Test de Continuidad de Funciones: Evalúa tus Conocimientos

Question 1

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], ¿qué teorema garantiza la existencia de un valor mínimo y un valor máximo en ese intervalo?

Accepted Answer

Teorema de Weierstrass

Answer

Teorema de Rolle

Answer

Teorema Fundamental del Cálculo

Answer

Teorema del Valor Intermedio

Question 2

Una función tiene una discontinuidad de salto en x = 3. ¿Cuál de las siguientes condiciones se cumple en x = 3?

Accepted Answer

El límite por la izquierda y el límite por la derecha no existen.

Answer

El límite por la izquierda y el límite por la derecha son iguales.

Answer

La función está definida en x = 3.

Question 3

Sea f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2). ¿Cómo se puede eliminar la discontinuidad evitable en x = 2?

Accepted Answer

Definiendo f(2) = 4

Answer

Definiendo f(2) = 2

Answer

Definiendo f(2) = 0

Answer

No es posible eliminar la discontinuidad.

Question 4

La función f(x) = |x| es continua en:

Accepted Answer

Todos los números reales

Answer

Solo en los números positivos

Answer

Solo en x = 0

Answer

En todos los números reales excepto en x = 0

Question 5

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y g(x) es una función continua en el intervalo [c, d], ¿qué se puede afirmar sobre la función compuesta f(g(x))?

Accepted Answer

f(g(x)) es continua en el intervalo [c, d] si g(x) ∈ [a, b] para todo x ∈ [c, d].

Answer

f(g(x)) es continua en el intervalo [a, b]

Answer

f(g(x)) es continua en el intervalo [c, d] solo si g(x) es invertible

Question 6

¿Cuál de las siguientes funciones es continua en todo su dominio?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 7

En un diagrama de la gráfica de una función, una discontinuidad de salto se caracteriza por:

Accepted Answer

Un salto vertical en la gráfica

Answer

Un cambio gradual en la dirección de la gráfica

Answer

Una línea vertical tangente a la gráfica

Answer

Un agujero en la gráfica

Question 8

Sea la función f(x) = x^2 + 1. ¿En qué punto la función es discontinua?

Accepted Answer

Ninguno, la función es continua en todos los puntos reales.

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = -1

Question 9

La función f(x) = |x| es:

Accepted Answer

Continua pero no derivable en x = 0

Answer

Derivable pero no continua en x = 0

Answer

Tanto continua como derivable en x = 0

Answer

Ni continua ni derivable en x = 0

Question 10

Si una función es continua en un punto, ¿debe ser necesariamente derivable en ese punto?

Accepted Answer

No

Answer

Solo si la derivada es finita

Answer

Sí

Answer

Solo si la función es diferenciable

Question 11

La función f(x) = 1/(x - 2) tiene una discontinuidad en:

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

No tiene discontinuidades

Answer

x = 0

Question 12

¿Cuál de las siguientes funciones es continua por tramos?

Accepted Answer

f(x) = |x| + |x - 1|

Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 13

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], ¿qué representa la integral definida ∫[a, b] f(x) dx?

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) entre a y b

Answer

La longitud del arco de la gráfica de f(x) entre a y b

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la gráfica de f(x) alrededor del eje x entre a y b

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = (a+b)/2

Question 14

La derivada de una función continua:

Accepted Answer

Puede ser discontinua

Answer

Siempre es integrable

Answer

Siempre es continua

Answer

Siempre es derivable

Question 15

Si una función es continua en un punto, ¿es necesariamente uniformemente continua en ese punto?

Accepted Answer

No

Answer

Solo si es derivable en ese punto

Answer

Solo si es monótona en ese punto

Answer

Sí

Question 16

La función f(x) = x² - 1 es continua en x = 2. ¿Es esto correcto?

Accepted Answer

Sí

Answer

Solo a la izquierda

Answer

Solo a la derecha

Answer

No

Question 17

¿Qué teorema garantiza la continuidad de una función compuesta?

Accepted Answer

Teorema de continuidad de funciones compuestas

Answer

Teorema fundamental del cálculo

Answer

Teorema de límites

Answer

Teorema del valor intermedio

Question 18

La función f(x) = |x| tiene una discontinuidad en x = 0. ¿De qué tipo es?

Accepted Answer

Discontinuidad evitable

Answer

Discontinuidad de salto

Answer

Discontinuidad esencial

Answer

Sin discontinuidad

Question 19

La función f(x) = 1/(x - 2) es continua en el intervalo (0, 4). ¿Es esto correcto?

Accepted Answer

No

Answer

Sí

Answer

Solo en los extremos del intervalo

Answer

Solo en los puntos donde está definida

Question 20

Para qué valor de 'a' la función f(x) = { x² si x ≤ 1, ax + 1 si x > 1 } es continua en x = 1?

Accepted Answer

a = 2

Answer

a = 1

Answer

a = 3

Answer

a = 4

Question 21

Si f(x) es continua en el intervalo [a, b] y g(x) es continua en el intervalo [b, c], entonces la función h(x) = f(x)g(x) es:

Accepted Answer

Continua en el intervalo [a, c]

Answer

Continua sólo en el intervalo [b, c]

Answer

No necesariamente continua

Answer

Continua sólo en el intervalo [a, b]

Question 22

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa con respecto a la continuidad de una función?

Accepted Answer

Una función continua tiene derivada en todos los puntos de su dominio.

Answer

Una función discontinua puede tener un límite finito en un punto.

Answer

La derivada de una función continua es siempre continua.

Question 23

Demostrar que la función f(x) = sin(x)/x es continua en el intervalo (0, ∞).

Accepted Answer

Utilizando el teorema del límite

Answer

Utilizando el teorema del valor intermedio

Answer

No se puede demostrar su continuidad en el intervalo (0, ∞)

Answer

Utilizando el teorema de continuidad de funciones compuestas

Question 24

La función f(x) = 1/x^2 tiene una discontinuidad en x = 0 porque:

Accepted Answer

El límite de f(x) cuando x tiende a 0 no existe.

Answer

La derivada de f(x) no existe en x = 0.

Answer

La gráfica de f(x) tiene un salto en x = 0.

Answer

El valor de f(x) no está definido en x = 0.

Question 25

Determinar el intervalo de continuidad de la función f(x) = ln(x^2 - 4).

Accepted Answer

(2, ∞)

Answer

(-∞, -2) U (2, ∞)

Answer

(0, 2)

Answer

(-2, 2)