Cálculo Integral: Test de Aprendizaje Interactivo para Análisis Matemático I

Question 1

Utiliza la integración por sustitución para calcular ∫(x * e^(x^2)) dx.

Accepted Answer

(1/2) * e^(x^2) + C

Answer

e^(x^2) + C

Answer

e^(-x^2) + C

Answer

(1/2) * e^(-x^2) + C

Question 2

Utiliza la integración por partes para calcular ∫x * cos(x) dx.

Accepted Answer

x * sin(x) - cos(x) + C

Answer

x * cos(x) + sin(x) + C

Answer

-x * cos(x) - sin(x) + C

Answer

-x * sin(x) + cos(x) + C

Question 3

Calcula el valor de la integral ∫[1, e] (1/x) dx usando la regla trapezoidal con n = 4 subintervalos.

Accepted Answer

0,9131

Answer

0,9031

Answer

0,9231

Answer

0,9331

Question 4

Calcula la integral: ∫(x^2 + 3x - 5) dx

Accepted Answer

x^3/3 + (3/2)x^2 - 5x + C

Answer

x^2 + 3x - 5 + C

Answer

x^2/3 + (3/2)x - 5 + C

Answer

x^3 + 3x^2 - 5x + C

Question 5

¿Cuál de los siguientes métodos es útil para resolver la integral: ∫ln(x) dx?

Accepted Answer

Integración por partes

Answer

Sustitución

Answer

Fracciones parciales

Answer

Completar el cuadrado

Question 6

¿En qué consiste el método de integración por partes?

Accepted Answer

Se utiliza para integrar el producto de dos funciones u(x) y v'(x), donde u(x) es diferenciable y v'(x) es integrable.

Answer

Consiste en multiplicar el integrando por una constante.

Question 7

¿Cuál es el enunciado del método de integración por sustitución?

Accepted Answer

Se utiliza para integrar funciones compuestas, donde el integrando es una composición de una función externa e interna.

Answer

Consiste en integrar el integrando por partes.

Question 8

Calcula la integral indefinida de f(x) = x^2 + 3x - 2 con respecto a x.

Accepted Answer

x^3/3 + (3/2)x^2 - 2x + C

Answer

x^2/3 + 3x - 2x + C

Answer

2x^3 + 3x^2 - 2x + C

Question 9

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es el Teorema Fundamental del Cálculo?

Accepted Answer

La integral definida de una función f(x) continua en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de la antiderivada de f(x) en los puntos b y a.

Answer

La integral indefinida de una función es su derivada.

Question 10

Determina la integral definida de f(x) = x² entre los límites de integración x = 0 y x = 2. ¿Cuál es el resultado?

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

16/3

Answer

4

Question 11

Identifica la integral que representa el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas y = x² e y = 1 alrededor del eje x.

Accepted Answer

π∫(1 - x²)² dx, con límites de integración desde x = -1 hasta x = 1

Answer

π∫(1 - x²) dx, con límites de integración desde x = -1 hasta x = 1

Answer

π∫(x² - 1) dx, con límites de integración desde x = -1 hasta x = 1

Answer

π∫(x² - 1)² dx, con límites de integración desde x = -1 hasta x = 1

Question 12

Calcula la longitud de arco de la curva y = ln(x) desde x = 1 hasta x = e.

Accepted Answer

√(e² + 1) - √2

Answer

e + 1 - √2

Answer

√(e² + 1) - 1

Answer

e² + 1 - √2

Question 13

Una corriente eléctrica fluye a través de un conductor con una intensidad que varía en el tiempo según la función i(t) = 2t² + 3t. Determina la carga total que fluye a través del conductor entre t = 0 y t = 2 segundos.

Accepted Answer

20/3 Coulombs

Answer

16/3 Coulombs

Answer

10 Coulombs

Answer

8 Coulombs

Question 14

La función f(x) = x³ - 3x² + 2x tiene un punto de inflexión en x = ?

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

0

Answer

2

Question 15

Si la integral de una función f(x) es F(x) + C, ¿cuál es la integral de 2f(x) + 3?

Accepted Answer

2F(x) + 3x + C

Answer

F(x) + 3x + C

Answer

2F(x) + 3 + C

Answer

F(x) + C

Question 16

Identifica la técnica de integración más adecuada para resolver la integral ∫x sin(x²) dx.

Accepted Answer

Sustitución con u = x²

Answer

Fracciones parciales

Answer

Por partes

Answer

Integración por series

Question 17

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la integral definida de la función f(x) = 2x + 1 en el intervalo [0, 2]?

Accepted Answer

∫⁰² (2x + 1) dx

Answer

d(2x + 1)/dx desde 0 hasta 2

Answer

∫(2x + 1) dx

Answer

(2x + 1) evaluado en x = 2

Question 18

Si F(x) = x² + C es la integral indefinida de f(x), ¿cuál es el valor de f(3)?

Accepted Answer

6

Answer

9

Answer

12

Question 19

Una corriente variable en el tiempo está dada por i(t) = 3t² amperios. ¿Cuál es la carga total, en Coulombs, que pasa a través de un punto en el circuito durante el intervalo de tiempo t = 1 segundo a t = 3 segundos?

Accepted Answer

24

Answer

81

Answer

27

Answer

9

Question 20

Para calcular el área bajo la curva definida por la función  y = x² + 2x entre x = 0 y x = 2, ¿cuál de las siguientes integrales definidas se utiliza?

Accepted Answer

∫₀² (x² + 2x) dx

Answer

2 * ∫₀¹ (x² + 2x) dx

Answer

(x² + 2x) evaluado en x = 2

Answer

∫ (x² + 2x) dx

Question 21

Aplicando el método de integración por partes, ¿cuál es la integral indefinida de x * e^x dx?

Accepted Answer

x * e^x - e^x + C

Answer

e^x + C

Answer

x * e^x + C

Answer

x² * e^x + C

Question 22

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una propiedad de la integral definida?

Accepted Answer

∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx solo si f(x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración.

Answer

∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Answer

∫a^b cf(x) dx = c∫a^b f(x) dx donde c es una constante

Answer

∫a^b f(x) dx = - ∫b^a f(x) dx

Question 23

Se define una función de densidad de probabilidad como f(x) = 2x en el intervalo [0, 1] y f(x) = 0 en otro lugar. ¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre 0.5 y 1?

Accepted Answer

0.75

Answer

0.25

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Answer

1

Question 24

Si se utiliza una integral definida para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable, y la fuerza se mide en Newtons y la distancia en metros, ¿en qué unidades se expresa el trabajo?

Accepted Answer

Joules

Answer

Newtons

Answer

Watts

Answer

Metros

Question 25

Para aproximar el valor de la integral definida ∫f(x) dx desde a hasta b usando la regla del trapecio, ¿cuál de los siguientes factores influye en la precisión de la aproximación?

Accepted Answer

El número de subintervalos utilizados en la aproximación.

Answer

El valor de f(b).

Answer

La forma de la función f(x) en el intervalo [a, b].

Answer

El valor de f(a).

Question 26

Calcular la integral de la función f(x) = x^2 + 1 en el intervalo [0, 2].

Accepted Answer

6

Answer

8

Answer

5

Answer

10

Question 27

Hallar el área bajo la curva de la función f(x) = sin(x) en el intervalo [0, π/2].

Accepted Answer

1

Answer

π

Answer

0

Answer

2

Question 28

Determinar si la función f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 es continua en el intervalo [0, 2].

Accepted Answer

Sí

Answer

Solo en x = 0

Answer

No

Answer

Solo en x = 1

Question 29

Encontrar la integral de la función f(x) = e^x + cos(x) en el intervalo [0, π/2].

Accepted Answer

e^(π/2) - 1 + sin(π/2)

Answer

e^(π/2) - 1 - sin(π/2)

Answer

e^(π/2) + cos(π/2)

Answer

e^(π/2) + 1 - sin(π/2)

Question 30

Utilizando la integral impropia, calcular el área de la región limitada por la curva y = 1 / x^2 y los ejes coordenados.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

π

Answer

2

Question 31

Calcula la integral indefinida de la función f(x) = 3x² + 2x - 1.

Accepted Answer

x³ + x² - x + C

Answer

6x + 2 + C

Answer

x³ + x² - 1 + C

Answer

9x² + 2 + C

Question 32

Calcula la integral definida de la función f(x) = x² de 0 a 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

2

Answer

16/3

Question 33

El Teorema Fundamental del Cálculo relaciona la integral definida de una función con:

Accepted Answer

La diferencia de las funciones antiderivadas en los límites superior e inferior de la integración.

Answer

El área bajo la curva de la función.

Answer

La derivada de la función.

Question 34

Utiliza la integración para encontrar el área bajo la curva de la función f(x) = 2x + 1 entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

6

Answer

2

Answer

4

Answer

8

Question 35

La integral de una función constante es:

Accepted Answer

Una función lineal.

Answer

Una función exponencial.

Answer

Otra función constante.

Answer

Una función logarítmica.

Question 36

¿Cuál de las siguientes opciones representa la integral de la función f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

1/x² + C

Answer

x² + C

Answer

-1/x + C

Question 37

Utiliza la integración por partes para calcular la integral de la función f(x) = x*sin(x).

Accepted Answer

-x*cos(x) + sin(x) + C

Answer

-x*sin(x) + cos(x) + C

Answer

x*cos(x) - sin(x) + C

Answer

x*sin(x) - cos(x) + C

Question 38

¿Cuál de las siguientes funciones NO es una función antiderivada de la función f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) - 2

Answer

sin(x) + 1

Answer

sin(x)

Answer

sin(x) - 1

Question 39

Una integral impropia se caracteriza por:

Accepted Answer

Tener límites de integración infinitos o contener discontinuidades en el intervalo de integración.

Answer

Tener un integrando que no es una función continua.

Answer

No poder calcularse utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

Question 40

¿Cuál es la integral de la función f(x) = 1/(1+x²)?

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

1/(1+x) + C

Answer

ln(1+x²) + C

Answer

1/2 * ln(1+x²) + C