Cónicas: Ecuaciones Generales - Geometría Analítica para Ingeniería Eléctrica

Question 1

Grafica la hipérbola con ecuación general $9x^2 - 4y^2 + 36x - 8y + 4 = 0$.

Accepted Answer

Imagen de una hipérbola con vértices en $(pm 2, 0)$ y asíntotas $y = pm \frac{2}{3}x$

Answer

Imagen de una parábola con vértice en $(0, 2)$ y eje de simetría paralelo al eje (y)

Answer

Imagen de una elipse con centro en $(2, 0)$ y semiejes (a=2) y (b=1")

Question 2

Determina el tipo de cónica representada por la ecuación $4x^2 + y^2 - 8x + 4y - 5 = 0$.

Accepted Answer

Elipse

Answer

Circunferencia

Answer

Hipérbola

Answer

Parábola

Question 3

Determina el foco de la parábola con ecuación y² = 12x:

Accepted Answer

(3, 0)

Answer

(-3, 0)

Answer

(0, -3)

Answer

(0, 3)

Question 4

Grafica la hipérbola con ecuación 9x² - 4y² = 36:

Accepted Answer

Dos hipérbolas conjugadas centradas en el origen, que se abren hacia arriba y abajo

Answer

Una hipérbola centrada en (0, 3) que se abre hacia arriba y abajo

Answer

Dos hipérbolas conjugadas centradas en el origen, que se abren hacia la izquierda y derecha

Question 5

Determina el vértice de la parábola con ecuación y = -(x - 2)² + 3:

Accepted Answer

(2, 3)

Answer

(-3, 2)

Answer

(3, 2)

Answer

(-2, 3)

Question 6

Determina el tipo de cónica representada por la ecuación: 4x^2 + 9y^2 = 36

Accepted Answer

Elipse

Answer

Hipérbola

Answer

Circunferencia

Answer

Parábola

Question 7

Calcula el área del círculo definido por la ecuación: (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

Accepted Answer

25π

Answer

5π

Answer

12,5π

Question 8

¿Cuál es la ecuación de la asíntota conjugada de la hipérbola 9x² - 4y² = 36?

Accepted Answer

3x + 2y = 0

Answer

2x + 3y = 0

Answer

3x - 2y = 0

Answer

2x - 3y = 0

Question 9

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una elipse?

Accepted Answer

4x² + 9y² = 36

Answer

x²y² = 1

Answer

x² - y² = 1

Answer

y = x² - 4

Question 10

¿Qué tipo de cónica representa la ecuación 4x² + 9y² - 16x + 54y - 36 = 0?

Accepted Answer

Elipse

Answer

Circunferencia

Answer

Hipérbola

Answer

Parábola

Question 11

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una hipérbola?

Accepted Answer

x²/a² - y²/b² = 1

Answer

x²/a² + y²/b² = 1

Answer

(x - h)² + (y - k)² = r²

Answer

y² = 4px

Question 12

La ecuación x² + 4y² - 6x + 16y - 11 = 0 representa:

Accepted Answer

Una elipse

Answer

Una hipérbola

Answer

Una parábola

Question 13

La excentricidad de una hipérbola es:

Accepted Answer

Mayor que 1

Answer

Menor que 1

Answer

Igual a 0

Answer

Igual a 1

Question 14

La ecuación x² / 16 - y² / 9 = 1 describe una hipérbola. ¿Cómo está orientado su eje transversal?

Accepted Answer

Horizontal

Answer

Vertical

Answer

Diagonal a 45°

Answer

No se puede determinar

Question 15

La ecuación x² + 4y² - 2x + 8y - 11 = 0 representa la ecuación general de una cónica. ¿De qué tipo de cónica se trata?

Accepted Answer

Elipse

Answer

Parábola

Answer

Circunferencia

Answer

Hipérbola

Question 16

Una parábola tiene su vértice en el punto (1, 2) y su foco en (1, 4). ¿A qué eje es paralelo su eje de simetría?

Accepted Answer

Eje Y

Answer

Una recta con pendiente 1

Answer

Eje X

Answer

No tiene eje de simetría

Question 17

¿Qué afirmación sobre la excentricidad (e) de una hipérbola es siempre verdadera?

Accepted Answer

e > 1

Answer

e = 1

Answer

0 < e < 1

Answer

e < 1

Question 18

En una elipse, ¿qué representa la expresión '2c'?

Accepted Answer

Distancia focal

Answer

Longitud del eje menor

Answer

Longitud del eje mayor

Answer

Semidistancia focal

Question 19

¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una parábola con vértice en (0, 0) y foco en (0, 2)?

Accepted Answer

x² = 8y

Answer

y² = 8x

Answer

x² + y² = 4

Answer

x² - y² = 4

Question 20

¿Cuál es la ecuación general de una elipse con centro en (h, k) y semiejes de longitud 'a' y 'b'?

Accepted Answer

(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1

Answer

(x - h)² / b² - (y - k)² / a² = 1

Answer

(x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1

Answer

(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1

Question 21

Las asíntotas de una hipérbola se intersectan en el punto (2, -1). ¿Dónde se encuentra el centro de la hipérbola?

Accepted Answer

(2, -1)

Answer

(1, 2)

Answer

(0, 0)

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Question 22

La ecuación (x - 3)² / 9 - (y + 1)² / 16 = 1 describe una sección cónica. ¿Cuál es?

Accepted Answer

Hipérbola

Answer

Elipse

Answer

Parábola

Answer

Circunferencia

Question 23

La ecuación y² = -12x describe una parábola. ¿Cuáles son las coordenadas de su foco?

Accepted Answer

(-3, 0)

Answer

(0, 3)

Answer

(0, -3)

Answer

(3, 0)

Question 24

Una elipse tiene su centro en el origen, un semieje mayor de 5 unidades y un semieje menor de 3 unidades. ¿Cuál es la ecuación de esta elipse?

Accepted Answer

x²/25 + y²/9 = 1

Answer

x²/9 + y²/25 = 1

Answer

x²/25 - y²/9 = 1

Answer

x²/9 - y²/25 = 1

Question 25

Una hipérbola tiene sus vértices en (5, 0) y (-5, 0) y sus asíntotas son y = ±(3/4)x.  ¿Cuál es la ecuación de esta hipérbola?

Accepted Answer

x²/25 - y²/9 = 1

Answer

y²/25 - x²/9 = 1

Answer

x²/9 - y²/25 = 1

Answer

y²/9 - x²/25 = 1

Question 26

La excentricidad de una elipse es:

Accepted Answer

Un número entre 0 y 1, donde un valor cercano a 0 indica una elipse casi circular y un valor cercano a 1 indica una elipse más alargada.

Answer

Un número mayor que 1.

Answer

Siempre igual a 1.

Answer

Un número menor que 0.

Question 27

Si se tiene la ecuación general de una cónica, ¿cómo se puede determinar si se trata de una parábola?

Accepted Answer

Si uno de los términos cuadráticos (x² o y²) está presente y el otro está ausente.

Answer

Si ambos términos cuadráticos tienen el mismo signo.

Answer

Si ambos términos cuadráticos tienen signos opuestos.

Question 28

Una hipérbola con ecuación x²/a² - y²/b² = 1 tiene sus focos en:

Accepted Answer

(±c, 0) donde c² = a² + b²

Answer

(±b, 0)

Answer

(0, ±c) donde c² = a² + b²

Answer

(±a, 0)

Question 29

La ecuación general de una elipse puede representarse como:

Accepted Answer

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, donde A y B tienen el mismo signo y son diferentes de cero.

Answer

Ax² - By² + Cx + Dy + E = 0

Answer

Ax² - By² - Cx + Dy + E = 0

Answer

Ax² + By² - Cx + Dy + E = 0

Question 30

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la forma general de una hipérbola?

Accepted Answer

Ax² - By² + Cx + Dy + E = 0, donde A y B tienen signos opuestos y son diferentes de cero.

Answer

Ax² + By² - Cx + Dy + E = 0

Answer

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

Answer

Ax² - By² - Cx + Dy + E = 0

Question 31

Determina la ecuación general de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría vertical:

Accepted Answer

y² = 4px, donde p es la distancia focal.

Answer

y² = 2kx

Answer

x² = ky

Answer

x² = 2ky

Question 32

¿Cuál es el centro de la cónica representada por la ecuación 4x² + 9y² + 16x - 36y - 11 = 0?

Accepted Answer

(-2, 2)

Answer

(-2, -2)

Answer

(2, 2)

Answer

(2, -2)

Question 33

Determina el tipo de cónica representada por la ecuación x² - 4xy + 4y² + 2x - 8y + 1 = 0:

Accepted Answer

Hipérbola

Answer

Círculo

Answer

Elipse

Answer

Parábola

Question 34

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para todas las cónicas?

Accepted Answer

Su gráfica es simétrica con respecto al centro.

Answer

Su ecuación general contiene términos de segundo grado.

Answer

Su excentricidad es siempre mayor que 1.

Answer

Tienen focos ubicados en el eje mayor.

Question 35

Considera la elipse 9x² + 4y² = 36. Determina la longitud de su eje mayor:

Accepted Answer

8

Answer

10

Answer

6

Question 36

¿Cuál es la excentricidad de la hipérbola x²/4 - y²/16 = 1?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0,5

Answer

4

Question 37

Determina los focos de la parábola y² = 12x:

Accepted Answer

(3, 0)

Answer

(6, 0)

Answer

(0, 3)

Answer

(12, 0)

Question 38

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una elipse con centro en el origen y semiejes a = 5 y b = 3?

Accepted Answer

x²/25 + y²/9 = 1

Answer

9x² - 25y² = 225

Answer

9x² + 25y² = 225

Answer

25x² + 9y² = 225