Transformaciones lineales: cuestionarios interactivos para Análisis Matemático II

Question 1

Dados los vectores v1 = (1, 2) y v2 = (3, 4), ¿cuál es la transformación lineal que envía v1 a (2, 4) y v2 a (6, 8)?

Accepted Answer

T(x, y) = (2x, 2y)

Answer

T(x, y) = (x + 1, y + 2)

Answer

T(x, y) = (2x + 1, 2y + 2)

Answer

T(x, y) = (3x, 4y)

Question 2

Sea T: R^2 -> R^3 una transformación lineal tal que T(1, 0) = (1, 0, 0) y T(0, 1) = (0, 1, 0). ¿Cuál es la matriz asociada a T?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1], [0, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0], [0, 0]]

Answer

[[0, 0], [1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 0], [0, 1]]

Question 3

¿Cuál de las siguientes transformaciones es lineal?

Accepted Answer

T(x, y) = (2x + y, x - y)

Answer

T(x, y) = (x^2, y^2)

Answer

T(x, y) = (cos(x), sen(y))

Answer

T(x, y) = (x, y) + (1, 2)

Question 4

¿Cuál es el núcleo de la transformación lineal T: R^2 -> R^3 definida por T(x, y) = (x + y, x - y, z)?

Accepted Answer

{(0, 0, z)}

Answer

{(x, y, 0)}

Answer

{(x, -x, 0)}

Answer

{(0, 0, 0)}

Question 5

¿Cuál es la imagen de la transformación lineal T: R^3 -> R^2 definida por T(x, y, z) = (x + y, 2z)?

Accepted Answer

{(x + y, 2z)}

Answer

{(x + y, 0)}

Answer

{(x, y, z)}

Answer

{(0, 2z)}

Question 6

Sea T: R^2 -> R^2 una transformación lineal tal que T(1, 0) = (2, 1) y T(0, 1) = (1, 2). ¿Cuál es la inversa de T?

Accepted Answer

T^(-1)(x, y) = (2x - y, x - 2y)

Answer

T^(-1)(x, y) = (2x + y, x + 2y)

Answer

T^(-1)(x, y) = (x + y, 2x + 2y)

Answer

T^(-1)(x, y) = (x - 2y, 2x - y)

Question 7

¿Qué afirmación es cierta acerca de la composición de dos transformaciones lineales?

Accepted Answer

Siempre es una transformación lineal

Answer

Puede ser lineal o no lineal

Answer

Solo es una transformación lineal si ambas son inyectivas

Answer

Siempre es una función no lineal

Question 8

¿Cuándo una transformación lineal es un isomorfismo?

Accepted Answer

Cuando es inyectiva y sobreyectiva

Answer

Cuando es solo sobreyectiva

Answer

Cuando es solo inyectiva

Question 9

¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de R^2 a R^2?

Accepted Answer

4

Answer

8

Answer

6

Answer

2

Question 10

Sea T: R^3 -> R^3 una transformación lineal tal que T(1, 0, 0) = (1, 1, 0), T(0, 1, 0) = (0, 1, 1) y T(0, 0, 1) = (1, 0, 1). ¿Qué interpretación geométrica tiene la transformación T?

Accepted Answer

Una rotación alrededor del eje z

Answer

Una reflexión respecto al plano xy

Answer

Una proyección sobre el plano xy

Answer

Una traslación paralela al eje x

Question 11

Sea T: Rⁿ → Rᵐ una transformación lineal y sea A la matriz asociada a T en las bases canónicas de Rⁿ y Rᵐ, respectivamente. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

El núcleo de T es el conjunto de vectores en Rⁿ cuyos representantes en la base canónica son soluciones del sistema lineal homogéneo Ax = 0.

Answer

La imagen de T es el conjunto de vectores en Rᵐ cuyas representantes en la base canónica son soluciones del sistema lineal homogéneo Ax = 0.

Question 12

Considera la transformación lineal T: R² → R³ definida por T(x, y) = (x + y, x - y, 2x). ¿Cuál es la matriz asociada a T en las bases canónicas de R² y R³?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, -1], [2, 0]]

Answer

[[1, 1], [1, -1], [2, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 1], [2, 0]]

Answer

[[1, -1], [1, 1], [2, 0]]

Question 13

Sea T: R³ → R² una transformación lineal y sea B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} una base de R³. ¿Qué base de R² es la que convierte a la matriz asociada a T en una matriz diagonal?

Accepted Answer

La base formada por los vectores T(1, 0, 0) y T(0, 1, 0).

Answer

La base formada por los vectores T(1, 0, 0), T(0, 1, 0) y T(0, 0, 1).

Answer

La base B.

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa acerca de las transformaciones lineales?

Accepted Answer

Una transformación lineal siempre es invertible.

Answer

La imagen de una transformación lineal es un subespacio de su codominio.

Answer

El núcleo de una transformación lineal es un subespacio de su dominio.

Answer

Una transformación lineal conserva las combinaciones lineales.

Question 15

Sea T: R² → R³ una transformación lineal y sea A la matriz asociada a T en las bases canónicas de R² y R³. Si det(A) = 0, ¿qué se puede concluir acerca de T?

Accepted Answer

T no es inyectiva.

Answer

T no es biyectiva.

Answer

T no es sobreyectiva.

Answer

T es una isometría.

Question 16

Sea V un espacio vectorial y sea T: V → V una transformación lineal. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones implica que T es una proyección?

Accepted Answer

T² = T.

Answer

T es inyectiva.

Answer

T es sobreyectiva.

Answer

T es biyectiva.

Question 17

Sea T: R⁴ → R² una transformación lineal. ¿Cuál es la dimensión máxima de la imagen de T?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

6

Answer

4

Question 18

Sea T: R³ → R² una transformación lineal. ¿Cuál es la dimensión mínima del núcleo de T?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Answer

3

Question 19

¿Cuál de las siguientes transformaciones lineales es una isometría?

Accepted Answer

Una rotación en R².

Answer

Una proyección en R³.

Answer

Una dilatación en R⁴.

Answer

Un cambio de base en R⁵.

Question 20

Sea T: V → V un operador lineal en un espacio vectorial V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera si T es invertible?

Accepted Answer

Existe un operador lineal S: V → V tal que T∘S = S∘T = I.

Answer

La imagen de T es todo V.

Answer

El núcleo de T es trivial.