectorial F(x, y, z) = (x^2 + y^2, 2xy, 3xz) y su aplicación en la Ingeniería Civil?

Accepted Answer

2x + 3z

Answer

x^2 + y^2 + 3xz

Answer

0

Question 16

Si el campo vectorial F(x, y) = (xy, x - y) tiene una circulación no nula alrededor de un camino cerrado, ¿cuál es su propiedad y sus implicaciones en el diseño de sistemas de fluidos?

Accepted Answer

No es conservativo.

Answer

Su divergencia es cero.

Answer

Es irrotacional.

Answer

Es solenoidal.

Question 17

Calcula el gradiente del campo vectorial **F** = (x² + y) **i** + (y² - x) **j**.

Accepted Answer

(2x) **i** + (2y) **j**

Answer

(y + x) **i** + (y - x) **j**

Answer

(x + y) **i** + (y - x) **j**

Answer

(x - y) **i** + (y + x) **j**

Question 18

Calcula la integral de línea del campo vectorial **F** = (x²) **i** + (y²) **j** a lo largo de la curva parametrizada **r**(t) = (t²) **i** + (t³) **j**, donde 0 ≤ t ≤ 1.

Accepted Answer

1/3 + 1/4

Answer

1/4 + 1/3

Answer

1/4 - 1/3

Answer

1/3 - 1/4

Question 19

Calcula el potencial escalar del campo vectorial **F** = (x) **i** + (y) **j**.

Accepted Answer

(x²/2) + (y²/2)

Answer

(x + y)/2

Answer

(x² - y²)/2

Answer

x*y

Question 20

Determina el gradiente del campo vectorial **F** = (x²y, xy², xyz).

Accepted Answer

(2xy, y², yz)

Answer

(xy, 2xy, yz)

Answer

(x², y², xyz)

Answer

(2x, y, z)

Question 21

Calcula la divergencia del campo vectorial **F** = (e^x, sen(y), z²).

Accepted Answer

e^x + cos(y) + 2z

Answer

e^x + sen(y) - 2z

Answer

e^x - sen(y) + 2z

Answer

e^x - cos(y) - 2z

Question 22

Calcula el rotacional del campo vectorial **F** = (x², y², z²).

Accepted Answer

(0, 0, 0)

Answer

(0, 0, 2)

Answer

(2x, 2y, 2z)

Answer

(2y, -2x, 0)

Question 23

Calcula el flujo del campo vectorial **F** = (x, y) a través de la curva C definida por y = x²  entre x = 0 y x = 1.

Accepted Answer

1/3

Answer

0

Answer

El flujo no se puede calcular sin más información.

Answer

1

Question 24

Determina el valor de la integral de línea del campo vectorial **F** = (x - y, y + z, z - x) a lo largo de la curva C parametrizada por **r**(t) = (t, t², t³) de t = 0 a t = 1.

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

1

Answer

-1

Question 25

Calcula la integral de superficie del campo vectorial **F** = (x², y², z²) sobre la superficie S definida por z = x² + y² y z = 4.

Accepted Answer

8π

Answer

32π

Answer

4π

Answer

16π

Question 26

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre el campo vectorial **F** = (x + y, y - x)?

Accepted Answer

Es irrotacional.

Answer

Es conservativo.

Answer

No tiene ninguna de las propiedades mencionadas.

Answer

Es solenoidal.

Question 27

Calcula el flujo del campo vectorial **F** = (x, y, 2z) a través de la superficie S definida por z = x² + y² y z = 1.

Accepted Answer

π

Answer

π/2

Answer

2π

Answer

2π/3

Question 28

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre el campo vectorial **F** = (x², y², z²)?

Accepted Answer

Es solenoidal y no es irrotacional.

Answer

Es tanto irrotacional como solenoidal.

Answer

No es ni irrotacional ni solenoidal.

Answer

Es irrotacional y no es solenoidal.

Question 29

Calcula la integral de línea del campo vectorial **F** = (x + y, y - x, z) a lo largo de la curva C dada por **r**(t) = (t, t, t²) de t = 0 a t = 1.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

-1