Aplicaciones de la Integral: Cálculo de Áreas y Volúmenes

Question 1

Determina el volumen del sólido formado por la región acotada por las curvas y=x y y=x^2, y las rectas x=0 y x=2 utilizando una integral definida.

Accepted Answer

4/3

Answer

2/3

Answer

6/3

Answer

8/3

Question 2

Calcula la integral de la función f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 sobre el sólido tetraédrico limitado por los planos x=0, y=0, z=0 y x+y+z=1 utilizando una integral triple.

Accepted Answer

1/2

Answer

1/4

Answer

3/4

Answer

1

Question 3

Calcula la fuerza de flotación que actúa sobre un objeto sumergido en un fluido con densidad ρ.

Accepted Answer

ρVg

Answer

Vg

Answer

mg

Answer

ρgV

Question 4

Calcula la cantidad de calor transferido a lo largo de una barra de metal con temperatura T(x) = 100 – 2x entre x = 0 y x = 5.

Accepted Answer

500

Answer

250

Answer

1000

Answer

750

Question 5

Calcula el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas ( y = x ) y ( y = x^3 ) alrededor del eje y.

Accepted Answer

π/30

Answer

π/15

Answer

π/45

Answer

π/60

Question 6

Determina el trabajo realizado por una fuerza constante ( F ) que desplaza un objeto a lo largo de una distancia ( d ).

Accepted Answer

F⋅d

Answer

dF

Answer

F/d

Question 7

Halla la energía potencial de un resorte con constante elástica ( k ) estirado una distancia ( x ).

Accepted Answer

1/2 kx^2

Answer

k/2 x^2

Answer

kx^2

Answer

1/2 x^2/k

Question 8

Determina la integral que representa el área bajo la curva de la función f(x) = x^2 entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

∫[0,2] x^2 dx

Answer

∫[2,0] x^2 dx

Answer

∫[0,2] 2x dx

Answer

∫[2,0] 2x dx

Question 9

Calcula la integral que representa la longitud de arco de la curva y = x^3/3 + 1, entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

∫[0,2] √(1 + (x^2)^2) dx

Answer

∫[2,0] x^3/3 dx

Answer

∫[0,2] x^3/3 dx

Answer

∫[2,0] √(1 + (x^2)^2) dx

Question 10

¿Qué representa la integral ∫[0,1] e^(x^2) dx?

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) = e^(x^2) entre x = 0 y x = 1

Answer

El volumen de revolución generado al girar la región limitada por y = e^(x^2) y y = 0, entre x = 0 y x = 1, alrededor del eje x

Answer

La longitud de arco de la curva y = e^(x^2) entre x = 0 y x = 1

Question 11

Se dispone de una barra de longitud L y densidad variable ρ(x). Su densidad es modelada por la función ρ(x) = kx^2, donde k es una constante. Determina la integral que representa la masa total de la barra.

Accepted Answer

∫[0,L] kx^2 dx

Answer

∫[0,L] k dx

Answer

∫[L,0] k dx

Answer

∫[L,0] kx^2 dx

Question 12

El caudal de un río es modelado por la función Q(t) = 100 + 50sen(πt/6), donde t representa el tiempo en horas. Calcula la integral que representa el volumen total de agua que fluye por el río en las primeras 6 horas.

Accepted Answer

∫[0,6] (100 + 50sen(πt/6)) dt

Answer

∫[0,6] 100 dt

Answer

∫[6,0] 100 dt

Answer

∫[6,0] (100 + 50sen(πt/6)) dt

Question 13

Determina el intervalo en el que debe integrarse la función f(x) = x + 1 para calcular el área de la región limitada por dicha función y el eje x, entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

[0,2]

Answer

[-2,0]

Answer

[2,0]

Answer

[-2,2]

Question 14

Supongamos que f(x) es una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. ¿Qué afirmación es verdadera sobre la integral ∫[a,b] f(x) dx?

Accepted Answer

Representa el área bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b

Answer

Representa el volumen generado al girar la región bajo la curva de f(x) alrededor del eje x

Answer

Representa la longitud de arco de la curva f(x) entre x = a y x = b

Question 15

Considerando que F(x) es una primitiva de la función f(x) = sen(x) + cos(x), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Accepted Answer

F'(x) = sen(x) + cos(x)

Answer

F'(x) = sen(x) - cos(x)

Answer

F(x) = sen(x) - cos(x)

Answer

F''(x) = sen(x) + cos(x)

Question 16

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área bajo la curva y = x³ entre los puntos x = 0 y x = 2?

Accepted Answer

∫[0,2] x³ dx

Answer

∫[2,0] (x³ + 1) dx

Answer

∫[2,0] x³ dx

Answer

∫[0,2] 2x³ dx

Question 17

¿Cuál es la cantidad de agua que fluye a través de una compuerta rectangular con ancho de 4 metros y una altura variable h(t) = 2t + 1 metros durante 5 segundos?

Accepted Answer

∫[0,5] 4(2t + 1) dt

Answer

∫[5,0] 4(2t - 1) dt

Answer

∫[5,0] 4(2t + 1) dt

Answer

∫[0,5] 4(2t - 1) dt

Question 18

¿Cuál es la población de conejos después de 10 años si la población inicial es de 100 conejos y crece a una tasa de r(t) = 0,2t conejos/año?

Accepted Answer

100 + ∫[0,10] 0,2t dt

Answer

100 - ∫[10,0] 0,2t dt

Answer

100 + ∫[10,0] 0,2t dt

Answer

100 - ∫[0,10] 0,2t dt

Question 19

¿Cuál es el área de la región acotada por la curva y=x^2-1 y el eje x en el intervalo [0,2]?

Accepted Answer

8/3

Answer

1

Answer

2

Answer

5

Question 20

Un depósito tiene la forma de un cono invertido con radio de base de 5 metros y altura de 10 metros. ¿Cuál es el volumen del depósito?

Accepted Answer

196.35

Answer

250

Answer

100

Answer

392.7

Question 21

¿Cuál es el momento de inercia de un disco delgado de radio R y masa M respecto a un eje perpendicular al disco que pasa por su centro?

Accepted Answer

1/2 MR^2

Answer

1/4 MR^2

Answer

MR^2

Answer

2 MR^2

Question 22

Calcula el área de la región delimitada por las curvas  *y* = *x*²  y  *y* = 2*x*. ¿Qué integral representa correctamente esta área?

Accepted Answer

∫(2*x - *x*²) *dx* desde *x* = 0 hasta *x* = 2

Answer

∫(*x*² - 2*x) *dx* desde *x* = 0 hasta *x* = 2

Answer

∫(2*x) *dx* desde *x* = 0 hasta *x* = 2

Answer

∫(*x*²) *dx* desde *x* = 0 hasta *x* = 2

Question 23

Una función de densidad de probabilidad está definida por *f*(*x*) = *k* *x*² en el intervalo [0, 2]. Encuentra el valor de la constante *k* para que *f*(*x*) sea una función de densidad de probabilidad válida.

Accepted Answer

3/8

Answer

1/2

Answer

2

Answer

1

Question 24

La región delimitada por la curva *y* = √*x*, el eje *x* y la línea *x* = 4 se gira alrededor del eje *x*. ¿Cuál es el volumen del sólido de revolución generado?

Accepted Answer

32π/3 unidades cúbicas

Answer

8π unidades cúbicas

Answer

16π/3 unidades cúbicas

Answer

4π unidades cúbicas

Question 25

Calcula la longitud de la curva *y* = *x*^(3/2) desde *x* = 0 hasta *x* = 1. ¿Qué integral representa la longitud de la curva?

Accepted Answer

∫√(1 + 9*x/4) *dx* desde *x* = 0 hasta *x* = 1

Answer

∫√(1 + 3*x/2) *dx* desde *x* = 0 hasta *x* = 1

Answer

∫(1 + 9*x/4) *dx* desde *x* = 0 hasta *x* = 1

Answer

∫√(1 + 9*x²/4) *dx* desde *x* = 0 hasta *x* = 1

Question 26

Una fuerza variable *F*(*x*) = 2*x* Newtons actúa sobre un objeto que se desplaza desde *x* = 1 metro hasta *x* = 3 metros. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza?

Accepted Answer

8 Joules

Answer

4 Joules

Answer

6 Joules

Answer

12 Joules

Question 27

Determina el valor promedio de la función *f*(*x*) = 4 - *x*² en el intervalo [-2, 2].

Accepted Answer

8/3

Answer

4/3

Answer

4

Answer

2

Question 28

El volumen de un sólido está dado por la integral ∫π(4 - *x*²)² *dx* desde *x* = -2 hasta *x* = 2. ¿Qué sólido representa esta integral?

Accepted Answer

El sólido generado al rotar la región delimitada por la curva *y* = √(4 - *x*²), el eje *x*, *x* = -2 y *x* = 2 alrededor del eje *x*.

Answer

El sólido generado al rotar la región delimitada por la curva *y* = 4 - *x*², el eje *x*, *x* = -2 y *x* = 2 alrededor del eje *x*.

Question 29

Una piscina se está llenando a una tasa de *t*² + 2*t* litros por minuto, donde *t* es el tiempo en minutos. ¿Cuántos litros de agua entran en la piscina durante los primeros 3 minutos?

Accepted Answer

18 litros

Answer

27 litros

Answer

36 litros

Answer

9 litros

Question 30

Una varilla tiene una densidad variable. Su densidad lineal en un punto *x* metros desde un extremo está dada por ρ(*x*) = 2 + *x* kg/m. Si la varilla mide 2 metros de largo, ¿cuál es su masa total?

Accepted Answer

8 kg

Answer

10 kg

Answer

6 kg

Answer

4 kg

Question 31

Calcula el área de la región delimitada por la curva *r* = 2*cos*(θ)* en coordenadas polares. ¿Qué integral representa correctamente el área?

Accepted Answer

(1/2)∫(2*cos*(θ*))² *d*θ desde θ = 0 hasta θ = π

Answer

∫(2*cos*(θ*)) *d*θ desde θ = 0 hasta θ = 2π

Answer

∫(2*cos*(θ*)) *d*θ desde θ = 0 hasta θ = π

Answer

(1/2)∫(2*cos*(θ*))² *d*θ desde θ = 0 hasta θ = 2π

Question 32

Se desea calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva y = √x, el eje x, y la recta x = 4 alrededor del eje x. ¿Cuál es la integral que representa este volumen?

Accepted Answer

∫[0,4] π(√x)² dx

Answer

∫[0,4] 2πx√x dx

Answer

∫[0,4] πx dx

Answer

∫[0,4] 2π√x dx

Question 33

Un tanque de agua tiene la forma de un cilindro circular recto con radio de 2 metros y altura de 5 metros. Si el tanque está lleno de agua hasta una altura de 3 metros, ¿cuál es el volumen del agua en el tanque?

Accepted Answer

12π metros cúbicos

Answer

6π metros cúbicos

Answer

20π metros cúbicos

Question 34

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre la integral definida ∫[a,b] f(x) dx?

Accepted Answer

Representa el área neta entre la gráfica de f(x) y el eje x, desde x = a hasta x = b.

Answer

Representa el valor de f(x) en el punto medio del intervalo [a, b].

Answer

Representa el área total entre la gráfica de f(x) y el eje x, desde x = a hasta x = b.

Question 35

La curva y = x³ - 3x² + 2x corta al eje x en los puntos x = 0, x = 1 y x = 2. ¿Cuál es el área de la región limitada por la curva y el eje x entre x = 0 y x = 2?

Accepted Answer

1 unidad cuadrada

Answer

3 unidades cuadradas

Answer

2 unidades cuadradas

Answer

4 unidades cuadradas

Question 36

Se quiere calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas y = x² y y = 2x alrededor del eje y. ¿Cuál es la integral que representa este volumen?

Accepted Answer

∫[0,2] π(2x - x²)² dx

Answer

∫[0,2] π(x² - 2x)² dx

Answer

∫[0,2] 2πx(2x - x²) dx

Question 37

Una empresa fabrica cajas de cartón con forma de cubo. Si el lado del cubo mide x cm, ¿cuál es la integral que representa el volumen de la caja?

Accepted Answer

∫[0,x] x² dx

Answer

∫[0,x] 3x dx

Answer

∫[0,x] 2x dx

Answer

∫[0,x] x³ dx

Question 38

La integral definida ∫[0,π/2] sin(x) dx representa:

Accepted Answer

El área bajo la gráfica de la función seno desde x = 0 hasta x = π/2

Answer

El valor máximo de la función seno en el intervalo [0, π/2]

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función seno en x = π/2

Question 39

¿Cuál es el área de la región limitada por la curva y = e^x, el eje x, y las rectas x = 0 y x = 1?

Accepted Answer

(e - 1) unidades cuadradas

Answer

e unidades cuadradas

Answer

e² unidades cuadradas

Answer

2e unidades cuadradas

Question 40

Se rota la región limitada por la curva y = ln(x), el eje x, y la recta x = e alrededor del eje x para generar un sólido. ¿Cuál es el volumen de este sólido?

Accepted Answer

π(e - 1) unidades cúbicas

Answer

π(e + 1) unidades cúbicas

Answer

π(e² - 1) unidades cúbicas

Answer

π(e² + 1) unidades cúbicas