Aproximación de funciones: Cálculo Numérico para Ingeniería Eléctrica

Question 1

En el desarrollo de Taylor de la función f(x) = e^x alrededor de x = 0, el término de grado 3 es:

Accepted Answer

x³/6

Answer

x²/2

Answer

x²/4

Answer

x³/8

Question 2

La forma general de la función racional utilizada para aproximar una función f(x) es:

Accepted Answer

p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios

Answer

p(x) + q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios

Answer

p(x) * q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios

Answer

p(x) - q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios

Question 3

El error absoluto de una aproximación f(x) ≈ p(x) para un valor específico de x es:

Accepted Answer

|f(x) - p(x)|

Answer

|f(x)| - |p(x)|

Answer

|f(x) + p(x)|

Answer

|f(x) * p(x)|

Question 4

El método de mínimos cuadrados se utiliza para determinar los coeficientes de un polinomio de aproximación:

Accepted Answer

Minimizando la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de la función y los valores del polinomio

Answer

Maximizando la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de la función y los valores del polinomio

Answer

Midiendo la distancia entre los gráficos de la función y el polinomio

Answer

Calculando la integral de la diferencia entre la función y el polinomio

Question 5

Para una función continua y diferenciable f(x), el teorema del valor medio garantiza que:

Accepted Answer

Existe un punto c en el intervalo [a, b] donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)

Answer

Existe un punto c en el intervalo [a, b] donde f'(c) > (f(b) - f(a))/(b - a)

Answer

Existe un punto c en el intervalo [a, b] donde f'(c) < (f(b) - f(a))/(b - a)

Answer

No existe ningún punto c en el intervalo [a, b] donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)

Question 6

El orden de convergencia de un método de aproximación se refiere a:

Accepted Answer

La tasa a la que el error disminuye cuando aumenta el número de iteraciones

Answer

El número máximo de iteraciones requeridas para alcanzar una precisión determinada

Answer

La precisión del resultado aproximado en relación con el número de puntos de datos utilizados

Answer

La complejidad computacional del método de aproximación

Question 7

La interpolación polinómica es un método de aproximación que:

Accepted Answer

Construye un polinomio que pasa por un conjunto dado de puntos de datos

Answer

Construye un polinomio que se aproxima a una función dada en un intervalo

Answer

Construye una función racional que se aproxima a una función dada en un intervalo

Answer

Construye una serie de Fourier que se aproxima a una función dada en un intervalo

Question 8

El método de bisección es un método de aproximación de raíces que:

Accepted Answer

Divide repetidamente el intervalo de búsqueda por la mitad hasta que se alcanza un criterio de parada

Answer

Utiliza derivadas para encontrar raíces de forma iterativa

Answer

Construye un polinomio de aproximación para la función y encuentra sus raíces

Answer

Utiliza el teorema del valor medio para encontrar raíces de forma iterativa

Question 9

El error relativo de una aproximación f(x) ≈ p(x) para un valor específico de x es:

Accepted Answer

|f(x) - p(x)|/|f(x)|

Answer

|f(x)| - |p(x)|/|f(x)|

Answer

|f(x) + p(x)|/|f(x)|

Answer

|f(x) * p(x)|/|f(x)|

Question 10

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para aproximar una función mediante un polinomio de grado n, basándose en un conjunto de puntos conocidos?

Accepted Answer

Interpolación polinomial

Answer

Aproximación de funciones racionales

Answer

Diferenciación numérica

Answer

Integración numérica

Question 11

En la interpolación polinomial de Lagrange, ¿cuál es la fórmula del polinomio interpolador de grado n, donde y_i son los valores conocidos de la función en los puntos x_i?

Accepted Answer

∑[i=0,n] y_i · L_i(x)

Answer

∑[i=0,n] w_i · L_i(x)

Answer

∑[i=0,n] y_i · x_i

Answer

∑[i=0,n] x_i · L_i(y)

Question 12

En la aproximación de funciones racionales, ¿qué método minimiza el error de aproximación en el sentido de los mínimos cuadrados?

Accepted Answer

Método de mínimos cuadrados

Answer

Método de derivación numérica

Answer

Método de diferencias finitas

Answer

Método de integración numérica

Question 13

¿Cuál es la forma general de una función racional, donde P(x) y Q(x) son polinomios?

Accepted Answer

P(x)/Q(x)

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

a*x + b

Question 14

En la aproximación de funciones mediante diferencias finitas, ¿cuál es la fórmula para calcular la derivada primera (aproximada) de una función f(x) en un punto x, donde h es un paso?

Accepted Answer

(f(x+h) - f(x))/h

Answer

(f(x) - f(x+h))/h

Answer

(f(x+h) + f(x))/h

Answer

h*(f(x+h) - f(x))

Question 15

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica ofrece mayor precisión para estimar integrales?

Accepted Answer

Regla de Gauss

Answer

Regla del punto medio

Answer

Regla trapezoidal

Answer

Regla de Simpson

Question 16

Para aproximar la función f(x) = e^x mediante un polinomio de grado 2 en el intervalo [0, 1], ¿cuál es la mejor aproximación?

Accepted Answer

1 + x + x^2 / 2

Answer

1 + x - x^2 / 2

Answer

1 - x - x^2 / 2

Answer

1 - x + x^2 / 2

Question 17

Dada la función f(x) = sqrt(x), ¿cuál es la mejor aproximación racional de grado (1, 1) en el intervalo [0, 1]?

Accepted Answer

(x + 1) / 2

Answer

(x + 2) / 2

Answer

(x - 2) / 2

Answer

(x - 1) / 2

Question 18

¿Cuál es el orden de convergencia del método de la bisección para encontrar la raíz de una ecuación f(x) = 0 si f(x) es continua y diferenciable con derivada no nula en un intervalo [a, b]?

Accepted Answer

Lineal

Answer

Exponencial

Answer

Cúbico

Answer

Cuadrático

Question 19

Dada la función f(x) = x^2 - 4, se desea utilizar el método de Newton-Raphson para encontrar una raíz. Si se inicia el método con x0 = 2, ¿cuál es el valor de la iteración x1?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

5

Answer

4

Question 20

¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza la convergencia del método de Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

La matriz del sistema debe ser diagonalmente dominante por filas

Answer

La matriz del sistema debe ser invertible

Answer

La matriz del sistema debe ser simétrica

Question 21

Se tiene un sistema de ecuaciones lineales Ax = b, donde A es una matriz de orden 3x3. Si se utiliza el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema y se obtienen 3 ecuaciones lineales independientes, ¿cuál es el rango de A?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

0

Answer

2

Question 22

Se tiene una función f(x) definida en un intervalo [a, b]. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que f(x) sea integrable en el intervalo?

Accepted Answer

f(x) debe ser continua casi en todas partes en el intervalo

Answer

f(x) debe ser monótona en el intervalo

Answer

f(x) debe ser diferenciable en el intervalo

Question 23

¿Qué tipo de función se utiliza en la aproximación de funciones racionales?

Accepted Answer

Función racional

Answer

Función logarítmica

Answer

Función exponencial

Answer

Función trigonométrica

Question 24

¿Qué tipo de funciones se pueden aproximar eficazmente mediante funciones racionales?

Accepted Answer

Funciones con singularidades removibles

Answer

Funciones no diferenciables

Answer

Funciones discontinuas

Answer

Funciones con singularidades esenciales

Question 25

¿Cuál es el objetivo principal de la aproximación numérica de funciones?

Accepted Answer

Simplificar el cálculo y análisis de funciones complejas

Answer

Resolver integrales indefinidas

Answer

Analizar el comportamiento asintótico de funciones

Answer

Encontrar soluciones exactas a ecuaciones diferenciales

Question 26

¿Qué método de aproximación utiliza una tabla de diferencias divididas para construir el polinomio de aproximación?

Accepted Answer

Interpolación de Newton

Answer

Aproximación de mínimos cuadrados

Answer

Integración numérica

Answer

Interpolación de Lagrange

Question 27

¿Qué tipos de errores pueden introducirse en la aproximación numérica de funciones?

Accepted Answer

Error de truncamiento, error de redondeo y error de propagación

Answer

Solo error de redondeo

Answer

Solo error de truncamiento

Question 28

La convergencia de la serie de potencias ∑(n=1)^∞ (x-1)^n / n^2 es:

Accepted Answer

Convergente para |x-1| < 1

Answer

Convergente para |x-1| > 0

Answer

Divergente para |x-1| > 1

Answer

Convergente para |x-1| ≤ 1

Question 29

El mejor polinomio de aproximación de grado 1 de la función f(x) = e^x en el intervalo [0, 1] es:

Accepted Answer

P1(x) = 1 + x

Answer

P1(x) = 1

Answer

P1(x) = x

Answer

P1(x) = e^x

Question 30

La función racional que mejor aproxima a la función f(x) = 1 / (1 + x^2) en el intervalo [-1, 1] es:

Accepted Answer

R2(x) = 1 - x^2 / (1 + x^2)

Answer

R2(x) = x^2 / (1 + x^2)

Answer

R2(x) = 1 / x^2

Answer

R2(x) = 1 / (1 + x)

Question 31

La aproximación de la función f(x) = ln(x) en el intervalo [1, 2] mediante una serie de Taylor centrada en x0 = 1 es:

Accepted Answer

T3(x) = 1 + (x - 1) - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3

Answer

T3(x) = 1 + (x - 1) + (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/2

Answer

T3(x) = 1 + (x - 1) - (x - 1)^2 + (x - 1)^3/3

Answer

T3(x) = 1 + (x - 1) - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/2

Question 32

El polinomio de interpolación de Lagrange de grado 3 que interpola a la función f(x) en los puntos x0, x1, x2 y x3 es:

Accepted Answer

P3(x) = f(x0) * ℓ0(x) + f(x1) * ℓ1(x) + f(x2) * ℓ2(x) + f(x3) * ℓ3(x)

Answer

P3(x) = f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3)

Answer

P3(x) = f(x0) * (x - x1) * (x - x2) * (x - x3)

Question 33

La norma uniforme del error en la aproximación de la ecuación diferencial ordinaria y = f(x,y) mediante el método de Euler es:

Accepted Answer

O(h)

Answer

O(h^3)

Answer

O(h^2)

Question 34

¿Cuál de los siguientes es el mejor polinomio de aproximación de grado 2 para la función f(x) = e^x en el intervalo [0, 1]? (Considera el término constante como 1)

Accepted Answer

1 + x + x^2/2

Answer

1 + x + x^2/4

Answer

1 + x + x^2

Answer

1 + 2x + x^2

Question 35

Si se utiliza el método de mínimos cuadrados para aproximar la función f(x) = sin(x) con un polinomio de grado 1 en el intervalo [0, π/2], ¿cuál es el coeficiente del término lineal?

Accepted Answer

2/π

Answer

π/2

Answer

1/π

Answer

π

Question 36

¿Cuál de los siguientes errores es el más adecuado para medir la precisión de una aproximación polinómica?

Accepted Answer

Error cuadrático medio

Answer

Error absoluto

Answer

Error porcentual

Answer

Error relativo

Question 37

En la aproximación de funciones mediante splines cúbicos, ¿cuál es la condición de continuidad en los puntos de unión?

Accepted Answer

Igualdad de valores de función y derivadas primeras

Answer

Solamente igualdad de valores de función

Answer

Solamente igualdad de derivadas primeras

Question 38

¿Cuál de los siguientes métodos de aproximación utiliza una función base que es una exponencial?

Accepted Answer

Regresión exponencial

Answer

Regresión polinomial

Answer

Regresión lineal

Answer

Regresión logística

Question 39

En la aproximación de funciones mediante series de Fourier, ¿qué tipo de funciones se utilizan como funciones base?

Accepted Answer

Funciones trigonométricas

Answer

Funciones polinómicas

Answer

Funciones racionales

Answer

Funciones exponenciales

Question 40

En la aproximación de funciones por polinomios, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es CORRECTA?

Accepted Answer

La aproximación polinomial proporciona una representación continua de la función.

Answer

La interpolación de Lagrange siempre proporciona una aproximación exacta de la función para cualquier valor de x.

Question 41

¿Cuál es la forma general del polinomio de Taylor de grado n para una función f(x) en torno a un punto x0?

Accepted Answer

P_n(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + (f''(x0)/2!)(x - x0)^2 + ... + (f^(n)(x0)/n!)(x - x0)^n

Answer

P_n(x) = Σ(i=0 to n) [f(x_i) * Π(j=0 to n, j≠i) (x - x_j) / (x_i - x_j)]

Answer

P_n(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + (f''(x0)/2!)(x - x0)^2

Question 42

En la interpolación racional, ¿qué tipo de funciones se utilizan para aproximar la función original?

Accepted Answer

Funciones racionales

Answer

Polinomios

Answer

Funciones exponenciales

Answer

Funciones trigonométricas

Question 43

¿Cuál de las siguientes ventajas ofrece la aproximación racional en comparación con la aproximación polinomial?

Accepted Answer

Capacidad para aproximar funciones con singularidades o comportamientos asintóticos.

Answer

Menor complejidad computacional.

Answer

Mayor precisión para todos los grados del polinomio.

Question 44

¿Qué método de aproximación de funciones utiliza derivadas para construir una serie de potencias?

Accepted Answer

Aproximación de Taylor

Answer

Interpolación polinomial

Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación de Lagrange

Question 45

En la aproximación racional, ¿para qué tipo de funciones es particularmente adecuada?

Accepted Answer

Funciones con singularidades o comportamientos asintóticos.

Answer

Funciones con derivadas discontinuas

Answer

Funciones periódicas