Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

Una ecuación diferencial que modela el crecimiento de una población con tasa de crecimiento proporcional a la población presente es:

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = y/t

Answer

y' = yt

Answer

y' = k - y

Question 2

¿Qué tipo de ecuación diferencial representa la ley de enfriamiento de Newton?

Accepted Answer

Ecuación diferencial lineal de primer orden

Answer

Ecuación diferencial parcial

Answer

Ecuación diferencial no lineal

Answer

Ecuación diferencial lineal de segundo orden

Question 3

Una ecuación diferencial que modela el flujo de calor en una barra de longitud finita es:

Accepted Answer

∂u/∂t = ∂²u/∂x²

Answer

u' = u

Answer

u'' = u

Answer

u' = k

Question 4

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales se utiliza en el estudio de circuitos eléctricos?

Accepted Answer

Análisis de circuitos RL y RC

Answer

Crecimiento bacteriano

Answer

Modelado de poblaciones

Answer

Flujo de fluidos

Question 5

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las ecuaciones diferenciales en ingeniería eléctrica?

Accepted Answer

Análisis de circuitos RL

Answer

Estudio de mecánica cuántica

Answer

Análisis de estructuras

Answer

Diseño de motores eléctricos

Question 6

La ecuación diferencial y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 es una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea porque:

Accepted Answer

El término independiente es cero.

Answer

La ecuación es de primer orden.

Answer

La ecuación es no lineal.

Answer

Los coeficientes p(x) y q(x) son constantes.

Question 7

El factor integrante de la ecuación diferencial y’ + p(x)y = q(x) es:

Accepted Answer

e^(∫p(x) dx)

Answer

q(x)

Answer

e^(-∫p(x) dx)

Answer

∫p(x) dx

Question 8

Una población de bacterias crece exponencialmente según la ley: dP/dt = kP. Si la población inicial es P(0) = 100 y se duplica cada hora, ¿cuál es el valor de k?

Accepted Answer

ln(2)

Answer

e

Answer

1

Answer

-ln(2)

Question 9

¿Cuál de los siguientes es el factor integrante de la ecuación diferencial y' + y = sen(x)?

Accepted Answer

e^x

Answer

sen(x)

Answer

cos(x)

Answer

e^(-x)

Question 10

¿Qué tipo de ecuación diferencial representa el enfriamiento de Newton?

Accepted Answer

Ecuación diferencial lineal de primer orden

Answer

Ecuación diferencial no lineal de segundo orden

Answer

Ecuación diferencial lineal de segundo orden

Answer

Ecuación diferencial no lineal de primer orden

Question 11

Una partícula se mueve a lo largo de una recta según la ecuación diferencial: x''(t) + 2x(t) = sen(ωt). ¿Cuál es la frecuencia natural de la partícula?

Accepted Answer

ω

Answer

0

Answer

2ω

Question 12

¿Qué método se utiliza para resolver la ecuación diferencial: y' = y + 1?

Accepted Answer

Método de factor integrante

Answer

Método de Laplace

Answer

Método de separación de variables

Answer

Método de variación de constantes

Question 13

La ecuación diferencial: (x + y)dx + (2x - y)dy = 0 es:

Accepted Answer

Exacta

Answer

Homogénea

Answer

Lineal

Answer

Separable

Question 14

La ecuación diferencial: y' = y^2 es una ecuación diferencial:

Accepted Answer

No lineal de primer orden

Answer

No lineal de segundo orden

Answer

Lineal de primer orden

Answer

Lineal de segundo orden

Question 15

Una población crece a una tasa proporcional a su tamaño. Este crecimiento se modela mediante la ecuación diferencial dP/dt = kP, donde P es la población y k es una constante positiva. ¿Cuál es la solución general para P(t)?

Accepted Answer

P(t) = P0e^(kt)

Answer

P(t) = P0(1 + kt)

Answer

P(t) = kP0t

Answer

P(t) = P0 + kt

Question 16

Una barra elástica de longitud 1 está fija en un extremo y libre en el otro. La barra está sometida a una carga puntual de P en el extremo libre. ¿Cuál es la ecuación diferencial que describe la deflexión vertical de la barra?

Accepted Answer

EI d^4w/dx^4 = P

Answer

EI d^2w/dx^2 = P

Answer

EI d^4w/dx^4 = -P

Question 17

En ingeniería eléctrica, las ecuaciones diferenciales se utilizan principalmente para:

Accepted Answer

Modelar el comportamiento de circuitos eléctricos

Answer

Diseñar puentes

Answer

Analizar datos financieros

Answer

Predecir el clima

Question 18

Para resolver la ecuación diferencial y' = y², se utiliza el método de:

Accepted Answer

Separación de variables

Answer

Integración por partes

Answer

Integración numérica

Answer

Integración por sustitución

Question 19

¿Cuál de las siguientes NO es una ecuación diferencial parcial?

Accepted Answer

Ecuación diferencial ordinaria

Answer

Ecuación parabólica

Answer

Ecuación hiperbólica

Answer

Ecuación elíptica

Question 20

La ecuación diferencial ∂u/∂t = k ∂²u/∂x² representa un proceso de:

Accepted Answer

Difusión

Answer

Radiación

Answer

Convección

Answer

Conducción

Question 21

Un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias es:

Accepted Answer

Método de Runge-Kutta

Answer

Integración por partes

Answer

Transformada de Laplace

Question 22

El teorema que garantiza la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial de primer orden es:

Accepted Answer

Teorema de Picard-Lindelöf

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema de la función inversa

Answer

Teorema de Rolle

Question 23

Un sistema masa-resorte modelado por la ecuación diferencial m'' + kx = 0 tiene una frecuencia natural de:

Accepted Answer

√(k/m)

Answer

m/k

Answer

k/m

Answer

0

Question 24

Un circuito eléctrico contiene una resistencia de 10 ohmios, una inductancia de 1 henry y una fuente de voltaje de 12 voltios. Si la corriente inicial es de 0 amperios, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe la corriente en el circuito?

Accepted Answer

di/dt + 10i = 12

Answer

di/dt - 10i = 12

Answer

di/dt - 10i = 0

Answer

di/dt + 10i = 0

Question 25

Un objeto con una masa de 1 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con una constante de proporcionalidad de 0.5, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe el movimiento del objeto?

Accepted Answer

dv/dt = -9.8 - 0.5v

Answer

dv/dt = -9.8 + 0.5v

Answer

dv/dt = 9.8 + 0.5v

Answer

dv/dt = 9.8 - 0.5v

Question 26

La población de una colonia de bacterias se duplica cada hora. Si la población inicial es de 1000 bacterias, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe el crecimiento de la población?

Accepted Answer

dP/dt = ln(2)P

Answer

dP/dt = P/ln(2)

Answer

dP/dt = 2P

Answer

dP/dt = P/2

Question 27

Una solución de 100 litros de agua contiene 10 gramos de sal. Se añade agua pura a la solución a una tasa de 2 litros por minuto, y la mezcla se retira a la misma tasa. ¿Cuál es la ecuación diferencial que describe la cantidad de sal en la solución en función del tiempo?

Accepted Answer

dS/dt = -2S/100

Answer

dS/dt = 2S/100

Answer

dS/dt = -2S/50

Answer

dS/dt = 2S/50

Question 28

La temperatura de un objeto se enfría a una tasa proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente. Si la temperatura ambiente es de 20 grados Celsius y la temperatura inicial del objeto es de 80 grados Celsius, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe la temperatura del objeto en función del tiempo?

Accepted Answer

dT/dt = -k(T - 20)

Answer

dT/dt = k(T - 20)

Answer

dT/dt = k(T + 20)

Answer

dT/dt = -k(T + 20)

Question 29

La ecuación diferencial y' + 2y = 4x se puede resolver utilizando el método de:

Accepted Answer

Factor integrante

Answer

Variación de parámetros

Answer

Separación de variables

Question 30

La solución general de la ecuación diferencial y'' + 4y = 0 es:

Accepted Answer

y = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Answer

y = C1e^(2x)

Answer

y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)

Answer

y = C1x + C2

Question 31

La ecuación diferencial y' = y^2 - 1 tiene puntos de equilibrio en:

Accepted Answer

y = 1 y y = -1

Answer

y = -1 y y = 0

Answer

y = 1

Answer

y = 0 y y = 1

Question 32

El problema de valor inicial y' = 2y, y(0) = 1 tiene la solución:

Accepted Answer

y = e^(2x)

Answer

y = 2e^(2x)

Answer

y = e^(-2x)

Answer

y = 2e^(-2x)

Question 33

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es homogénea si:

Accepted Answer

El término independiente es cero

Answer

La derivada de segundo orden es cero

Answer

La derivada de primer orden es cero