Aplicaciones de las Integrales: Cálculo de Áreas, Volúmenes y Longitudes de Curvas

Question 1

Para calcular el área de la región comprendida entre la curva y = x^2 y el eje de abscisas, entre x = 0 y x = 2, se utiliza la integral definida:

Accepted Answer

∫[0, 2] x^2 dx

Answer

∫[2, 0] x^2 dx

Answer

∫[0, 2] 2x dx

Answer

∫[0, 2] (x^2 + 1) dx

Question 2

Para calcular la longitud del arco de la curva y = e^x, entre x = 0 y x = 1, se utiliza la integral:

Accepted Answer

∫[0, 1] √(1 + (e^x)^2) dx

Answer

∫[0, 1] (e^x + 1) dx

Answer

∫[0, 1] e^x dx

Answer

∫[0, 1] √(e^x) dx

Question 3

Para calcular la masa de una varilla de densidad lineal variable ρ(x), entre x = a y x = b, se utiliza la integral:

Accepted Answer

∫[a, b] ρ(x) dx

Answer

∫[a, b] dρ(x)/dx

Answer

∫[a, b] (dρ(x)/x) dx

Answer

∫[a, b] ρ^(x) dx

Question 4

Para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria X siga una distribución normal con media μ y desviación estándar σ, tome un valor entre a y b, se utiliza la integral:

Accepted Answer

(1/σ√(2π)) ∫[a, b] e^(-(x-μ)^2/(2σ^2)) dx

Answer

(1/σ√(2π)) ∫[a, b] e^(-(x+μ)^2/(2σ^2)) dx

Answer

(1/σ√(2π)) ∫[a, b] e^(-(x^2-μ^2)/(2σ^2)) dx

Answer

(1/σ√(2π)) ∫[0, b] e^(-(x-μ)^2/(2σ^2)) dx

Question 5

Para calcular el flujo de calor a través de una superficie S, con vector normal n y función de flujo de calor q(x, y, z) sobre S, se utiliza la integral:

Accepted Answer

∫∫[S] q(x, y, z) · n dA

Answer

∫∫[S] (q(x, y, z)/n) dA

Answer

∫∫[S] (n/q(x, y, z)) dA

Answer

∫∫[S] q(x, y, z) dA

Question 6

Se desea calcular el área bajo la curva y=x^2 entre x=0 y x=2. ¿Cuál es la integral definida que representa este problema?

Accepted Answer

∫[0,2] x^2 dx

Answer

∫[2,0] x^2 dx

Answer

-∫[0,2] x^2 dx

Answer

dx ∫[0,2] x^2

Question 7

Se desea encontrar la longitud de la curva y=sen(x) entre x=0 y x=π. ¿Cuál es la integral que representa este problema?

Accepted Answer

∫[0,π] √(1+cos^2(x)) dx

Answer

∫[0,π] sen(x) dx

Answer

∫[0,π] cos(x) dx

Answer

dx ∫[0,π] √(1+cos^2(x))

Question 8

Se desea calcular el trabajo realizado por una fuerza F(x) = x^2 + 1 sobre un objeto que se desplaza una distancia de 2 unidades. ¿Cuál es la integral que representa este trabajo?

Accepted Answer

∫[0,2] (x^2 + 1) dx

Answer

∫[2,0] (x^2 + 1) dx

Answer

dx ∫[0,2] (x^2 + 1)

Answer

-∫[0,2] (x^2 + 1) dx

Question 9

Se desea calcular el momento de inercia con respecto al eje y de una placa plana con densidad constante ρ y forma definida por la región acotada por las curvas y=x y y=x^2. ¿Cuál es la integral que representa este momento de inercia?

Accepted Answer

∫[0,1] ρx^3 (x^2 - x) dx

Answer

∫[0,1] ρx (x^2 - x) dx

Answer

-∫[0,1] ρx^3 (x^2 - x) dx

Answer

dx ∫[0,1] ρx^3 (x^2 - x)

Question 10

¿Cuál es la integral que representa el flujo de líquido a través de una sección transversal de un tubo con radio r(x) = x + 1 y velocidad v(x) = 2x?

Accepted Answer

∫[0,2] 2πx(x + 1) dx

Answer

dx ∫[0,2] 2πx(x + 1)

Answer

∫[2,0] 2πx(x + 1) dx

Answer

-∫[0,2] 2πx(x + 1) dx

Question 11

Se desea calcular el trabajo realizado por una fuerza que varía con la distancia según la función F(x) = sen(x) sobre un objeto que se desplaza una distancia de π unidades. ¿Cuál es la integral que representa este trabajo?

Accepted Answer

∫[0,π] sen(x) dx

Answer

∫[π,0] sen(x) dx

Answer

-∫[0,π] sen(x) dx

Answer

dx ∫[0,π] sen(x)

Question 12

Calcula la resistencia de un resorte cuando se estira x metros desde su posición de reposo.

Accepted Answer

kx

Answer

2kx

Answer

1/2kx

Answer

kx/2

Question 13

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área bajo la curva y = sen(x) en el intervalo [0, π]?

Accepted Answer

∫[0, π] sen(x) dx

Answer

∫[1, 2] sen(x) dx

Answer

∫[π, 0] cos(x) dx

Answer

∫[0, π] cos(x) dx

Question 14

Si la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua es f(x) = 2x para 0 ≤ x ≤ 1, ¿cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor a 0,5?

Accepted Answer

∫[0, 1/2] 2x dx

Answer

∫[1/2, 0] 2x dx

Answer

∫[0, 1/2] x dx

Answer

∫[1/2, 0] x dx

Question 15

La velocidad de un objeto que se mueve en trayectoria rectilínea viene dada por v(t) = t^3 - 2t^2 + 1. ¿Cuál es la distancia recorrida por el objeto en el intervalo [0, 2]?

Accepted Answer

∫[0, 2] (t^3 - 2t^2 + 1) dt

Answer

∫[0, 2] (t^2 - 2t + 1) dt

Answer

∫[2, 0] (t^2 - 2t + 1) dt

Answer

∫[2, 0] (t^3 - 2t^2 + 1) dt

Question 16

¿Cuál es el momento de inercia de un sólido con densidad ρ(x, y, z) = z alrededor del eje z?

Accepted Answer

∫[] ∫[] ∫[] z^2ρ(x, y, z) dx dy dz

Answer

∫[] ∫[] ∫[] zρ(x, y, z) dx dy dz

Question 17

¿Qué función representa el trabajo realizado por una fuerza F(x) = x^3 - 2x^2 + 1 a lo largo del desplazamiento de un objeto desde x = 0 hasta x = 2?

Accepted Answer

∫[0, 2] (x^3 - 2x^2 + 1) dx

Answer

∫[2, 0] (x^3 - 2x^2 + 1) dx

Answer

∫[0, 2] (x^2 - 2x + 1) dx

Answer

∫[2, 0] (x^2 - 2x + 1) dx

Question 18

Si la demanda de un producto viene dada por la función Q(p) = 100 - 2p, ¿cuál es el ingreso total (en euros) obtenido al vender 20 unidades?

Accepted Answer

∫[0, 20] (100 - 2p) dp

Answer

∫[0, 20] (2p - 100) dp

Answer

∫[20, 0] (100 - 2p) dp

Answer

∫[20, 0] (2p - 100) dp

Question 19

Una barra de longitud L tiene una densidad variable que se define por la función ρ(x) = x + 2. ¿Cuál es la masa total de la barra?

Accepted Answer

L³/3 + 2L

Answer

L³/6 + 2L

Answer

L³/3 + L

Answer

L³/6 + L

Question 20

Un depósito tiene la forma de un cono invertido con un radio de base de 4 metros y una altura de 6 metros. Si se llena con agua hasta una altura de 3 metros, ¿cuál es el volumen de agua en el depósito? (Utilice π = 3,14)

Accepted Answer

37,68 m³

Answer

75,36 m³

Answer

25,12 m³

Answer

150,72 m³

Question 21

Un fabricante de piezas metálicas necesita determinar la longitud de una curva que se utiliza para diseñar una pieza en forma de espiral. La ecuación de la curva es y = x², desde x = 0 hasta x = 2. ¿Cuál es la longitud de la curva?

Accepted Answer

4,65 unidades

Answer

2 unidades

Answer

16 unidades

Answer

8 unidades

Question 22

Una placa metálica tiene la forma de la región limitada por la curva y = x² y la recta y = 4. ¿Cuál es el área de la placa metálica?

Accepted Answer

10,67 unidades cuadradas

Answer

16 unidades cuadradas

Answer

4 unidades cuadradas

Question 23

Un tanque cilíndrico tiene un radio de 5 metros y una altura de 10 metros. Si el tanque está lleno de agua hasta una altura de 8 metros, ¿cuál es el trabajo realizado al bombear toda el agua fuera del tanque? (Considere la densidad del agua como 9.800 kg/m³ y la aceleración debida a la gravedad como 9,8 m/s²)

Accepted Answer

∫₀⁸ 9.8ρπ(5²)(10 - y) dy

Answer

∫₀¹⁰ 9.8ρπ(5²)(y) dy

Answer

∫₀⁸ 9.8ρπ(5²)(y) dy

Answer

∫₀⁵ 9.8ρπ(5²)(10 - y) dy

Question 24

Un objeto se mueve con una velocidad dada por la función v(t) = 2t + 1. ¿Cuál es la distancia recorrida por el objeto entre los instantes t = 0 y t = 3?

Accepted Answer

12 unidades

Answer

18 unidades

Answer

6 unidades

Answer

9 unidades

Question 25

Una empresa de construcción necesita calcular la cantidad de material que se necesita para construir un muro curvo. La curva que define el muro se representa por la ecuación y = √x, desde x = 0 hasta x = 4. ¿Cuál es la longitud de la curva que representa el muro?

Accepted Answer

5,9 unidades

Answer

4 unidades

Answer

2 unidades

Answer

8 unidades

Question 26

Un tanque de agua tiene forma de un cilindro circular recto con un radio de 2 metros y una altura de 5 metros. Si el tanque está lleno de agua hasta una altura de 3 metros, ¿cuál es el volumen de agua en el tanque? (Utilice π = 3,14)

Accepted Answer

37,68 m³

Answer

15,7 m³

Answer

125,6 m³

Answer

62,8 m³

Question 27

Una empresa de telecomunicaciones necesita diseñar una antena parabólica con forma de parábola. La ecuación de la parábola es y² = 4x. ¿Cuál es el área de la superficie de la antena parabólica, desde x = 0 hasta x = 4?

Accepted Answer

32π/3 unidades cuadradas

Answer

64π/3 unidades cuadradas

Answer

8π/3 unidades cuadradas

Answer

16π/3 unidades cuadradas

Question 28

Un fabricante de automóviles necesita determinar la fuerza necesaria para mover un pistón dentro de un cilindro. La fuerza está relacionada con la presión del gas dentro del cilindro, la cual varía con la posición del pistón. La presión se representa por la función P(x) = 10 - x², donde x es la posición del pistón en metros. ¿Cuál es el trabajo realizado por el pistón al moverse desde x = 0 hasta x = 2 metros?

Accepted Answer

13,33 unidades de trabajo

Answer

20 unidades de trabajo

Answer

5 unidades de trabajo

Answer

10 unidades de trabajo

Question 29

Un ingeniero civil necesita calcular la cantidad de material necesario para construir un puente curvo. La curva que define el puente se representa por la función y = ln(x), desde x = 1 hasta x = e. ¿Cuál es la longitud de la curva que representa el puente?

Accepted Answer

√2 unidades

Answer

e unidades

Answer

1 unidad

Answer

√e unidades