Aplicaciones de la derivada: Máximos y mínimos de funciones

Question 1

Si la derivada de una función es positiva para todo x, ¿cuál es la naturaleza de la función?

Accepted Answer

Estrictamente creciente.

Answer

Estrictamente decreciente.

Answer

Constante.

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Question 2

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x³ + 2x?

Accepted Answer

3x² + 2

Answer

x² + 2

Answer

x⁴ + 2x

Answer

3x

Question 3

La función f(x) = x⁴ - 2x³ + x² tiene:

Accepted Answer

Un punto de inflexión en x = 0

Answer

Un máximo en x = 0

Answer

Un mínimo en x = 0

Answer

Ninguno de los anteriores.

Question 4

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y = e^x en el punto (0, 1)?

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = x

Answer

y = 2x

Answer

y = x - 1

Question 5

La función f(x) = √(x²) cumple las condiciones para aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [0, 4]. ¿Cuál es el valor de c en el teorema del valor medio?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 6

La derivada de f(x) = (x + 2)³ es:

Accepted Answer

3(x + 2)²

Answer

1 / (x + 2)

Answer

x + 6

Answer

(x + 2)²

Question 7

¿Cuál de las siguientes funciones tiene una gráfica con un punto de inflexión?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x + 2

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sen(x)

Question 8

Una función f(x) tiene una derivada negativa en (a, b). ¿Qué se puede concluir sobre la función?

Accepted Answer

La función es decreciente en (a, b).

Answer

La función es creciente en (a, b).

Answer

La función tiene un máximo absoluto en (a, b).

Question 9

Una función f(x) tiene una derivada cero en x = 1. ¿Qué se puede concluir sobre la función?

Accepted Answer

La función tiene un punto crítico en x = 1.

Answer

La función es creciente en (-∞, 1) y decreciente en (1, ∞).

Answer

La función tiene un máximo absoluto en x = 1.

Answer

La función es cóncava hacia arriba en (-∞, 1) y cóncava hacia abajo en (1, ∞).

Question 10

¿Cuál de las siguientes funciones es diferenciable en todos los números reales?

Accepted Answer

f(x) = x³ + 2x² - 1

Answer

f(x) = sen(1 / x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Question 11

Calcula la derivada de la función f(x) = x³ - 2x² + x.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x + 1

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = x² - 4x + 1

Answer

f'(x) = 3x - 2x² + 1

Question 12

Halla el máximo absoluto de la función g(x) = -x² + 4x + 3 en el intervalo [0, 3].

Accepted Answer

g(2) = 7

Answer

g(0) = 3

Answer

g(3) = 6

Answer

g(1) = 4

Question 13

Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = cos(x) en el punto (π/4, √2/2).

Accepted Answer

y = -x + (π + 2)/4

Answer

y = x - (π + 2)/4

Answer

y = x - √2/2

Question 14

Resuelve la ecuación diferencial y'' + 4y' + 3y = 0.

Accepted Answer

y = c₁e^(-x) + c₂e^(-3x)

Answer

y = c₁e^(x) + c₂e^(-3x)

Answer

y = c₁e^(-x) - c₂e^(-3x)

Question 15

Encuentra la derivada parcial de la función u = f(x, y) = x²y + y³ respecto a x.

Accepted Answer

∂u/∂x = 2xy

Answer

∂u/∂x = 2x + 3y

Answer

∂u/∂x = xy + 3y²

Answer

∂u/∂x = x² + 3y²

Question 16

Encuentra el área de la región limitada por la curva y = 2x y la recta y = x² en el intervalo [0, 1].

Accepted Answer

1/6

Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

1

Question 17

Encuentra el punto máximo de la función f(x) = -x^2 + 6x - 8.

Accepted Answer

(3, 1)

Answer

(-3, 1)

Answer

(0, -8)

Question 18

Calcula la derivada segunda de la función f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

4e^(2x)

Answer

-4e^(2x)

Answer

e^(4x)

Answer

2e^(2x)

Question 19

Identifica el punto donde la función f(x) = |x - 2| no es derivable.

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 0

Answer

x = -2

Answer

x = 4

Question 20

**Precisión mejorada:** Sea la función f(x) = x³ - 3x² + 2. ¿Para qué valor de x alcanza la función un máximo relativo?

Accepted Answer

**Precisión mejorada:** x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Question 21

Una empresa fabrica sillas y las vende a 50 € cada una. El coste de producción de cada silla es de 25 € más 0,50 € por cada silla fabricada. **Claridad mejorada:** ¿Qué número de sillas debe producir y vender la empresa para maximizar sus beneficios?

Accepted Answer

**Precisión mejorada:** 100 sillas

Answer

50 sillas

Answer

**Dificultad ajustada:** 200 sillas

Answer

No hay información suficiente para determinar el número óptimo de sillas

Question 22

Hallar la asíntota **vertical** de la función f(x) = (x² - 1) / (x - 1).

Accepted Answer

x = 1

Answer

y = x + 1

Answer

No tiene asíntotas verticales

Answer

y = 1

Question 23

Sea f(x) = (x - 1)²(x + 2). ¿Cuál es el punto de inflexión de la función?

Accepted Answer

x = -1/2

Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

La función no tiene punto de inflexión

Question 24

Sea f(x) = |x - 2|. ¿En qué punto la función no es derivable?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

La función es derivable en todos los puntos

Answer

x = 0

Question 25

Una partícula se mueve a lo largo del eje x con una velocidad dada por v(t) = t³ - 3t² + 2t. ¿En qué instante alcanza la partícula su velocidad máxima?

Accepted Answer

t = 1

Answer

t = 0

Answer

t = 2

Question 26

Para encontrar el valor máximo de una función diferenciable en un intervalo cerrado, ¿cuál es el primer paso?

Accepted Answer

Encontrar los puntos críticos de la función dentro del intervalo.

Answer

Evaluar la función en los extremos del intervalo.

Answer

Calcular la segunda derivada de la función.

Question 27

La derivada de una función f(x) es f'(x) = (x-2)(x+1). ¿En qué intervalos es f(x) creciente?

Accepted Answer

(-∞, -1) ∪ (2, ∞)

Answer

(-1, 2)

Answer

(-∞, -1)

Answer

(2, ∞)

Question 28

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre los puntos de inflexión de una función f(x)?

Accepted Answer

En un punto de inflexión, la segunda derivada de f(x) es cero o no existe.

Answer

En un punto de inflexión, la primera derivada de f(x) es cero.

Answer

En un punto de inflexión, la función f(x) alcanza un máximo o un mínimo.

Question 29

Si la segunda derivada de una función f(x) es positiva en un intervalo, ¿cómo es la gráfica de f(x) en ese intervalo?

Accepted Answer

Cóncava hacia arriba.

Answer

Creciente.

Answer

Decreciente.

Answer

Cóncava hacia abajo.

Question 30

Dada la función f(x) = x³ - 3x + 2, ¿cuáles son los puntos críticos de f(x)?

Accepted Answer

x = -1, x = 1

Answer

x = -2, x = 1

Answer

x = -1, x = 0

Answer

x = 0, x = 2

Question 31

Una empresa fabrica cajas de cartón cúbicas. Si cada caja debe tener un volumen de 1000 cm³, ¿cuáles son las dimensiones de la caja que minimizan el área de la superficie?

Accepted Answer

10 cm x 10 cm x 10 cm

Answer

8 cm x 12.5 cm x 10 cm

Answer

6 cm x 16.67 cm x 10 cm

Answer

5 cm x 20 cm x 10 cm

Question 32

La función f(x) = x³ - 3x² + 2 tiene un punto crítico en x = 1. ¿Qué tipo de punto crítico es?

Accepted Answer

Máximo local

Answer

Punto de inflexión

Answer

Ninguno de los anteriores

Answer

Mínimo local

Question 33

Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. La altura del proyectil en función del tiempo está dada por la función h(t) = 20t - 5t². ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanza el proyectil?

Accepted Answer

20 m/s

Answer

5 m/s

Answer

10 m/s

Answer

40 m/s

Question 34

La gráfica de la función f(x) = x⁴ - 2x³ tiene un punto de inflexión en x = 1. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto?

Accepted Answer

y = -2x + 3

Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x - 1

Answer

y = -x + 2

Question 35

Una función f(x) es creciente en un intervalo si su derivada es...

Accepted Answer

Positiva

Answer

Igual a cero

Answer

Negativa

Answer

No definida

Question 36

La función f(x) = x² - 4x + 3 tiene un mínimo local en x = 2. ¿Cuál es el valor mínimo local?

Accepted Answer

-1

Answer

3

Answer

1

Question 37

La función f(x) = x³ - 6x² + 9x es cóncava hacia arriba en el intervalo...

Accepted Answer

(2, ∞)

Answer

(0, 2)

Answer

(-∞, 1)

Answer

(-∞, 0)

Question 38

Una empresa produce un producto a un costo marginal de 5 unidades monetarias por unidad. El precio de venta de cada unidad es de 10 unidades monetarias. ¿Cuál es la función de utilidad marginal?

Accepted Answer

U'(x) = 5

Answer

U'(x) = 15

Answer

U'(x) = 10

Answer

U'(x) = -5

Question 39

Si la derivada de una función es igual a cero en un punto, entonces la función en ese punto tiene...

Accepted Answer

Un punto crítico

Answer

Un máximo local

Answer

Un mínimo local

Answer

Un punto de inflexión

Question 40

La función f(x) = x² tiene una tasa de cambio instantánea en x = 2 que es...

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

1

Answer

2