Interpolación y Aproximación: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la interpolación polinómica es **verdadera**?

Accepted Answer

Un polinomio interpolador siempre pasa por todos los puntos de datos dados.

Answer

El polinomio interpolador de menor grado siempre pasa por todos los puntos de datos dados.

Answer

El polinomio interpolador de menor grado siempre tiene el menor error de aproximación.

Question 2

¿Cuál es el error absoluto de la aproximación de f(1,1) obtenida en la pregunta anterior utilizando la interpolación polinómica de grado 2?

Accepted Answer

0,009

Answer

0,01

Answer

1

Answer

0,1

Question 3

¿Cuál es el intervalo de convergencia de la serie ∑[n=1 hasta ∞] (x - 2)^n / n?

Accepted Answer

1 < x < 3

Answer

-1 < x < 3

Answer

x > 3

Answer

x < 1

Question 4

¿Cuál de los siguientes métodos de aproximación se basa en la minimización de la suma de los cuadrados de los errores?

Accepted Answer

Regresión lineal por mínimos cuadrados

Answer

Aproximación por funciones racionales

Answer

Interpolación polinómica

Answer

Aproximación por splines

Question 5

Se tiene una función f(x) definida por los siguientes puntos:

f(-1) = 0, f(0) = 1, f(1) = 2

Calcular el error absoluto cometido al aproximar f(0,5) mediante la interpolación lineal.

Accepted Answer

0,25

Answer

1

Answer

0,5

Answer

0,75

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la aproximación por splines es verdadera?

Accepted Answer

Son funciones continuas y derivables por partes.

Answer

Son siempre funciones polinómicas de grado menor que el número de puntos de datos.

Answer

Se pueden utilizar para aproximar funciones no continuas.

Answer

No son adecuados para aproximar funciones con valores extremos pronunciados.

Question 7

¿Cuál de los siguientes algoritmos se utiliza para encontrar el polinomio de interpolación de Lagrange de grado n?

Accepted Answer

Algoritmo de Neville

Answer

Algoritmo de Horner

Answer

Algoritmo de Gauss-Jordan

Answer

Algoritmo de bisección

Question 8

Identifica el requisito previo esencial para aplicar el método de aproximación de mínimos cuadrados:

Accepted Answer

Contar con un conjunto de datos con puntos conocidos

Answer

Conocer la función exacta que representa los datos

Answer

Tener acceso a un software de análisis numérico avanzado

Question 9

El criterio de convergencia de la serie de Taylor depende principalmente de:

Accepted Answer

La derivabilidad de la función en el punto de expansión

Answer

El número de términos de la serie

Answer

El valor de la función en el punto de expansión

Question 10

Indica qué afirmación sobre la aproximación polinómica es correcta:

Accepted Answer

El error de aproximación disminuye al aumentar el grado del polinomio.

Answer

El error de aproximación es independiente del número de puntos de datos utilizados.

Answer

La aproximación polinómica es siempre exacta para polinomios de grado menor o igual que el grado de la función aproximada.

Question 11

En la interpolación de diferencias divididas, describe cómo varía el orden de las diferencias divididas sucesivas:

Accepted Answer

Aumenta en una unidad

Answer

Varía aleatoriamente

Answer

Permanece constante

Answer

Disminuye en una unidad

Question 12

El método de aproximación de funciones racionales:

Accepted Answer

Puede proporcionar una mejor aproximación que los polinomios para funciones con polos o ceros

Answer

Es computacionalmente más eficiente que la aproximación polinómica

Answer

Siempre converge más rápido que la aproximación polinómica

Question 13

En la aproximación de mínimos cuadrados con polinomios ortogonales, la elección de los polinomios ortogonales:

Accepted Answer

Simplifica los cálculos y minimiza el error de aproximación

Answer

No afecta la precisión de la aproximación

Answer

Solo es posible para polinomios de grado bajo

Question 14

¿Qué método de interpolación explota la propiedad de división única de los polinomios de Lagrange?

Accepted Answer

Interpolación polinómica de Lagrange

Answer

Interpolación cúbica de splines

Answer

Interpolación de diferencia dividida

Answer

Interpolación lineal

Question 15

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la aproximación polinómica es correcta?

Accepted Answer

El grado del polinomio de aproximación debe elegirse considerando el equilibrio entre precisión y complejidad.

Answer

La aproximación polinómica no se puede aplicar a funciones no continuas.

Answer

La aproximación polinómica siempre produce una función que pasa por todos los puntos de datos.

Answer

Los polinomios de alto grado siempre producen mejores aproximaciones que los polinomios de bajo grado.

Question 16

¿Cuál es la forma general de una función de base radial gaussiana (RBF)?

Accepted Answer

Φ(r) = e^(-αr^γ)

Answer

Φ(r) = r^α

Answer

Φ(r) = 1/r

Answer

Φ(r) = ln(r)

Question 17

¿Qué caracteriza a los métodos de aproximación globales?

Accepted Answer

Consideran todos los datos del conjunto de datos simultáneamente para construir la aproximación.

Answer

No se pueden utilizar para funciones de alta dimensión.

Answer

Producen aproximaciones locales que son válidas solo en regiones específicas.

Answer

Requieren menos recursos computacionales que los métodos locales.

Question 18

Estamos resolviendo la ecuación diferencial y' = y - y^2 usando un método numérico. ¿Cuál de los siguientes métodos sería una opción adecuada?

Accepted Answer

Método de Runge-Kutta

Answer

Interpolación de diferencia dividida

Answer

Interpolación polinómica

Answer

Aproximación de mínimos cuadrados

Question 19

Supongamos que tenemos una interpolación polinómica para f(x) y queremos mejorar su precisión. ¿Qué técnica de extrapolación es generalmente preferida?

Accepted Answer

Extrapolación de Richardson

Answer

Extrapolación lineal

Answer

Interpolación cúbica de splines

Answer

Extrapolación logarítmica

Question 20

En los métodos de aproximación, ¿cuál es el objetivo principal de la regularización?

Accepted Answer

Evitar el sobreajuste y mejorar la generalización del modelo.

Answer

Simplificar el modelo para hacerlo más eficiente computacionalmente.

Answer

Reducir la varianza del modelo.

Answer

Aumentar la precisión del modelo en el conjunto de entrenamiento.

Question 21

¿Cuál de los siguientes métodos NO es un método de interpolación polinómica?

Accepted Answer

Interpolación de Spline

Answer

Interpolación cuadrática

Answer

Interpolación lineal

Answer

Interpolación de Hermite

Question 22

Para una función f(x) continua en [a, b], ¿cuál de las siguientes técnicas NO es un método de aproximación polinómica?

Accepted Answer

Aproximación de suma de Riemann

Answer

Aproximación de Taylor

Answer

Aproximación de Padé

Question 23

¿Qué teorema garantiza la convergencia de la interpolación polinómica de Lagrange?

Accepted Answer

Teorema de convergencia de Weierstrass

Answer

Teorema fundamental del cálculo

Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema de Rolle

Question 24

Dada una función f(x) continua y derivable en [a, b], ¿cuál de las siguientes fórmulas proporciona el error de aproximación para la interpolación polinómica de grado n?

Accepted Answer

f(x) - P_n(x) = (f^(n+1)(c) / (n+1)!) * (x - x_0) * ... * (x - x_n) para algún c en [a, b]

Answer

f(x) - P_n(x) = (f^(n-1)(c) / (n-1)!) * (x - x_0) * ... * (x - x_n) para algún c en [a, b]

Answer

f(x) - P_n(x) = (f^(n)(c) / n!) * (x - x_0) * ... * (x - x_n) para algún c en [a, b]

Question 25

¿Qué método de interpolación utiliza una función base radial?

Accepted Answer

Interpolación multivariante de Shepard

Answer

Interpolación polinómica de Lagrange

Answer

Interpolación de Spline cúbica

Question 26

¿Qué propiedad cumplen las funciones de Spline cúbica?

Accepted Answer

Son continuas en primera y segunda derivada en los puntos de empalme.

Answer

Son continuas en segunda derivada pero no en primera derivada en los puntos de empalme.

Answer

Son continuas en primera derivada pero no en segunda derivada en los puntos de empalme.

Question 27

¿Qué método de aproximación utiliza una integral para aproximar una función?

Accepted Answer

Aproximación de suma de Riemann

Answer

Aproximación de Padé

Answer

Aproximación de mínimos cuadrados

Answer

Aproximación de Taylor

Question 28

¿Qué método de interpolación es más fácil de implementar pero menos preciso?

Accepted Answer

Interpolación lineal

Answer

Interpolación polinómica de Lagrange

Answer

Interpolación de Spline cúbica

Answer

Interpolación cuadrática

Question 29

¿Qué método de aproximación utiliza una serie de potencias para aproximar una función?

Accepted Answer

Aproximación de Taylor

Answer

Aproximación de suma de Riemann

Answer

Aproximación de Padé

Question 30

Selecciona la definición correcta de interpolación lineal:

Accepted Answer

Un método que aproxima una función mediante una línea recta entre dos puntos conocidos

Answer

La estimación de una función desconocida a partir de puntos de datos circundantes

Answer

Un proceso para encontrar valores aproximados de una función en puntos intermedios

Question 31

La tasa de convergencia de un método de aproximación representa:

Accepted Answer

La velocidad a la que la aproximación se acerca a la función original con el aumento del número de puntos

Answer

El error máximo que se puede cometer

Question 32

Al seleccionar un método de interpolación o aproximación, ¿qué factores deben considerarse?

Accepted Answer

La naturaleza de la función, la precisión requerida y los recursos computacionales disponibles

Answer

Solo la precisión requerida

Answer

Solo la naturaleza de la función

Question 33

La interpolación racional con funciones peso (RBF) es particularmente útil cuando:

Accepted Answer

La función original presenta discontinuidades o irregularidades

Answer

La función original es una función polinomial

Answer

Se dispone de una gran cantidad de puntos de datos

Question 34

Dada una serie de datos (x_i, y_i), se busca una función f(x) que se ajuste lo mejor posible a estos datos. ¿Cuál de los siguientes métodos busca minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los valores predichos por la función?

Accepted Answer

Aproximación por mínimos cuadrados

Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación lineal

Question 35

Se desea aproximar una función f(x) utilizando un polinomio de grado n. ¿Cuál de los siguientes métodos resulta más eficiente para calcular los coeficientes del polinomio?

Accepted Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Aproximación por mínimos cuadrados

Answer

Interpolación lineal

Question 36

¿Qué característica del polinomio de interpolación de Lagrange garantiza que pase por todos los puntos de datos proporcionados?

Accepted Answer

El polinomio toma el valor f(x_i) en x = x_i.

Answer

El polinomio es de grado n-1.

Answer

El polinomio es único.

Question 37

En el contexto de la interpolación, ¿a qué se refiere el término 'fenómeno de Runge'?

Accepted Answer

Oscilaciones significativas del polinomio de interpolación cerca de los extremos del intervalo de interpolación.

Answer

Pérdida de precisión en la interpolación debido a errores de redondeo.

Question 38

¿Cuál de los siguientes métodos de aproximación utiliza una combinación lineal de funciones predefinidas?

Accepted Answer

Aproximación por mínimos cuadrados

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación lineal

Answer

Interpolación de Newton

Question 39

Se desea aproximar una función f(x) en un intervalo [a, b] utilizando un polinomio de grado n. ¿Cuál es el criterio principal para elegir el grado del polinomio?

Accepted Answer

El grado del polinomio debe ser lo suficientemente alto para capturar la variación de la función en el intervalo, pero no demasiado alto para evitar el fenómeno de Runge.

Answer

El grado del polinomio debe ser siempre lo más alto posible.

Question 40

Si se utiliza la interpolación de Newton para aproximar una función f(x) con un polinomio de grado n, ¿cuántos puntos de datos se requieren?

Accepted Answer

n+1

Answer

2n

Answer

n-1

Answer

n

Question 41

En la aproximación por mínimos cuadrados, ¿qué representa la 'suma de los cuadrados de los residuos'?

Accepted Answer

La suma de las diferencias cuadradas entre los valores observados y los valores predichos.

Answer

El error máximo entre los valores observados y los valores predichos.

Answer

El error promedio entre los valores observados y los valores predichos.