Sistemas de Ecuaciones Diferenciales: Cuestionarios de Aprendizaje para Análisis Matemático II

Question 1

Determina el valor propio complejo del sistema de ecuaciones diferenciales:
$x' = 2x - y$
$y' = x + 2y$

Accepted Answer

$1 + i$

Answer

$i$

Answer

$1 - i$

Question 2

El orden de un sistema de ecuaciones diferenciales se define como:

Accepted Answer

El orden más alto de la derivada de cualquier variable dependiente

Answer

El número de variables dependientes

Answer

El número de ecuaciones en el sistema

Question 3

El método de eliminación de Gauss es aplicable para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales:

Accepted Answer

Lineales de primer orden

Answer

Lineales de segundo orden

Answer

No lineales de primer orden

Answer

No lineales de segundo orden

Question 4

La solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo es:

Accepted Answer

Una combinación lineal de soluciones fundamentales

Answer

Una función exponencial

Answer

Una suma de soluciones particulares

Answer

Una solución numérica

Question 5

El teorema de existencia y unicidad de Picard-Lindelöf establece que, bajo ciertas condiciones:

Accepted Answer

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden tiene una solución única

Answer

Un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden tiene una solución única

Answer

Un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales tiene una solución única

Question 6

La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales:

Accepted Answer

Lineales con coeficientes constantes

Answer

Lineales de cualquier orden

Answer

No lineales de primer orden

Answer

No lineales con coeficientes variables

Question 7

El sistema de ecuaciones diferenciales dx/dt = x - y, dy/dt = x + y es un sistema:

Accepted Answer

Lineal de primer orden

Answer

No lineal de segundo orden

Answer

No lineal de primer orden

Answer

Lineal de segundo orden

Question 8

¿Cuál de las siguientes ecuaciones **NO** es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden?

Accepted Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y' = xy

Answer

x' + y' = 1

Answer

y' = x + y

Question 9

Determina si el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales es lineal o no lineal:
y' = x^2y

Accepted Answer

No lineal

Answer

Lineal

Answer

Homogéneo

Answer

No separable

Question 10

¿Cuál de las siguientes condiciones iniciales es **necesaria** para resolver únicamente el sistema de ecuaciones diferenciales y' = Ay?

Accepted Answer

y(0) = 0

Answer

y(1) = 0

Answer

y'(1) = 0

Answer

y'(0) = 0

Question 11

Para el sistema $$x' = 2x + 3y 
ewline y' = x + 2y$$, el método de eliminación de Gauss-Jordan produce la matriz escalonada reducida:

Accepted Answer

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$$

Answer

$$\begin{pmatrix} 1 & 3 \ 0 & 1 end{pmatrix}$$

Answer

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 end{pmatrix}$$

Answer

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 end{pmatrix}$$

Question 12

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes tiene la siguiente forma general:

$a_{11} \frac{d^2x}{dt^2} + a_{12} \frac{dx}{dt} + a_{13} x + a_{14} \frac{d^2y}{dt^2} + a_{15} \frac{dy}{dt} + a_{16} y = f_1(t)$

$a_{21} \frac{d^2x}{dt^2} + a_{22} \frac{dx}{dt} + a_{23} x + a_{24} \frac{d^2y}{dt^2} + a_{25} \frac{dy}{dt} + a_{26} y = f_2(t)$

¿Qué representan los términos $a_{ij}$ en este sistema?

Accepted Answer

Las constantes $a_{ij}$ son los coeficientes de las derivadas de las funciones $x(t)$ e $y(t)$.

Answer

Las $a_{ij}$ son funciones del tiempo que representan la dependencia temporal de los coeficientes.

Answer

Las $a_{ij}$ son las variables independientes del sistema.

Question 13

Un sistema de ecuaciones diferenciales se considera homogéneo cuando:

Accepted Answer

Los términos independientes $f_i(t)$ en cada ecuación del sistema son todos cero.

Answer

Las funciones $x(t)$ e $y(t)$ son funciones homogéneas.

Answer

Los coeficientes $a_{ij}$ son todos iguales.

Question 14

El método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales consiste en:

Accepted Answer

Combinar las ecuaciones del sistema para eliminar una de las variables, obteniendo una ecuación diferencial de orden inferior.

Answer

Resolver cada ecuación del sistema por separado y luego combinar las soluciones.

Answer

Utilizar la transformada de Laplace para convertir el sistema en un sistema algebraico.

Question 15

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogéneo de segundo orden con coeficientes constantes se puede resolver utilizando:

Accepted Answer

El método de los coeficientes indeterminados y la técnica de variación de parámetros.

Answer

La transformada de Fourier para analizar las frecuencias del sistema.

Answer

El método de Euler para aproximar la solución.

Question 16

Un sistema de ecuaciones diferenciales se considera estable si:

Accepted Answer

Las soluciones tienden a un punto de equilibrio cuando el tiempo tiende a infinito.

Answer

Las soluciones son periódicas y no se amortiguan.

Answer

Las soluciones son crecientes exponencialmente.

Question 17

El análisis de estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal se puede realizar mediante:

Accepted Answer

El análisis de los valores propios de la matriz del sistema.

Answer

La evaluación de la función de transferencia del sistema.

Answer

La determinación del rango de la matriz del sistema.

Question 18

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es lineal si:

Accepted Answer

Los términos que incluyen a las derivadas de las funciones incógnitas son lineales en las funciones incógnitas.

Answer

Todas las funciones incógnitas son lineales.

Question 19

El método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales se basa en:

Accepted Answer

Combinar las ecuaciones del sistema para eliminar una de las funciones incógnitas.

Answer

Resolver cada ecuación del sistema por separado.

Answer

Transformar el sistema a una ecuación diferencial de orden superior.

Question 20

Un sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo es aquel en el que:

Accepted Answer

Todos los términos no lineales en las funciones incógnitas son cero.

Answer

Todas las derivadas de las funciones incógnitas son de orden par.

Answer

Todas las funciones incógnitas son funciones homogéneas.

Question 21

El método de variación de parámetros se utiliza para resolver:

Accepted Answer

Sistemas de ecuaciones diferenciales no homogéneos.

Answer

Sistemas de ecuaciones diferenciales homogéneos.

Answer

Ecuaciones diferenciales de orden superior.

Question 22

Un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden se clasifica como:

Accepted Answer

Un sistema que involucra derivadas de segundo orden de las funciones incógnitas.

Answer

Un sistema que se puede resolver con un método de segundo orden.

Answer

Un sistema que involucra funciones incógnitas de segundo grado.

Question 23

El concepto de autovalores y autovectores es fundamental para:

Accepted Answer

Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes.

Answer

Clasificar la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales.

Answer

Encontrar soluciones particulares de sistemas no homogéneos.

Question 24

La estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales se refiere a:

Accepted Answer

El comportamiento de las soluciones del sistema cuando el tiempo tiende al infinito.

Answer

La existencia y unicidad de soluciones del sistema.

Answer

La regularidad de las soluciones del sistema.

Question 25

En un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homogéneo con coeficientes constantes, si todos los autovalores de la matriz de coeficientes tienen partes reales negativas, el sistema es:

Accepted Answer

Asintóticamente estable.

Answer

Inestable.

Answer

Estable en el sentido de Lyapunov.

Answer

Marginalmente estable.

Question 26

El método de Frobenius se utiliza para encontrar soluciones de:

Accepted Answer

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes variables.

Answer

Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

Answer

Ecuaciones diferenciales no lineales.

Question 27

Un circuito eléctrico RC en serie se puede modelar matemáticamente como:

Accepted Answer

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que describe la corriente y la tensión en el circuito.

Answer

Una ecuación diferencial de segundo orden que describe la tensión en el circuito.