Espacios Vectoriales Normados: Definición y Propiedades para Análisis Matemático II

Question 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente el concepto de espacio vectorial normado?

Accepted Answer

Es un espacio vectorial con una definición de norma.

Answer

Es un espacio métrico que define una distancia.

Answer

Es un subespacio de un espacio vectorial más amplio.

Answer

Es un conjunto de vectores lineales independientes.

Question 2

¿Cuál de las expresiones proporcionadas define la norma de un vector?

Accepted Answer

√(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)

Answer

Max{|x₁|, |x₂|, ..., |xₙ|}

Answer

x₁ + x₂ + ... + xₙ

Answer

Min{|x₁|, |x₂|, ..., |xₙ|}

Question 3

¿Cuál de las siguientes propiedades NO se aplica a la norma de un espacio vectorial normado?

Accepted Answer

Es negativa para todos los vectores distintos de cero.

Answer

Es cero solo para el vector cero.

Answer

Cumple la desigualdad triangular.

Answer

Es homogénea con respecto a la multiplicación escalar.

Question 4

En un espacio vectorial normado, ¿cuál es la relación entre la norma y la distancia?

Accepted Answer

La distancia entre dos vectores es igual a la norma de su diferencia.

Answer

La distancia entre dos vectores es igual a la suma de sus normas.

Answer

La norma de un vector es igual a su distancia al origen.

Question 5

En el espacio vectorial normado R² con la norma euclidiana, ¿cuál es la norma del vector (a, b)?

Accepted Answer

√(a² + b²)

Answer

ab

Answer

a + b

Answer

a - b

Question 6

¿Qué propiedad describe la distancia entre dos vectores en un espacio vectorial normado?

Accepted Answer

Es simétrica.

Answer

Es inyectiva.

Answer

Es sobreyectiva.

Answer

Es lineal.

Question 7

Para definir un espacio vectorial normado, ¿cuál de los siguientes conceptos es esencial?

Accepted Answer

Norma

Answer

Espacio vectorial

Answer

Distancia

Answer

Producto escalar

Question 8

¿Cuál es la definición de un espacio vectorial normado?

Accepted Answer

Un espacio vectorial con una función norma definida sobre él.

Answer

Un grupo abeliano con una operación de producto interno.

Answer

Un espacio afín con una función distancia definida sobre él.

Question 9

¿Cuál de las siguientes propiedades NO es una propiedad de las normas?

Accepted Answer

No es aditiva.

Answer

Satisface la desigualdad triangular.

Answer

Es definida positiva.

Answer

Es homogénea de grado 1.

Question 10

En un espacio vectorial normado (V, ||·||), si v es un vector distinto de cero y λ es un escalar, entonces:

Accepted Answer

||λv|| es igual a |λ| ||v||.

Answer

||λv|| es mayor que |λ| ||v||.

Answer

||λv|| es menor que |λ| ||v||.

Answer

||λv|| es igual a λ ||v||.

Question 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa sobre las normas?

Accepted Answer

Pueden ser negativas.

Answer

Deben ser definidas positivas.

Answer

Deben ser homogéneas de grado 1.

Answer

Deben satisfacer la propiedad triangular.

Question 12

¿Cuáles son las propiedades que caracterizan a una norma?

Accepted Answer

Es no negativa y se anula solo en el vector cero

Answer

Es positiva y se anula en el vector cero y sus múltiplos

Answer

Es positiva y se anula en el vector cero

Answer

Es negativa y se anula solo en el vector cero

Question 13

¿Qué afirmación es correcta sobre la distancia inducida por una norma?

Accepted Answer

Es compatible con la norma

Answer

Es equivalente a la norma

Answer

Es mayor o igual que la norma

Answer

Es menor o igual que la norma

Question 14

En un espacio vectorial normado, ¿cuál es la propiedad que garantiza la convergencia de sucesiones de Cauchy?

Accepted Answer

Completitud

Answer

Conectividad

Answer

Separabilidad

Answer

Compacidad

Question 15

¿Cuál es la principal diferencia entre una norma y una seminorma?

Accepted Answer

Una norma solo se anula en el vector cero, mientras que una seminorma puede anularse en otros vectores distintos del cero

Answer

Una norma es positiva, mientras que una seminorma puede ser negativa

Question 16

¿Cuál de los siguientes subespacios de ℝⁿ es un espacio vectorial normado?

Accepted Answer

El subespacio de vectores con suma de sus coordenadas igual a cero

Answer

El subespacio de vectores con coordenadas enteras

Answer

El subespacio de vectores con todas sus coordenadas positivas

Question 17

¿Cuál es la propiedad fundamental de una bola cerrada en un espacio vectorial normado?

Accepted Answer

Es un conjunto cerrado y acotado

Answer

Es un conjunto cerrado y no acotado

Answer

Es un conjunto abierto y no acotado

Answer

Es un conjunto abierto y acotado