Ecuaciones Diferenciales en Ingeniería: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

[Métodos Analíticos] La solución general de la ecuación diferencial y''(t) + y(t) = 0 es:

Accepted Answer

y(t) = C1*cos(t) + C2*sin(t)

Answer

y(t) = C1*x + C2

Answer

y(t) = C1*e^(x) + C2*e^(-x)

Answer

y(t) = C1*x^2 + C2

Question 2

[Métodos Numéricos] El método numérico de Euler para resolver la ecuación diferencial y'(t) = y(t) se expresa mediante:

Accepted Answer

y(x+h) = y(x) + h*y'(x)

Answer

y(x+h) = y(x) - h*y'(x)

Answer

y'(x+h) = y(x) + h*y'(x)

Answer

y'(x+h) = y(x) - h*y'(x)

Question 3

[Ecuaciones Diferenciales Lineales] La ecuación diferencial lineal y''(t) - 2y'(t) + y(t) = 0 tiene como solución general:

Accepted Answer

y(t) = C1*e^t + C2*e^(-t)

Answer

y(t) = C1*t^2 + C2

Answer

y(t) = C1*sen(t) + C2*cos(t)

Answer

y(t) = C1*t + C2

Question 4

[Ecuaciones de Cauchy] La condición inicial para la ecuación diferencial y'(t) = y(t) es:

Accepted Answer

y(0) = y0

Answer

y''(0) = y0

Answer

y'(0) = y0

Question 5

[Ecuaciones Diferenciales Parciales] La ecuación diferencial parcial de segundo orden u_tt - c^2 u_xx = 0 representa la ecuación de:

Accepted Answer

Onda

Answer

Poisson

Answer

Calor

Answer

Laplace

Question 6

En un sistema mecánico, la ecuación diferencial que describe el movimiento de un resorte es: m*x''(t) + k*x(t) = 0. ¿Cuál es la frecuencia natural del sistema?

Accepted Answer

ω = √(k/m)

Answer

ω = (m/k)^(1/2)

Answer

ω = m*k

Question 7

En una reacción química, la concentración de un reactivo A disminuye exponencialmente con el tiempo según la ecuación diferencial dA/dt = -kA. ¿Cuál es la vida media de la reacción?

Accepted Answer

ln(2)/k

Answer

k/ln(2)

Answer

2*ln(2)/k

Question 8

¿Cuál de las siguientes no es una aplicación de las ecuaciones diferenciales en ingeniería?

Accepted Answer

Diseño de edificios arquitectónicos

Answer

Modelado del flujo de fluidos

Answer

Análisis de circuitos eléctricos

Question 9

Una ecuación diferencial de orden n tiene n soluciones linealmente independientes. Verdadero o falso?

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso

Answer

Depende de la ecuación

Question 10

¿Cuál es el factor integrante de la ecuación diferencial y' + y = sen(x)?

Accepted Answer

e^x

Answer

cos(x)

Answer

e^(-x)

Question 11

¿Cuál es la ecuación diferencial que describe el crecimiento de una población con tasa de crecimiento proporcional al tamaño de la población?

Accepted Answer

dy/dt = ky

Answer

dy/dt = k

Answer

d²y/dt² = ky

Answer

y = ke^kt

Question 12

Menciona un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

Accepted Answer

Método de Euler

Answer

Método de Gauss

Answer

Método de Cramer

Answer

Método de Newton

Question 13

Identifica la ecuación diferencial que modela la difusión del calor en una barra unidimensional.

Accepted Answer

∂u/∂t = α∂²u/∂x²

Answer

∂²u/∂x² = α∂u/∂t

Answer

∂u/∂t = α∂u/∂x

Answer

∂²u/∂t² = α∂²u/∂x²

Question 14

Una placa rectangular de lados a y b tiene sus bordes mantenidos a diferentes temperaturas. La temperatura en la placa está gobernada por la ecuación diferencial ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0. Proporciona la solución general de la ecuación.

Accepted Answer

u(x, y) = X(x)Y(y)

Answer

u(x, y) = XY

Answer

u(x, y) = X(x) + Y(y)

Answer

u(x, y) = X(x) - Y(y)

Question 15

¿Cuál de las siguientes es una aplicación de las ecuaciones diferenciales estocásticas?

Accepted Answer

Modelado del crecimiento poblacional con fluctuaciones aleatorias

Answer

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Answer

Análisis de datos estadísticos

Question 16

Un sistema dinámico está descrito por las ecuaciones diferenciales dx/dt = x - y y dy/dt = x + y. ¿Cuál es el punto crítico del sistema?

Accepted Answer

(0, 0)

Answer

(1, 0)

Answer

(-1, 0)

Question 17

Una ecuación diferencial lineal de primer orden se caracteriza por tener funciones p(x) y q(x) que son:

Accepted Answer

Constantes.

Answer

Exponenciales.

Answer

Polinomiales de grado 2.

Answer

Trigonométricas.

Question 18

El método de separación de variables es aplicable a las ecuaciones diferenciales:

Accepted Answer

De primer orden y variables separables.

Answer

De segundo orden y lineales.

Answer

De cualquier orden y no lineales.

Question 19

Para resolver la ecuación diferencial y' + y = sen(x), el factor integrante es:

Accepted Answer

e^x

Answer

sen(x)

Answer

-x

Answer

x

Question 20

La ecuación diferencial que describe el movimiento de una masa en un sistema mecánico amortiguado es:

Accepted Answer

mx'' + cx' + kx = 0

Answer

cx' + mx'' - kx = 0

Answer

mx' + cx'' + kx = 0

Answer

cx'' + mx' + kx = 0

Question 21

El método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales es un método:

Accepted Answer

Numérico de primer orden.

Answer

Numérico exacto.

Answer

Analítico de orden superior.

Question 22

La solución particular de la ecuación diferencial y' + 2y = 4 es:

Accepted Answer

y = 2

Answer

y = e^(-2x)

Answer

y = x

Answer

y = -2

Question 23

La transformada de Laplace de la derivada de f(t) es:

Accepted Answer

sF(s) - f(0)

Answer

F(s) / s

Answer

F(s) * s

Answer

sF(s) + f(0)

Question 24

Un sistema mecánico con una masa de 2 kg y un amortiguador con un coeficiente de amortiguamiento de 4 kg/s está sujeto a una fuerza externa dada por F(t) = 10sen(2t). La posición inicial es x(0) = 0 y la velocidad inicial es v(0) = 0. ¿Cuál es la ecuación diferencial que modela el movimiento del sistema?

Accepted Answer

2x''(t) + 4x'(t) + 10 = 10sen(2t)

Answer

2x''(t) + 4x'(t) + 10 = 10cos(2t)

Answer

4x''(t) + 2x'(t) + 10 = 10sen(2t)

Answer

x''(t) + 2x'(t) + 10 = 10sen(2t)

Question 25

Un circuito RC en serie está formado por una resistencia de 10 ohmios y un capacitor de 0.1 faradios. Si se aplica un voltaje constante de 12 voltios, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe la carga del capacitor en función del tiempo?

Accepted Answer

dQ/dt + (1/RC)Q = V/R

Answer

dQ/dt - (1/RC)Q = V/R

Answer

dQ/dt + (1/RC)Q = 0

Answer

dQ/dt - (1/RC)Q = 0

Question 26

Una población de bacterias se duplica cada 3 horas. ¿Cuál es la ecuación diferencial que describe el crecimiento de la población?

Accepted Answer

dP/dt = kP

Answer

dP/dt = kP^2

Answer

dP/dt = -kP

Answer

dP/dt = -kP^2

Question 27

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Si se ignora la resistencia del aire, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe la altura de la pelota en función del tiempo?

Accepted Answer

d^2y/dt^2 = -g

Answer

dy/dt = g

Answer

dy/dt = -g

Answer

d^2y/dt^2 = g

Question 28

Una compañía de inversión ofrece un interés compuesto continuo a una tasa del 5% anual. Si se invierte inicialmente una cantidad de 1000 euros, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe el valor de la inversión en función del tiempo?

Accepted Answer

dA/dt = 0.05A

Answer

dA/dt = 0.05A^2

Answer

dA/dt = -0.05A

Question 29

Se utiliza el método de separación de variables para resolver la ecuación diferencial dy/dx = xy. Si la condición inicial es y(0) = 1, ¿cuál es la solución general?

Accepted Answer

y = e^(x^2/2)

Answer

y = -x^2/2

Answer

y = e^(-x^2/2)

Answer

y = x^2/2

Question 30

**Un circuito eléctrico está compuesto por una resistencia R de 10 ohmios, una inductancia L de 2 henrios y una fuente de tensión E de 12 voltios. La corriente en el circuito está dada por la ecuación diferencial L(di/dt) + Ri = E. Si la corriente inicial es de 0 amperios, ¿cuál será su valor después de 1 segundo?**

Accepted Answer

0,993 amperios

Answer

1,2 amperios

Answer

0,6 amperios

Answer

1,8 amperios

Question 31

**Un objeto de masa m = 2 kg se mueve a una velocidad inicial de vi = 5 m/s. Está sujeto a una fuerza de fricción proporcional a la velocidad, con una constante de proporcionalidad b = 4 N/(m/s). La ecuación diferencial que describe su movimiento es m(dv/dt) = -bv. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar una velocidad de 1 m/s?**

Accepted Answer

1,39 segundos

Answer

0,8 segundos

Answer

0,5 segundos

Answer

2,78 segundos

Question 32

**El crecimiento de una población de peces en un lago puede modelarse mediante la ecuación dP/dt = rP(1 - P/K), donde P es la población en el tiempo t, r es la tasa intrínseca de crecimiento y K es la capacidad de carga del lago. ¿Cuál es el valor de la población de peces en el equilibrio?**

Accepted Answer

K

Answer

0

Answer

r

Question 33

**El método de Euler es un método numérico para aproximar la solución de una ecuación diferencial. ¿Cuál es la fórmula del método de Euler?**

Accepted Answer

yi+1 = yi + h·f(ti, yi)

Answer

yi+1 = yi + h·f(ti+1, yi)

Answer

yi+1 = yi - h·f(ti, yi)

Answer

yi+1 = yi + h·f(ti, yi+1)

Question 34

**Para la ecuación diferencial y'' + 4y = sen(2t), podemos encontrar una solución particular usando el método de coeficientes indeterminados. ¿Cuál será la forma de esta solución particular?**

Accepted Answer

yp(t) = A·sen(2t) + B·cos(2t)

Answer

yp(t) = A·sen(2t)

Answer

yp(t) = At·cos(2t)

Answer

yp(t) = At·sen(2t) + Bt·cos(2t)

Question 35

**Un circuito eléctrico simple comprende un resistor R = 10 ohmios y un condensador C = 0,1 faradios. Si la tensión inicial en el condensador es de 5 voltios, ¿qué ecuación diferencial describe la carga del condensador en función del tiempo?**

Accepted Answer

dQ/dt + 10Q = 0

Answer

dQ/dt - 10Q = 5

Answer

dQ/dt - 10Q = 0

Answer

dQ/dt + 10Q = 5

Question 36

**Un objeto de masa m = 2 kg se mueve dentro de un medio viscoso, con una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad y con constante b = 4 N·s/m. Si la fuerza aplicada sobre él es de 10 N, ¿cuál es la ecuación diferencial que modela el movimiento del objeto?**

Accepted Answer

2(d²x/dt²) + 4(dx/dt) = 10

Answer

2(d²x/dt²) + 4(dx/dt) = 0

Answer

2(d²x/dt²) - 4(dx/dt) = 0

Answer

2(d²x/dt²) - 4(dx/dt) = 10

Question 37

**Utilizando el método de Euler con un tamaño de paso h = 0,1, y con condición inicial y(0) = 1, queremos aproximar la solución de la ecuación diferencial dy/dt = y. ¿Cuál sería el valor aproximado de y(0,2) usando este método?**

Accepted Answer

1,11

Answer

1,31

Answer

1,01

Answer

1,21

Question 38

**La ecuación diferencial y' + 2y = e^(-t) representa la respuesta de un sistema lineal de primer orden ante una entrada exponencial. ¿Cuál será la respuesta forzada de este sistema?**

Accepted Answer

yf = (1/3)e^(-t)

Answer

yf = (1/2)e^(-t)

Answer

yf = (1/4)e^(-t)

Answer

yf = (1/5)e^(-t)

Question 39

**Un tanque contiene inicialmente 100 litros de agua pura. Se introduce agua salada a un ritmo constante de 2 litros por minuto, con una concentración de 5 gramos de sal por litro. El agua se mezcla bien y se extrae a un ritmo de 2 litros por minuto. ¿Qué ecuación diferencial describe la cantidad de sal en el tanque como función del tiempo?**

Accepted Answer

dS/dt = 10 - (S/50)

Answer

dS/dt = 5 - (S/100)

Answer

dS/dt = 5 - (S/50)

Answer

dS/dt = 10 - (S/100)

Question 40

La ecuación diferencial y'' + 4y = 0 representa un sistema de segundo orden sin amortiguación. ¿Cuál es la frecuencia natural del sistema?

Accepted Answer

2 rad/s

Answer

1 rad/s

Answer

4 rad/s

Answer

3 rad/s

Question 41

Se utiliza el método de separación de variables para resolver la ecuación diferencial dy/dx = xy. ¿Cuál es la solución general de la ecuación?

Accepted Answer

y = Ce^(x²/2)

Answer

y = Ce^(-x/2)

Answer

y = Ce^(x/2)

Answer

y = Ce^(-x²/2)

Question 42

Un modelo de crecimiento poblacional se describe por la ecuación diferencial dP/dt = kP(1 - P/M), donde P representa la población, k es la tasa de crecimiento intrínseca y M es la capacidad de carga. ¿Qué tipo de ecuación diferencial es esta?

Accepted Answer

Ecuación logística

Answer

Ecuación de Bernoulli

Answer

Ecuación de Riccati

Answer

Ecuación de Clairaut

Question 43

Una masa de 1 kg se une a un resorte con una constante de elasticidad de 4 N/m. ¿Cuál es el período de oscilación del sistema?

Accepted Answer

π segundos

Answer

π/2 segundos

Answer

2π segundos

Question 44

La ecuación diferencial y'' + 6y' + 9y = 0 representa un sistema de segundo orden con amortiguación crítica. ¿Cuál es la condición inicial que asegura que el sistema no oscile?

Accepted Answer

y(0) = 0, y'(0) = 0

Answer

y(0) = 1, y'(0) = 1

Answer

y(0) = 0, y'(0) = 1

Answer

y(0) = 1, y'(0) = 0