Series de potencias: Concepto, convergencia y aplicaciones

Question 1

¿Cuál de las siguientes series es **una serie de potencias centrada en el origen**?

Accepted Answer

∑(n=0)^∞ x^n

Answer

∑(n=1)^∞ n^2

Answer

∑(n=0)^∞ 1/(n+1)

Answer

∑(n=1)^∞ 1/n

Question 2

¿Cuál es el **radio de convergencia** de la serie de potencias ∑(n=0)^∞ (2x)^n?

Accepted Answer

1/2

Answer

-1/2

Answer

2

Answer

∞

Question 3

¿Cuál es el **límite** de la suma de la serie de potencias ∑(n=0)^∞ x^n a medida que x tiende a ∞?

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 4

Encuentra la suma de la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ (x^n) / (n!). ¿Qué función representa esta serie?

Accepted Answer

e^x

Answer

x^2

Answer

cos(x)

Answer

sin(x)

Question 5

Determina si la serie de potencias ∑_(n=1)^∞ (n^2x^n) / n converge para x=2 usando la prueba de la razón.

Accepted Answer

Divergente

Answer

Condicionalmente convergente

Answer

Convergente

Answer

No se puede determinar

Question 6

Determina el intervalo de convergencia de la serie de potencias ∑_(n=0)^∞ ((-1)^n x^(2n+1)) / (2n+1) usando el criterio de la razón.

Accepted Answer

[-1, 1]

Answer

[0, 2]

Answer

[-2, 2]

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la función f(z) = Σ (n=0) ^ (∞) z^n / n!??

Accepted Answer

Es analítica en todo el plano complejo

Answer

Sólo es analítica para |z| < 1

Answer

Tiene un punto singular en z = 0

Answer

Es una función entera

Question 8

Obtén el desarrollo en serie de potencias de la función f(z) = ln(1 + z) en torno a z = 0 utilizando la serie geométrica.

Accepted Answer

Σ (n=1) ^ (∞) (-1) ^ (n+1) * z^n / n

Answer

Σ (n=0) ^ (∞) z^n / (n+1)

Answer

Σ (n=1) ^ (∞) z^n / n

Answer

Σ (n=0) ^ (∞) (-1)^n * z^n / (n+1)

Question 9

Evalúa la integral ∫(0)^(1) (1/sqrt(1 - x^2)) dx utilizando la serie de potencias Σ (n=0) ^ (∞) (x^2)^n / (2n+1).

Accepted Answer

π/2

Answer

∞

Answer

1/2

Answer

0

Question 10

¿Cuál de las siguientes series de potencias representa la función f(z) = e^z?

Accepted Answer

Σ (n=0) ^ (∞) z^n / n!

Answer

Σ (n=0) ^ (∞) (-1)^n * z^n / (n+1)!

Answer

Σ (n=1) ^ (∞) z^n / n

Question 11

Determina el intervalo de convergencia de la serie de potencias Σ (n=0) ^ (∞) (z + i)^n / (n+2) utilizando el Criterio del Cociente.

Accepted Answer

|z + i| < 1

Answer

|z + i| > 1

Answer

0

Answer

Todo el plano complejo

Question 12

Identifica la serie que corresponde a una serie de potencias.

Accepted Answer

∑(n=0)^∞ x^n

Answer

∑(n=0)^∞ (n+1)/(n+2)

Answer

∑(n=1)^∞ n^2

Answer

∑(n=1)^∞ 1/n

Question 13

Determina el radio de convergencia de la serie de potencias ∑(n=1)^∞ (x-2)^n / n.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Answer

Infinito

Question 14

En qué punto se debe centrar la serie de potencias para representar la función f(x) = e^x en el intervalo (-2, 2)?

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

-1

Answer

1

Question 15

Cuál es el término general de la serie de potencias que representa la función f(x) = 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1)?

Accepted Answer

x^n

Answer

x^(n+1)

Answer

1/x^n

Answer

n*x^n

Question 16

Selecciona la serie de potencias que representa la función f(x) = arctan(x) en el intervalo (-1, 1).

Accepted Answer

∑(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)

Answer

∑(n=1)^∞ (-1)^n x^n / n

Answer

∑(n=0)^∞ x^n / n

Answer

∑(n=0)^∞ x^(2n+1) / (2n+1)

Question 17

En qué intervalo converge la serie de potencias ∑(n=1)^∞ (x+3)^n / n?

Accepted Answer

(-4, -2)

Answer

(-2, 4)

Answer

(-∞, -2)

Answer

No converge

Question 18

Una serie de potencias es una serie infinita de términos que incluyen potencias de una variable. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las series de potencias es **verdadera**?

Accepted Answer

Las series de potencias se pueden utilizar para representar funciones analíticas.

Answer

Las series de potencias solo se pueden utilizar para representar funciones polinómicas.

Answer

Las series de potencias siempre convergen para todos los valores de la variable.

Answer

El radio de convergencia de una serie de potencias siempre es infinito.

Question 19

La serie de potencias ∑(n=0 hasta ∞) (x^n)/n! representa la función:

Accepted Answer

e^x

Answer

ln(1+x)

Answer

cos(x)

Answer

sen(x)

Question 20

El término general de la serie de potencias ∑(n=0 hasta ∞) (x-a)^n/n! es:

Accepted Answer

(x-a)^n/n!

Answer

(x-a)^(n+1)/n!

Answer

n!(x-a)^n

Answer

n(x-a)^n

Question 21

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el radio de convergencia de una serie de potencias es **FALSA**?

Accepted Answer

El radio de convergencia siempre es un número entero.

Answer

El radio de convergencia determina el intervalo de convergencia de la serie.

Answer

El radio de convergencia puede ser cero.

Answer

El radio de convergencia puede ser infinito.

Question 22

Dada la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, ¿cuál es su función suma?

Accepted Answer

$e^x$

Answer

$\cos x$

Answer

$\frac{1}{1-x}$

Answer

$\sin x$

Question 23

La serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ converge para $x = 2$ y diverge para $x = -4$. ¿Cuál es el posible rango del radio de convergencia $R$?

Accepted Answer

$2 < R \leq 4$

Answer

$0 < R \leq 2$

Answer

$4 < R \leq 6$

Answer

$R > 4$

Question 24

Encuentre la serie de Maclaurin de $f(x) = \cos(x)$.

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Question 25

Si la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ converge para $x = 3$, ¿qué podemos afirmar sobre la convergencia de la serie en $x = -2$?

Accepted Answer

La serie puede converger o divergir en $x = -2$.

Answer

La serie converge condicionalmente en $x = -2$.

Answer

La serie diverge en $x = -2$.

Answer

La serie converge absolutamente en $x = -2$.

Question 26

¿Cuál de las siguientes funciones NO puede ser representada por una serie de potencias en un entorno de $x = 0$?

Accepted Answer

$|x|$

Answer

$\sin x$

Answer

$e^x$

Answer

$\cos x$

Question 27

¿Cuál es la serie de potencias que representa la función f(x) = e^x?

Accepted Answer

Σ[n=0 hasta ∞] (x^n/n!)

Answer

Σ[n=0 hasta ∞] (x^n)

Answer

Σ[n=1 hasta ∞] (x^n/n)

Answer

Σ[n=1 hasta ∞] (x^n/n!)

Question 28

Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias Σ[n=1 hasta ∞] ((-1)^n * x^(2n+1))/(2n+1).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

2

Question 29

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la serie de potencias Σ[n=0 hasta ∞] ((x-1)^n/n^2) es verdadera?

Accepted Answer

Converge para todo x.

Answer

Converge solo para |x-1| < 1.

Answer

Diverge para todo x.

Answer

Converge solo para |x-1| > 1.

Question 30

Calcular el valor de la suma Σ[n=1 hasta ∞] (1/(n^2 * 2^n)).

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Question 31

Determinar el desarrollo en serie de potencias de la función f(x) = ln(x) alrededor de x=1.

Accepted Answer

Σ[n=1 hasta ∞] (-1)^(n+1) * (x-1)^n/n

Answer

Σ[n=1 hasta ∞] (x-1)^n

Answer

Σ[n=0 hasta ∞] (x-1)^n/n

Answer

Σ[n=0 hasta ∞] (-1)^n * (x-1)^n/n

Question 32

¿Cuál es el coeficiente de x^3 en el desarrollo en serie de potencias de la función f(x) = sen(x) alrededor de x=0?

Accepted Answer

-1/6

Answer

1/3

Answer

-1/3

Answer

1/6

Question 33

Determinar si la serie de potencias Σ[n=0 hasta ∞] (n * x^n) es absolutamente convergente para x=-2.

Accepted Answer

Diverge

Answer

Converge absolutamente

Answer

No se puede determinar

Answer

Converge condicionalmente

Question 34

¿Cuál de los siguientes valores de p hace que la serie de potencias Σ[n=1 hasta ∞] (n^p * x^n) sea convergente para todo x?

Accepted Answer

p > 1

Answer

p = 1

Answer

p < 1

Answer

p = 0

Question 35

Determinar la derivada de la serie de potencias Σ[n=0 hasta ∞] (x^n/n!).

Accepted Answer

Σ[n=1 hasta ∞] (n * x^(n-1)/n!)

Answer

Σ[n=0 hasta ∞] (x^(n-1)/(n-1)!)

Answer

Σ[n=1 hasta ∞] (x^n/n)

Answer

Σ[n=0 hasta ∞] (x^(n+1)/(n+1)!)

Question 36

¿Cuál es el intervalo de convergencia de la serie de potencias Σ[n=0 hasta ∞] ((-1)^n * (x-3)^n/2^n)?

Accepted Answer

(2, 4]

Answer

[1, 5]

Answer

(2, 4)

Answer

[2, 4]