Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden: Cálculo para Ingeniería Industrial

Question 1

Hallar la solución general de la ecuación diferencial y'' - 4y' + 4y = e^(2x) + sen(x):

Accepted Answer

y = c1e^(2x) + c2e^(2x)x + (1/4)x^2e^(2x) + c3cos(x) + c4sin(x)

Answer

y = c1e^(2x) + c2e^(2x)x - (1/4)x^2e^(2x) + c3cos(x) + c4sin(x)

Answer

y = c1e^(-2x) + c2e^(-2x)x + (1/4)x^2e^(-2x) + c3cos(x) + c4sin(x)

Answer

y = c1e^(-2x) + c2e^(-2x)x - (1/4)x^2e^(-2x) + c3cos(x) + c4sin(x)

Question 2

Determinar el tipo de punto crítico de la ecuación diferencial x^2y'' - 5xy' + (4 + x^2)y = 0 en x = 0:

Accepted Answer

Punto singular regular

Answer

Punto ordinario

Answer

Punto crítico no clasificable

Answer

Punto singular irregular

Question 3

Resolver la ecuación diferencial y'' - 4y = 0 con las condiciones iniciales y(0) = 2, y'(0) = 3

Accepted Answer

y = 2 cosh(2x) + 3 sinh(2x)

Answer

y = 2 cosh(2x) - 3 sinh(2x)

Answer

y = 2 sinh(2x) + 3 cosh(2x)

Answer

y = 3 cosh(2x) - 2 sinh(2x)

Question 4

Determinar el orden y grado de la siguiente ecuación diferencial: (d^3y/dx^3) + (d^2y/dx^2) - (dy/dx) + y = 0

Accepted Answer

Orden: 3, Grado: 1

Answer

Orden: 2, Grado: 1

Answer

Orden: 2, Grado: 3

Answer

Orden: 3, Grado: 3

Question 5

Usando el método de separación de variables, resolver la ecuación diferencial (dy/dx) = xy

Accepted Answer

y = ce^(x^2/2)

Answer

y = x^2/2 + c

Answer

y = 1/x^2 + c

Answer

y = ce^(-x^2/2)

Question 6

La ecuación diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 se conoce como:

Accepted Answer

Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

Answer

Ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden

Answer

Ecuación diferencial no lineal homogénea de segundo orden

Question 7

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden es una ecuación de Euler?

Accepted Answer

y'' + xy' + y = 0

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y'' + y' - y = 0

Answer

y'' - y' + y = 0

Question 8

Aplica el método de Laplace para resolver la ecuación diferencial y'' + 4y' + 4y = u(t - 1).

Accepted Answer

y = c₁e^(-2t) + c₂e^(-2t) + (1 - e^(-2t)) u(t - 1)

Answer

y = c₁e^(2t) + c₂e^(-2t) + (1 - e^(2t)) u(t - 1)

Answer

y = c₁e^(-2t) + c₂e^(2t) + (1 - e^(2t)) u(t - 1)

Answer

y = c₁e^(2t) + c₂e^(-2t) + (1 - e^(-2t)) u(t - 1)

Question 9

Si las raíces de la ecuación característica de una ecuación diferencial de segundo orden son complejas conjugadas, entonces la solución general de la ecuación es:

Accepted Answer

y = e^αx(c₁ cos(βx) + c₂ sen(βx))

Answer

y = e^αx(c₁ cos(βx) + c₂ cosh(βx))

Answer

y = e^αx(c₁ sen(βx) + c₂ senh(βx))

Answer

y = e^αx(c₁ cosh(βx) + c₂ senh(βx))

Question 10

Utiliza la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial y'' + 4y' + 3y = f(t), donde f(t) es una función escalón unitario.

Accepted Answer

y = (1/3) (1 - e^(-3t)) u(t)

Answer

y = (1/3) (1 + e^(3t)) u(t)

Answer

y = (1/3) (1 - e^(3t)) u(t)

Answer

y = (1/3) (1 + e^(-3t)) u(t)

Question 11

Resolver la ecuación diferencial y'' + 4y = 0. **(Clarificada la notación)**

Accepted Answer

**y = c1 cos(2x) + c2 sin(2x)**

Answer

y = c1 x^2 + c2 x

Answer

y = c1 cos(4x) + c2 sin(4x)

Answer

y = c1 e^(2x) + c2 e^(-2x)

Question 12

**Resolver** la ecuación de Euler y'' - 2xy' + 2y = 0. **(Precisión mejorada)**

Accepted Answer

**y = c1 x + c2 x^2**

Answer

y = c1 cos(x) + c2 sin(x)

Answer

y = c1 e^x + c2 e^(-x)

Answer

y = c1 x^2 + c2 x

Question 13

Encontrar la solución particular de la ecuación y'' + 2y' + y = e^(-x). **(Mejorada la claridad)**

Accepted Answer

**y = e^(-x)/2**

Answer

y = e^(x)/2

Answer

y = -e^(-x)/2

Question 14

Determinar el tipo de punto singular de la ecuación y'' + (x^2 - 1)y' + xy = 0. **(Mejorada la precisión)**

Accepted Answer

**Regular**

Answer

Irregular

Answer

Defectivo

Answer

Esencial

Question 15

Obtener la serie de potencias de la solución de la ecuación y'' - xy + y = 0 en torno a x = 0. **(Mejorada la redacción)**

Accepted Answer

**y = c1 + c2 x + c3 x^2 + ...**

Answer

y = c1 cos(x) + c2 sin(x)

Answer

y = c1 e^x + c2 e^(-x)

Answer

y = c1 x^2 + c2 x

Question 16

Calcular el valor del Wronskiano de las funciones y1 = x e y2 = x^2. **(Clarificada la notación)**

Accepted Answer

**x^2**

Answer

x

Answer

-x^2

Answer

1

Question 17

Determinar si el conjunto de funciones {y1 = e^x, y2 = xe^x} es linealmente independiente en el intervalo (0, ∞). **(Mejorada la claridad)**

Accepted Answer

**Sí**

Answer

No se puede determinar

Answer

No

Answer

Depende del intervalo

Question 18

Encontrar la solución general de la ecuación y'' + 4y' + 3y = 0. **(Mejorada la redacción)**

Accepted Answer

**y = c1 e^(-x) + c2 e^(-3x)**

Answer

y = c1 e^(x) + c2 e^(-3x)

Answer

y = c1 x^2 + c2 x

Answer

y = c1 cos(x) + c2 sin(x)

Question 19

Obtener la ecuación diferencial correspondiente al problema de valor inicial: y'' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0. **(Mejorada la notación)**

Accepted Answer

**y'' + y = 0**

Answer

y'' - y = 0

Answer

y'' + 2y = 0

Answer

y'' - 2y = 0

Question 20

Resolver la ecuación diferencial **y'' + 4y = sen(2x)** utilizando el método de variación de parámetros

Accepted Answer

**y = - (sen(2x) * cos(2x)) / 2 + c1 * cos(2x) + c2 * sen(2x)**

Answer

**y = (sen(2x) * cos(2x)) / 2 + c1 * cos(2x) + c2 * sen(2x)**

Answer

**y = - (sen(2x) * cos(2x)) / 4 + c1 * cos(2x) + c2 * sen(2x)**

Question 21

Determinar si la función **y = x * sen(x)** es solución de la ecuación diferencial **y'' + 2y' + 2y = 0**

Accepted Answer

**Sí**

Answer

**No**

Answer

**Quizás**

Answer

**No se puede determinar**

Question 22

Resolver la ecuación diferencial **y'' + y = δ(x - π/2)**

Accepted Answer

**y = sen(x) * u(x - π/2)**

Answer

**y = cos(x - π/2)**

Answer

**y = cos(x) * u(x - π/2)**

Answer

**y = sen(x - π/2)**

Question 23

Resolver el problema de valor en la frontera **y'' = 0** con condiciones de contorno **y(0) = 0** e **y(1) = 1**

Accepted Answer

**y = x**

Answer

**y = -x**

Answer

**y = x^2**

Question 24

Determinar si la ecuación diferencial **y'' + y' + y = 0** es lineal

Accepted Answer

**Sí**

Answer

**No**

Answer

**Quizás**

Answer

**No se puede determinar**

Question 25

Dada la ecuación diferencial y'' + 4y' + 3y = 0, ¿cuál es la solución general?

Accepted Answer

y = c₁e⁻³ˣ + c₂e⁻ˣ

Answer

y = c₁e⁻²ˣ + c₂e⁻ˣ

Answer

y = c₁e³ˣ + c₂eˣ

Answer

y = c₁e⁻³ˣ + c₂e²ˣ

Question 26

¿Qué tipo de ecuación diferencial es x²y'' + xy' - y = 0?

Accepted Answer

Ecuación de Euler

Answer

Ecuación no lineal de segundo orden

Answer

Ecuación lineal de segundo orden

Answer

Ecuación con coeficientes constantes

Question 27

La solución general de la ecuación diferencial x²y'' - 3xy' + 4y = 0 es:

Accepted Answer

y = c₁x² + c₂x²ln(x)

Answer

y = c₁x² + c₂x

Answer

y = c₁x + c₂x²

Answer

y = c₁x + c₂xln(x)

Question 28

Un sistema masa-resorte con amortiguación está gobernado por la ecuación diferencial my'' + cy' + ky = 0. Si la masa m = 1 kg, la constante de amortiguación c = 2 Ns/m y la constante del resorte k = 1 N/m, ¿cuál es la solución general del sistema?

Accepted Answer

y = c₁e⁻ˣ + c₂xe⁻ˣ

Answer

y = c₁e⁻ˣ + c₂e⁻²ˣ

Answer

y = c₁e⁻²ˣ + c₂xe⁻²ˣ

Answer

y = c₁eˣ + c₂xeˣ

Question 29

Un circuito RLC en serie está descrito por la ecuación diferencial Lq'' + Rq' + 1/C q = 0. Si la inductancia L = 1 H, la resistencia R = 2 Ω y la capacitancia C = 1 F, ¿cuál es la frecuencia natural del circuito?

Accepted Answer

ω₀ = 1 rad/s

Answer

ω₀ = 1/√2 rad/s

Answer

ω₀ = √2 rad/s

Answer

ω₀ = 2 rad/s

Question 30

Una ecuación diferencial de segundo orden es homogénea si:

Accepted Answer

Todos los términos contienen la variable dependiente o sus derivadas.

Answer

Es lineal.

Answer

Tiene coeficientes constantes.

Question 31

El método de variación de parámetros se utiliza para:

Accepted Answer

Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial no homogénea.

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas.

Answer

Encontrar la solución general de una ecuación diferencial.

Question 32

La ecuación diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 es:

Accepted Answer

Lineal de segundo orden.

Answer

Lineal de primer orden.

Answer

No lineal de segundo orden.

Answer

No lineal de primer orden.

Question 33

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta en relación a las ecuaciones diferenciales de segundo orden?

Accepted Answer

La solución general contiene dos constantes arbitrarias.

Answer

Siempre se pueden resolver utilizando el método de variación de parámetros.

Answer

La solución general es única.