Ecuaciones Diferenciales Parciales: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

En el método de diferencias finitas, ¿cuál es la aproximación de segundo orden para la derivada parcial de una función (u(x, t)) con respecto a (x)?

Accepted Answer

((u_{i+1,j}-u_{i-1,j}))/(2h)

Answer

((u_{i,j+1}-u_{i,j-1}))/(2k)

Answer

((u_{i+1,j}-u_{i,j}))/(h)

Question 2

Considerando la ecuación de difusión (∂u⁄∂t = k ∂^2u⁄∂x^2), ¿cuál es la condición de estabilidad para el método explícito de diferencias finitas?

Accepted Answer

k (Δt)/(Δx)^2 ≤ 1/2

Answer

k (Δt)/(Δx)^2 ≥ 1/2

Answer

k (Δx)/(Δt)^2 ≥ 1/2

Answer

k (Δx)/(Δt)^2 ≤ 1/2

Question 3

En el método de elementos finitos, ¿cuál es el propósito principal de una función de forma?

Accepted Answer

Interpolar los valores de la solución aproximada dentro de un elemento finito

Answer

Aproximar las derivadas de la solución aproximada

Answer

Resolver la ecuación diferencial parcial exactamente

Question 4

Para la ecuación de Laplace (∂^2u⁄∂x^2 + ∂^2u⁄∂y^2 = 0), ¿cuál de las siguientes es una condición de contorno de Dirichlet?

Accepted Answer

Especificar el valor de u en el límite del dominio

Answer

Especificar la derivada normal de u en el límite del dominio

Answer

Especificar la derivada tangencial de u en el límite del dominio

Question 5

En el método de diferencias finitas, ¿cuál es una ventaja clave de utilizar un esquema implícito en comparación con un esquema explícito?

Accepted Answer

Estabilidad incondicional

Answer

Mayor eficiencia computacional

Answer

Implementación más sencilla

Answer

Mayor precisión

Question 6

En el método de volúmenes finitos, ¿qué representa la integral de control?

Accepted Answer

La región del dominio donde se aplica la ecuación de conservación

Answer

Un coeficiente que pondera la ecuación de conservación

Answer

La función que representa la solución aproximada

Question 7

Para la ecuación de onda (∂^2u⁄∂t^2 - c^2 ∂^2u⁄∂x^2 = 0), ¿cuál de las siguientes es una condición inicial que especifica el desplazamiento de la onda?

Accepted Answer

u(x, 0) = f(x)

Answer

u_x(x, 0) = f(x)

Answer

u_t(x, 0) = f(x)

Question 8

Seleccione el método numérico más utilizado para resolver ecuaciones diferenciales parciales:

Accepted Answer

Método de diferencias finitas

Answer

Método de aproximación variacional

Answer

Método de Laplace transform

Answer

Método de integración analítica

Question 9

¿Qué tipo de ecuación diferencial parcial modela la propagación del calor en un material?

Accepted Answer

Ecuación de difusión

Answer

Ecuación de Poisson

Answer

Ecuación de Laplace

Answer

Ecuación de onda

Question 10

Antes de aplicar el método de elementos finitos a una ecuación diferencial parcial, es esencial:

Accepted Answer

Discretizar el dominio en elementos finitos

Answer

Establecer condiciones de contorno exactas

Answer

Integrar analíticamente la ecuación

Answer

Encontrar una solución analítica de la ecuación

Question 11

En el método de elementos finitos, las condiciones de contorno que especifican el valor de la función en el límite del dominio son:

Accepted Answer

Condiciones de Dirichlet

Answer

Condiciones de Neumann

Answer

Condiciones de Cauchy

Answer

Condiciones de Fourier

Question 12

El tipo de malla empleada habitualmente en el método de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales es:

Accepted Answer

Malla uniforme

Answer

Malla jerárquica

Answer

Malla irregular

Answer

Malla adaptativa

Question 13

La ecuación diferencial parcial que describe las vibraciones de una cuerda es:

Accepted Answer

Ecuación de onda

Answer

Ecuación de Poisson

Answer

Ecuación de Laplace

Answer

Ecuación de difusión

Question 14

El método iterativo para resolver ecuaciones diferenciales parciales es:

Accepted Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

Método de transformada integral

Answer

Método de Runge-Kutta

Answer

Método de separación de variables

Question 15

El factor que influye en la estabilidad numérica de los métodos explícitos para resolver ecuaciones diferenciales parciales es:

Accepted Answer

Condición de Courant-Friedrichs-Lewy

Answer

Número de Reynolds

Answer

Número de Peclet

Question 16

Indica una ventaja del método de elementos finitos:

Accepted Answer

Facilidad para tratar geometrías complejas

Answer

Menores requisitos computacionales

Answer

Sencillez de implementación

Answer

Mayor velocidad que el método de diferencias finitas

Question 17

La condición de contorno de Dirichlet implica:

Accepted Answer

El valor de la solución es conocido en el límite

Answer

La derivada tangencial de la solución es conocida en el límite

Answer

La curvatura de la solución es conocida en el límite

Answer

La derivada normal de la solución es conocida en el límite

Question 18

En el método de sobre-relajación, la aceleración se representa por:

Accepted Answer

ω

Answer

γ

Answer

α

Answer

β

Question 19

Cuál de los siguientes es un método numérico usado para resolver ecuaciones diferenciales parciales?

Accepted Answer

Método de diferencias finitas

Answer

Método de integración numérica

Answer

Método de mínimos cuadrados

Answer

Método de Taylor

Question 20

¿Qué tipo de ecuación diferencial parcial se emplea para modelar la propagación del calor?

Accepted Answer

Ecuación de difusión

Answer

Ecuación de Poisson

Answer

Ecuación de Laplace

Answer

Ecuación de onda

Question 21

Utilizando el método de diferencias finitas centrales, la discretización de la segunda derivada en una variable espacial con un paso h se expresa como:

Accepted Answer

(f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^2

Answer

(f(x+h) - f(x-h)) / (2h)

Answer

(f(x+h) - f(x)) / h

Answer

(f(x) - f(x-h)) / h

Question 22

Un problema de valor en la frontera para una ecuación diferencial parcial en una dimensión se caracteriza por:

Accepted Answer

Condiciones de contorno especificadas en los límites del dominio

Answer

Una solución analítica conocida

Answer

Condiciones iniciales especificadas en un punto en el tiempo

Question 23

El método de elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales parciales implica:

Accepted Answer

Dividir el dominio en elementos y aproximar la solución utilizando funciones de forma

Answer

Resolver la ecuación diferencial analíticamente en cada punto del dominio

Answer

Utilizar un esquema de diferencias finitas para discretizar la ecuación

Question 24

La ecuación del calor en una dimensión describe la evolución de la temperatura en un cuerpo. ¿Cuál de las siguientes representa la forma general de la ecuación del calor?

Accepted Answer

∂u/∂t = α ∂²u/∂x²

Answer

∂u/∂t + α ∂²u/∂x² = 0

Answer

∂u/∂t = α ∂u/∂x

Answer

∂²u/∂x² = 0

Question 25

La estabilidad de un esquema numérico para resolver una ecuación diferencial parcial se refiere a:

Accepted Answer

La capacidad del esquema de no amplificar errores numéricos con el tiempo

Answer

La velocidad de convergencia del esquema hacia la solución exacta

Answer

La precisión del esquema en la aproximación de la solución exacta

Question 26

Un esquema de diferencias finitas explícito para la ecuación del calor:

Accepted Answer

Calcula la solución en el tiempo actual utilizando valores en el tiempo anterior

Answer

Calcula la solución en el tiempo actual utilizando valores en el tiempo actual y futuro

Answer

Requiere resolver un sistema de ecuaciones simultáneamente

Question 27

En el método de elementos finitos, la elección de las funciones de forma:

Accepted Answer

Influye en la precisión y la convergencia de la solución

Answer

No tiene impacto en la solución

Answer

Solo afecta a la estabilidad del esquema

Question 28

La ecuación de Laplace se utiliza para modelar:

Accepted Answer

Fenómenos estacionarios como el flujo de calor o la distribución de potencial

Answer

Procesos de evolución temporal como la difusión

Answer

Ondas electromagnéticas

Question 29

Un problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace se caracteriza por la especificación de:

Accepted Answer

Valores de la solución en todo el borde del dominio.

Answer

Valores de la solución y su derivada normal en todo el borde.

Answer

Valores de la derivada normal de la solución en el borde.

Answer

Valores de la solución en una parte del borde y la derivada normal en otra parte.

Question 30

¿Cuál de los siguientes métodos NO se utiliza comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales parciales numéricamente?

Accepted Answer

Método de Euler

Answer

Método de volúmenes finitos

Answer

Método de diferencias finitas

Answer

Método de elementos finitos

Question 31

El método de diferencias finitas se basa en aproximar las derivadas en una EDP utilizando:

Accepted Answer

Aproximaciones de las derivadas por cocientes diferenciales.

Answer

Series de Fourier de la solución.

Answer

Transformadas de Laplace de la ecuación.

Answer

Integrales definidas de la solución.

Question 32

Al aplicar el método de diferencias finitas a una EDP, la precisión de la solución numérica generalmente mejora al:

Accepted Answer

Disminuir el tamaño de la malla (h) utilizada en la discretización.

Answer

Utilizar un esquema explícito en lugar de uno implícito.

Answer

Utilizar condiciones de frontera de Dirichlet en lugar de Neumann.

Answer

Aumentar el tamaño de la malla (h).

Question 33

El método de elementos finitos se basa en discretizar:

Accepted Answer

El dominio de la solución en elementos finitos.

Answer

El espacio de las soluciones en funciones base.

Answer

El tiempo de la solución en intervalos discretos.

Answer

La ecuación diferencial en una serie de ecuaciones algebraicas.

Question 34

¿Cuál de las siguientes opciones NO es una ventaja del método de elementos finitos?

Accepted Answer

Es fácil de implementar para problemas no lineales y con condiciones de contorno complejas.

Answer

Puede manejar geometrías complejas con facilidad.

Answer

Es relativamente fácil de adaptar a problemas con condiciones de frontera variables.

Answer

Permite el uso de mallas no uniformes para adaptarse a geometrías complejas.

Question 35

En el contexto de las EDPs, la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) está relacionada con:

Accepted Answer

La estabilidad de un esquema numérico para garantizar que la solución numérica no diverge.

Answer

La eficiencia de un esquema numérico, asegurando que la solución se calcule rápidamente.

Answer

La convergencia de un esquema numérico, asegurando que la solución numérica se aproxime a la solución exacta.

Answer

La precisión de un esquema numérico, asegurando que la solución sea precisa.

Question 36

Un esquema numérico se considera consistente si:

Accepted Answer

La aproximación numérica se acerca a la solución exacta cuando el tamaño de la malla (h) tiende a cero.

Answer

El esquema numérico es fácil de implementar en un ordenador.

Answer

El error numérico se mantiene acotado a medida que avanza el tiempo.

Question 37

¿Cuál de las siguientes opciones es un ejemplo de una condición de frontera de Neumann?

Accepted Answer

Especificar la derivada normal de la solución en la frontera.

Answer

Especificar el valor de la solución en la frontera.

Answer

Especificar la integral de la solución en la frontera.

Question 38

En el método de diferencias finitas, un esquema explícito calcula el valor de la solución en un punto de la malla utilizando:

Accepted Answer

Solo valores de la solución en puntos de la malla en el tiempo anterior.

Answer

Solo valores de la solución en puntos de la malla en el tiempo actual.

Answer

Valores de la solución en puntos de la malla en el tiempo actual y anterior.

Question 39

En el contexto del método de elementos finitos, ¿para qué se utiliza una función de forma?

Accepted Answer

Aproximar la solución dentro de un elemento finito

Answer

Discretizar el dominio de la solución

Answer

Calcular el error de la solución

Answer

Aplicar condiciones de contorno

Question 40

Para una ecuación diferencial parcial de segundo orden, ¿qué tipo de aproximación se utiliza en el método de diferencias finitas para la segunda derivada con respecto a x?

Accepted Answer

Aproximación de segundo orden

Answer

Aproximación de tercer orden

Answer

No se utiliza ninguna aproximación

Answer

Aproximación de primer orden

Question 41

En un problema de valor en la frontera para una ecuación diferencial parcial de segundo orden, ¿qué tipo de condición NO es una condición de contorno típica?

Accepted Answer

Condición de periodicidad

Answer

Condición de Robin

Answer

Condición de Dirichlet

Answer

Condición de Neumann

Question 42

El método de elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales parciales se basa en dividir el dominio en:

Accepted Answer

Elementos finitos

Answer

Segmentos de línea

Answer

Curvas de nivel

Answer

Mallas de diferencias finitas

Question 43

En el método de diferencias finitas, ¿cómo se representa la derivada parcial de primer orden de una función u(x, y) con respecto a x en un punto (i, j)?

Accepted Answer

(u(i+1, j) - u(i-1, j)) / (2Δx)

Answer

(u(i+1, j) - u(i, j)) / Δx

Answer

(u(i, j+1) - u(i, j)) / Δy

Answer

(u(i-1, j) - u(i, j)) / Δx

Question 44

La estabilidad de un esquema numérico para resolver una ecuación diferencial parcial es crucial. ¿Qué indica la estabilidad de un esquema?

Accepted Answer

Que los errores no se amplifican con el tiempo

Answer

Que el esquema es fácil de implementar

Answer

Que el esquema es preciso para todas las condiciones iniciales

Answer

Que el esquema converge rápidamente a la solución exacta

Question 45

En el método de elementos finitos, la solución aproximada se representa mediante una combinación lineal de:

Accepted Answer

Funciones de forma

Answer

Funciones de Green

Answer

Polinomios de Lagrange

Answer

Armónicos esféricos

Question 46

Para resolver la ecuación del calor en una barra, ¿qué condición de contorno se utilizaría para simular el extremo izquierdo de la barra mantenido a una temperatura constante?

Accepted Answer

Condición de Dirichlet

Answer

Condición de Neumann

Answer

Condición de Robin

Answer

Condición de periodicidad

Question 47

En el método de diferencias finitas, ¿cómo se representa la ecuación diferencial parcial en forma discreta?

Accepted Answer

Utilizando una malla de puntos y aproximando las derivadas por diferencias finitas

Answer

Transformando la EDP a una ecuación algebraica

Answer

Resolviendo la EDP analíticamente

Question 48

¿Cuál de los siguientes métodos es más adecuado para resolver problemas de EDPs con geometrías complejas?

Accepted Answer

Método de elementos finitos

Answer

Método de volumen finito

Answer

Método de diferencias finitas

Answer

Método de características

Question 49

En el método de elementos finitos, la matriz de rigidez se obtiene a partir de:

Accepted Answer

La integración de la energía potencial

Answer

La discretización de la EDP

Answer

La interpolación de la solución aproximada

Answer

La aplicación de las condiciones de contorno