Límites y continuidad: cuestionarios interactivos para Análisis Matemático I

Question 1

El teorema del límite de la suma afirma que:

Accepted Answer

El límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones.

Answer

El límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites de las funciones.

Answer

El límite de un cociente de funciones es igual al cociente de los límites de las funciones.

Answer

Ninguna de las anteriores.

Question 2

La función f(x) = 1 / (x - 2) es continua en:

Accepted Answer

ℝ  {2}

Answer

ℝ

Answer

{2}

Answer

∅

Question 3

El teorema del valor intermedio afirma que:

Accepted Answer

Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces toma todos los valores entre sus valores mínimo y máximo.

Answer

Si una función es derivable en un intervalo abierto, entonces es monótona.

Answer

Si una función es inyectiva, entonces es sobreyectiva.

Answer

Ninguna de las anteriores.

Question 4

La función f(x) = x^2 + 1 es:

Accepted Answer

Continua para todo x.

Answer

Discontinua en x = 0.

Answer

Discontinua en x = 1.

Answer

Ninguna de las anteriores.

Question 5

La función f(x) = {x^2 si x ≤ 1, x + 1 si x > 1} es:

Accepted Answer

Discontinua en x = 1.

Answer

Continua en x = 1.

Answer

Derivable en x = 1.

Answer

Ninguna de las anteriores.

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre el límite de una función cuando (x) tiende a infinito?

Accepted Answer

Puede ser un número finito, infinito o no existir

Answer

Siempre es igual a cero

Answer

Siempre es infinito

Answer

Siempre es un número finito

Question 7

¿Cuál de los siguientes teoremas se utiliza para determinar el límite de una función compuesta?

Accepted Answer

Teorema del límite de funciones compuestas

Answer

Teorema del límite de sumas

Answer

Teorema del límite de cocientes

Answer

Teorema del límite de productos

Question 8

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es una consecuencia del Teorema del Valor Intermedio?

Accepted Answer

Si una función es continua en un intervalo cerrado, toma todos los valores entre sus valores extremos

Answer

Si una función es derivable en un intervalo, es monótona

Question 9

Determina si la función (f(x) = arctan(x)) es continua en el intervalo ( (-infty, infty)).

Accepted Answer

Sí

Answer

Sólo en el intervalo ( [-1, 1])

Answer

Sólo en el intervalo ( (-pi/2, pi/2))

Answer

No

Question 10

Determina si la función (f(x) = sin(1/x)) es continua en (x = 0).

Accepted Answer

No es continua

Answer

Es continua

Answer

Es continua a izquierda

Answer

Es continua a derecha

Question 11

Calcula el límite de la función $f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)$ cuando $x$ tiende a 2.

Accepted Answer

4

Answer

Undefined

Answer

0

Question 12

Determina si la función $f(x) = 1 / x$ es continua en $x = 0$.

Accepted Answer

No

Answer

Continua por la izquierda

Answer

Sí

Answer

Continua por la derecha

Question 13

Encuentra el valor de la derivada de la función $f(x) = |x|$ en $x = 0$.

Accepted Answer

La función no es derivable en $x = 0$.

Answer

1

Answer

0

Question 14

Determina el intervalo donde la función $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ es decreciente (decrece).

Accepted Answer

(-∞, 2/3]

Answer

(-∞, ∞)

Answer

[-2/3, 2/3]

Answer

[2/3, ∞)

Question 15

Define correctamente el límite de una función en un punto:

Accepted Answer

El valor al que se aproxima la función cuando el argumento se acerca al punto.

Answer

El valor de la función en el punto

Answer

La derivada de la función en el punto

Question 16

Calcula el límite de f(x) = (x² - 1) / (x - 1) cuando x tiende a 1:

Accepted Answer

2

Answer

Indeterminado

Answer

1

Answer

0

Question 17

¿Qué teorema permite calcular el límite de un producto de funciones?

Accepted Answer

Teorema del límite del producto

Answer

Teorema del límite de la suma

Answer

Teorema del límite del cociente

Answer

Teorema del valor intermedio

Question 18

¿Qué afirmación es cierta sobre f(x) = 1 / x?

Accepted Answer

Tiene una discontinuidad esencial en x = 0

Answer

Es continua en todos los puntos reales

Answer

Tiene una discontinuidad evitable en x = 0

Answer

Tiene una discontinuidad saltatoria en x = 0

Question 19

¿Cuál de las siguientes funciones es discontinua en todos los puntos reales?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x² - 1)

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x³

Question 20

Determina si f(x) = { x si x es racional, 0 si x es irracional } es continua en x = 0:

Accepted Answer

Discontinua

Answer

No se puede determinar

Answer

Continua

Answer

Indeterminada

Question 21

Calcula el límite de la función f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) cuando x se aproxima a 2.

Accepted Answer

4

Answer

Indeterminado

Answer

2

Answer

-2

Question 22

Calcula el límite de la función f(x) = e^(2x) - 1 / (x - 1) cuando x se aproxima a 1.

Accepted Answer

e^2

Answer

Indeterminado

Answer

Infinito

Answer

1

Question 23

Determina si la función f(x) = sqrt(x^2 - 4) es continua en el intervalo [-2, 2].

Accepted Answer

No

Answer

Sí, excepto en x = 2

Answer

Sí, excepto en x = -2

Answer

Sí

Question 24

Determina si la función f(x) = (x - 3) / (x² - 9) es continua en x = 3.

Accepted Answer

No

Answer

Sí

Answer

Solo si x ≠ 3

Answer

Solo si x ≠ 0

Question 25

¿Cuál es el valor del límite de la función f(x) = e^(2x) cuando x tiende a infinito?

Accepted Answer

∞

Answer

1

Answer

0

Answer

-∞

Question 26

Determina si la función f(x) = arctan(x) es derivable en x = 0.

Accepted Answer

Sí

Answer

Solo si x < 0

Answer

Solo si x > 0

Answer

No

Question 27

Calcula la derivada de la función f(x) = lim(x->0) (sen(x) - x) / x³.

Accepted Answer

1/6

Answer

1/2

Answer

0

Answer

1/3

Question 28

¿Cuál es la definición de límite de una función?

Accepted Answer

El valor al que se aproxima la función cuando el argumento se acerca a un valor específico, denominado argumento límite.

Answer

El valor promedio de la función en un entorno del argumento límite.

Answer

El valor que la función toma en el argumento límite.

Question 29

Selecciona la definición correcta de continuidad de una función en un punto.

Accepted Answer

La función tiene límite en ese punto y el límite es igual al valor de la función en ese punto.

Answer

La función tiene derivada en ese punto y la derivada es cero.

Answer

La función es diferenciable en un entorno de ese punto.

Question 30

Si f(x) es continua en el intervalo [a, b], ¿qué afirma el Teorema del Valor Extremo?

Accepted Answer

f(x) alcanza su valor máximo y su valor mínimo al menos una vez en el intervalo [a, b].

Answer

f(x) alcanza su valor máximo pero no su valor mínimo en el intervalo [a, b].

Answer

f(x) alcanza su valor máximo y su valor mínimo exactamente una vez en el intervalo [a, b].

Question 31

¿Cuál de las siguientes funciones es discontinua en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 32

Calcula el límite de la función **f(x) = (x² - 4) / (x - 2)** cuando **x tiende a 2**. Considera factorizar el numerador y aplicar el límite correspondiente.

Accepted Answer

**4**

Answer

No existe

Answer

2

Answer

0

Question 33

¿Cuál de las siguientes funciones **es continua en x = 1**? Considera la definición de continuidad y analiza cada opción.

Accepted Answer

**f(x) = x²**

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = [x]

Question 34

Determina el límite de la función **f(x) = sin(x) / x** cuando **x tiende a 0**. Aplica el teorema del límite notable para funciones trigonométricas y el límite de x/x.

Accepted Answer

**1**

Answer

∞

Answer

0

Answer

-1

Question 35

Si **f(x) es continua en x = a** y **g(x) es continua en x = f(a)**, entonces la función compuesta **g(f(x)) es:**

Accepted Answer

**Continua en x = a**

Answer

No necesariamente continua en x = a

Answer

Discontinua en x = a

Answer

Continua en x = f(a)

Question 36

En el punto **x = 2**, la función **f(x) = (x² - 4) / (x - 2)** tiene:

Accepted Answer

**Una discontinuidad evitable**

Answer

Una discontinuidad esencial

Answer

Una discontinuidad asintótica

Answer

Una discontinuidad de salto

Question 37

El límite de la función **f(x) = 1 / (x - 1)** cuando **x tiende a 1 por la derecha** es:

Accepted Answer

**∞**

Answer

0

Answer

-∞

Answer

1

Question 38

Si **f(x) es una función continua en el intervalo [a, b]** y **f(a) < 0** y **f(b) > 0**, entonces:

Accepted Answer

**Existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) donde f(c) = 0**

Answer

La función tiene un máximo o mínimo en el intervalo (a, b)

Answer

No existe ningún punto c en el intervalo (a, b) donde f(c) = 0

Question 39

La función **f(x) = |x|** es:

Accepted Answer

**Continua en todos los puntos de su dominio**

Answer

Discontinua en x = 0

Answer

Discontinua en x = -1

Answer

Discontinua en x = 1

Question 40

Si el límite de **f(x) cuando x tiende a a es L**, entonces:

Accepted Answer

**El límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual al límite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha**

Answer

El límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es diferente al límite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha

Question 41

El límite de la función **f(x) = (x³ - 8) / (x - 2)** cuando **x tiende a 2** es:

Accepted Answer

**12**

Answer

-12

Answer

0

Answer

∞