Espacios Vectoriales: Conceptos Básicos y Aplicaciones

Question 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto con operaciones de suma y producto por escalar definidas para todos sus elementos, que satisfacen propiedades específicas.

Answer

Un conjunto de vectores con un número finito de elementos.

Answer

Un conjunto de funciones con derivadas continuas.

Answer

Un conjunto de matrices con determinante distinto de cero.

Question 2

¿Cuál de las siguientes matrices representa una base del espacio vectorial R²?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0]]

Answer

[[1, 1], [1, -1]]

Question 3

¿Cuál es la dimensión del subespacio generado por los vectores {(1, 2), (3, 4)} en R²?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 4

¿Cuál es la norma del vector (1, -2, 3) en R³?

Accepted Answer

√14

Answer

2

Answer

6

Answer

14

Question 5

Identifica el conjunto que forma un espacio vectorial sobre R:

Accepted Answer

{0, 1, 2, 3, 4} con las operaciones de suma y producto por escalar definidas como a + b = a + b y c * a = c * a

Answer

{0, 1, 2, 3, 4} con las operaciones de suma y producto por escalar definidas como a + b = max(a, b) y c * a = |c| * a

Answer

{0, 1, 2, 3, 4} con las operaciones de suma y producto por escalar definidas como a + b = min(a, b) y c * a = c - a

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los espacios vectoriales es incorrecta?

Accepted Answer

Un subespacio de un espacio vectorial puede ser abierto bajo multiplicación por escalar.

Answer

Todo espacio vectorial tiene al menos un subespacio.

Answer

Todo espacio vectorial contiene un vector cero.

Question 7

Si S = {(1, 0), (0, 1)} es una base para R², ¿cuál es la representación del vector (3, 2) en S?

Accepted Answer

(3, 2)

Answer

(0, 3)

Answer

(3, 0)

Answer

(2, 3)

Question 8

¿Cuál de las siguientes transformaciones lineales es invertible?

Accepted Answer

T(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

T(x, y) = (0, y)

Answer

T(x, y) = (x, x + y)

Answer

T(x, y) = (x, 0)

Question 9

Sea V un espacio vectorial de dimensión n. ¿Cuántas bases diferentes puede tener V?

Accepted Answer

Infinito

Answer

n^2

Answer

n

Answer

(n + 1)!

Question 10

Sean v_1, v_2, ..., v_n vectores en un espacio vectorial V. ¿Bajo qué condición son linealmente dependientes?

Accepted Answer

Existe al menos un escalar a_i ≠ 0 tal que a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n = 0

Answer

Todos los escalares a_i son iguales a cero

Answer

Los vectores v_i son todos distintos de cero

Question 11

Sea V un espacio vectorial sobre R y sean v1, v2 ∈ V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

v1 - v2 ∈ V

Answer

-v1 ∈ V y v2 ∉ V

Answer

v1 + v2 ∉ V

Answer

v1/2 ∉ V

Question 12

Sea W un subespacio de V. ¿Cuál de las siguientes condiciones es necesaria y suficiente para que W sea un subespacio de V?

Accepted Answer

W es cerrado bajo adición y multiplicación escalar

Answer

W es un conjunto no vacío

Answer

W tiene dimensión finita

Answer

W contiene al vector cero

Question 13

Sea B = {v1, v2} una base de V. ¿Cuál es la dimensión de V?

Accepted Answer

2

Answer

No se puede determinar

Answer

1

Answer

3

Question 14

Sea V un espacio vectorial y sea S un conjunto de vectores en V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

S es un sistema generador de V si y sólo si todo vector de V puede expresarse como una combinación lineal de vectores en S.

Answer

S es un subespacio de V si y sólo si es cerrado bajo adición.

Question 15

¿Cuál de las siguientes propiedades **NO** es una propiedad de los espacios vectoriales?

Accepted Answer

No es cerrado bajo la multiplicación de escalares

Answer

Es cerrado bajo la suma

Answer

Existe un elemento inverso

Answer

Contiene un elemento identidad

Question 16

Sea V un subconjunto de R³. ¿V es un subespacio vectorial de R³ si cumple lo siguiente?

Accepted Answer

Contiene el vector cero, está cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar.

Answer

Contiene el vector cero, está cerrado bajo la suma, pero no bajo la multiplicación escalar.

Answer

Está cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar.

Answer

Contiene el vector cero y está cerrado bajo la suma.

Question 17

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la dimensión de V es verdadera?

Accepted Answer

El número de elementos de cualquier base de V es igual a la dimensión de V.

Answer

La dimensión de V es igual al número de vectores en V.

Answer

La dimensión de V puede variar según la base elegida.

Answer

Existen infinitas bases para V con diferente número de elementos.

Question 18

Sea {v1, v2, v3} un conjunto de vectores en R³. ¿Cuándo es este conjunto linealmente independiente?

Accepted Answer

Cuando ninguno de los vectores es una combinación lineal de los otros dos.

Answer

Cuando los tres vectores son paralelos.

Answer

Cuando los tres vectores están en el mismo plano.

Answer

Cuando la suma de los tres vectores es cero.

Question 19

Sea T: V → W una transformación lineal entre espacios vectoriales. ¿Cuál de las siguientes propiedades **NO** es cierta?

Accepted Answer

T(u - v) = T(u) - T(v)

Answer

T(u + v) = T(u) + T(v)

Answer

T(0) = 0

Answer

T(kv) = kT(v)

Question 20

Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V. ¿Cuándo es S un conjunto generador de V?

Accepted Answer

Cuando Span(S) = V.

Answer

Cuando S es cerrado bajo la suma.

Answer

Cuando S es finito.

Answer

Cuando S es linealmente independiente.

Question 21

¿Es el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a 3 un espacio vectorial sobre R?

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque la multiplicación por escalar no está bien definida

Answer

No, porque no contiene el vector cero

Answer

No, porque no es cerrado bajo la suma

Question 22

Sea V un espacio vectorial de dimensión n. ¿Cuál es el número máximo de vectores linealmente independientes en V?

Accepted Answer

n

Answer

n + 1

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

n - 1

Question 23

¿Cuál de las siguientes transformaciones es una transformación lineal?

Accepted Answer

f(x) = Ax, donde A es una matriz

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x|

Question 24

¿Es el producto escalar una operación bilineal?

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque no es asociativa.

Answer

No, porque no es distributiva.

Answer

No, porque no es conmutativa.

Question 25

¿Cuál de las siguientes propiedades NO es común a todos los espacios vectoriales?

Accepted Answer

Producto escalar

Answer

Asociatividad de la suma

Answer

Suma de vectores

Answer

Multiplicación escalar

Question 26

Sea V un espacio vectorial de dimensión n. ¿Cuántas bases diferentes tiene V?

Accepted Answer

Infinitas

Answer

n²

Answer

n!

Answer

n

Question 27

Sea S un sistema de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

Accepted Answer

S puede extenderse a una base para V

Answer

El número de vectores en S es igual a la dimensión de V

Answer

S es un subespacio de V

Answer

S es un conjunto finito

Question 28

¿Cuál de las siguientes operaciones NO está definida en todos los espacios vectoriales reales?

Accepted Answer

Producto vectorial

Answer

Suma de vectores

Answer

Multiplicación escalar

Answer

Producto escalar

Question 29

Sea A una matriz de orden mxn. El espacio vectorial asociado a A es:

Accepted Answer

El conjunto de todas las soluciones del sistema de ecuaciones Ax=0

Answer

El conjunto de todas las matrices equivalentes a A

Answer

El conjunto de todas las soluciones del sistema de ecuaciones Ax=b

Answer

El conjunto de todas las soluciones del sistema de ecuaciones A^Tx=0

Question 30

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es suficiente para asegurar que un subconjunto W de un espacio vectorial V sea un subespacio vectorial?

Accepted Answer

W es cerrado bajo suma y multiplicación escalar

Answer

W es un conjunto finito

Answer

W es linealmente dependiente

Answer

W contiene al vector cero

Question 31

Sean los vectores u=(1, 2, 3) y v=(4, 5, 6). ¿Cuál es el producto escalar de u y v?

Accepted Answer

32

Answer

15

Answer

5

Question 32

¿Cuáles de las siguientes condiciones garantizan que un conjunto de vectores en un espacio vectorial sea linealmente independiente?

Accepted Answer

El determinante de la matriz formada por los vectores es distinto de cero

Answer

El número de vectores es igual a la dimensión del espacio vectorial

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

La suma de los vectores es igual al vector cero

Question 33

¿Cuál de las siguientes transformaciones lineales entre espacios vectoriales es siempre un isomorfismo?

Accepted Answer

La transformación identidad

Answer

La transformación inclusión

Answer

La transformación diferenciación

Answer

La transformación proyección

Question 34

Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita sobre el mismo cuerpo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

Si V y W son isomorfos, entonces tienen la misma dimensión

Answer

Si V es un subespacio de W, entonces W es un subespacio de V

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Si V y W tienen la misma dimensión, entonces son isomorfos

Question 35

Sea B={u₁, u₂, u₃} un conjunto de vectores en un espacio vectorial V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es equivalente a decir que B es una base de V?

Accepted Answer

Todo vector en V se puede expresar como una combinación lineal única de los vectores en B

Answer

Los vectores en B son linealmente independientes

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

El número de vectores en B es igual a la dimensión de V

Question 36

¿Cuál de los siguientes conjuntos NO es un espacio vectorial?

Accepted Answer

El conjunto de todas las funciones reales continuas en el intervalo [0, 1]

Answer

El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden 2

Answer

El conjunto de todos los números complejos

Answer

El conjunto de todos los vectores en R³

Question 37

Sea T: V → W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales. ¿Cuál de las siguientes propiedades implica que T es inyectiva?

Accepted Answer

El núcleo de T es trivial (sólo contiene el vector cero)

Answer

T es un isomorfismo

Answer

El rango de T es igual a la dimensión de W

Answer

T es sobreyectiva

Question 38

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores en R² es linealmente independiente?

Accepted Answer

{(1, 2), (3, -1)}

Answer

{(0, 0), (1, 2)}

Answer

{(1, 1), (2, 2)}

Answer

{(1, 0), (0, 0)}

Question 39

Sea S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} un conjunto de vectores en R³. ¿Cuál es la dimensión del subespacio generado por S?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

Infinito

Answer

3

Question 40

Sea B = {(1, 1), (0, 1)} una base para R². ¿Cuáles son las coordenadas del vector (2, 3) con respecto a la base B?

Accepted Answer

(2, 1)

Answer

(3, 2)

Answer

(1, 2)

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Question 41

Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones siempre es verdadera?

Accepted Answer

La intersección de U y W es un subespacio de V.

Answer

Si U y W tienen la misma dimensión, entonces son iguales.

Answer

La suma de U y W es igual a V.

Answer

La unión de U y W es un subespacio de V.

Question 42

Un espacio vectorial tiene dimensión finita si y solo si...

Accepted Answer

Tiene una base con un número finito de vectores.

Answer

Es un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita.

Answer

Todos sus vectores son linealmente independientes.

Answer

Contiene al vector cero.