Aplicaciones de las Derivadas: Máximos, Mínimos y Curvatura

Question 1

La derivada de la función f(x) = e^(sen(x)) es:

Accepted Answer

e^(sen(x)) * cos(x)

Answer

cos(x) * e^(sen(x))

Answer

sen(x) * e^(cos(x))

Answer

e^(sen(x)) * sen(x)

Question 2

¿Cuál de los siguientes puntos no es un punto crítico de la función f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Question 3

Sea f(x) = e^(x²). ¿Cuál de las siguientes expresiones es la derivada de f(x)?

Accepted Answer

2xe^(x²)

Answer

x² * e^(x²)

Answer

e^(x²)

Answer

(1/2) * e^(x²)

Question 4

Sea f(x) = sen(x) + cos(x). ¿Cuál es el máximo absoluto de f(x) en el intervalo [0, π/2]?

Accepted Answer

√2

Answer

0

Answer

1

Answer

π/4

Question 5

La función f(x) tiene una derivada f'(x) que es siempre positiva. ¿Qué afirmación es verdadera sobre f(x)?

Accepted Answer

La función es estrictamente creciente.

Answer

La función no es monótona.

Answer

La función es constante.

Answer

La función es estrictamente decreciente.

Question 6

Sea f(x) = ln(x² + 1). ¿Cuál es la derivada de f(x)?

Accepted Answer

(2x) / (x² + 1)

Answer

ln(x² + 1)

Answer

1 / (x² + 1)

Answer

x² / (x² + 1)

Question 7

Sea una función f(x) con derivada positiva en el intervalo (a,b) y derivada negativa en el intervalo (b,c). ¿Qué se puede concluir sobre la gráfica de f(x) en esos intervalos?

Accepted Answer

Creciente en (a,b) y decreciente en (b,c)

Answer

Decreciente en (a,b) y creciente en (b,c)

Answer

Constante en (a,b) y decreciente en (b,c)

Answer

Creciente en (a,b) y constante en (b,c)

Question 8

Determina el intervalo donde la función f(x) = x⁴ - 2x² + 1 es cóncava hacia abajo.

Accepted Answer

(0, 2/√3)

Answer

(2/√3, ∞)

Answer

(-∞, 0)

Answer

(0, ∞)

Question 9

Determina si la función f(x) = x³ + 3x² - 5x + 1 es creciente o decreciente en el intervalo (1, 3).

Accepted Answer

Creciente

Answer

Constante

Answer

No se puede determinar

Answer

Decreciente

Question 10

Encuentra la derivada de la función implícita definida por la ecuación xy + sen(y) = x².

Accepted Answer

y' = (y - x*cos(y))/(x - x^2*cos(y))

Answer

y' = (x - y*cos(y))/(x + x^2*cos(y))

Answer

y' = (x - x^2*cos(y))/(y - y*cos(y))

Answer

y' = (y + x*cos(y))/(x + x^2*cos(y))

Question 11

Determina la derivada de la función f(x) = tan(x² + 2x + 1) usando la regla de la cadena.

Accepted Answer

f'(x) = 2(x+1)sec²(x² + 2x + 1)

Answer

f'(x) = x*sec²(x² + 2x + 1)

Answer

f'(x) = sec²(x² + 2x + 1)

Question 12

La función f(x) = x³ - 3x² + 2 tiene un punto de inflexión en x = ...

Accepted Answer

x = 1

Answer

No tiene puntos de inflexión

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Question 13

Para optimizar el área de un rectángulo con perímetro 20, ¿cuál es la ecuación que se debe maximizar?

Accepted Answer

A = x(10 - x)

Answer

A = 2x + 2y

Answer

A = xy

Answer

A = x²

Question 14

Una empresa fabrica un producto cuyo costo de producción está dado por C(x) = 100 + 5x. Si la función de ingreso está dada por R(x) = 20x - x², ¿cuál es el nivel de producción que maximiza la utilidad?

Accepted Answer

x = 5

Answer

x = 10

Answer

x = 1

Answer

x = 2

Question 15

La derivada de la función f(x) = ln(x²) es...

Accepted Answer

f'(x) = 2/x

Answer

f'(x) = ln(2x)

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = 1/x

Question 16

Si la función f(x) es creciente en el intervalo (a, b), entonces...

Accepted Answer

f'(x) > 0 para todo x en (a, b)

Answer

f'(x) = 0 para todo x en (a, b)

Answer

No se puede determinar

Answer

f'(x) < 0 para todo x en (a, b)

Question 17

La función f(x) = x² - 4x + 3 tiene un mínimo absoluto en el intervalo [0, 3] en el punto...

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 3

Answer

x = 0

Answer

x = 1

Question 18

Una empresa fabrica un producto con un costo de producción dado por la función C(x) = x^2 + 10x + 25 euros, donde x representa el número de unidades producidas. ¿Cuál es el nivel de producción que minimiza el costo promedio por unidad?

Accepted Answer

x = 5

Answer

x = 10

Answer

x = 25

Answer

No existe un nivel de producción que minimice el costo promedio

Question 19

La gráfica de la función f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 es:

Accepted Answer

Convexa en los intervalos (-∞, -1) y (1, ∞), y cóncava en el intervalo (-1, 1)

Answer

Cóncava en los intervalos (-∞, -1) y (1, ∞), y convexa en el intervalo (-1, 1)

Answer

Convexa en los intervalos (-∞, 0) y (0, ∞)

Answer

Cóncava en los intervalos (-∞, 0) y (0, ∞)

Question 20

Si la derivada de la función f(x) es f'(x) = (x-2)^2(x+1), ¿en qué intervalo(s) la función f(x) es creciente?

Accepted Answer

(-∞, -1) y (2, ∞)

Answer

(-1, 2)

Answer

(-∞, 2)

Answer

(-1, ∞)

Question 21

Un objeto se mueve con una velocidad dada por la función v(t) = 2t^2 - 4t + 1 m/s. ¿Cuál es la aceleración del objeto en el instante t = 2 segundos?

Accepted Answer

4 m/s^2

Answer

2 m/s^2

Answer

-4 m/s^2

Answer

-2 m/s^2

Question 22

La función f(x) = e^x tiene un punto de inflexión en:

Accepted Answer

Ninguno

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Question 23

Si la derivada de una función f(x) es f'(x) = cos(x), ¿cuál es la función f(x)?

Accepted Answer

f(x) = sin(x) + C

Answer

f(x) = -cos(x) + C

Answer

f(x) = -sin(x) + C

Answer

f(x) = cos(x) + C

Question 24

Una función f(x) es convexa en un intervalo si su segunda derivada es:

Accepted Answer

Positiva

Answer

Negativa

Answer

Igual a cero

Question 25

Un fabricante de automóviles necesita minimizar el costo de producción de un nuevo modelo. Si el costo de producción está dado por la función C(x) = x^3 - 12x^2 + 45x, donde x es el número de automóviles producidos, ¿cuántos automóviles debe producir para minimizar el costo?

Accepted Answer

x = 4

Answer

x = 8

Answer

x = 6

Answer

x = 2

Question 26

Una función f(x) tiene un punto crítico en x = 2. Para determinar si este punto es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, ¿qué información adicional se necesita?

Accepted Answer

El signo de la segunda derivada de f(x) en x = 2.

Answer

El valor de f(x) en x = 2.

Answer

El valor de la primera derivada de f(x) en x = 2.

Question 27

Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. La altura de la pelota en función del tiempo se describe por la ecuación h(t) = -5t^2 + 10t. ¿En qué momento alcanza la pelota su altura máxima?

Accepted Answer

1 segundo

Answer

La pelota nunca alcanza su altura máxima.

Answer

2 segundos

Answer

0.5 segundos

Question 28

La función f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5 posee un punto crítico en x = -3. ¿Cuál es la naturaleza de este punto crítico?

Accepted Answer

Máximo local

Answer

Punto de inflexión

Answer

Mínimo local

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Question 29

Se dispone de 100 cm^2 de material para fabricar un recipiente rectangular sin tapa con base cuadrada. ¿Qué dimensiones maximizarán el volumen del recipiente?

Accepted Answer

Base: 5 cm x 5 cm, Altura: 4 cm

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Answer

Base: 4 cm x 4 cm, Altura: 6.25 cm

Answer

Base: 10 cm x 10 cm, Altura: 1 cm

Question 30

La empresa produce x unidades de un artículo con un costo marginal de C'(x) = 3x^2 - 12x + 10. Si producir 2 unidades cuesta 20 euros, ¿cuál es el costo total de producir 5 unidades?

Accepted Answer

85 euros

Answer

105 euros

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Answer

65 euros

Question 31

La función f(x) tiene un punto crítico en x = 2. Si f'(x) < 0 para x < 2 y f'(x) > 0 para x > 2, ¿qué tipo de punto crítico es x = 2?

Accepted Answer

Mínimo local

Answer

Punto de inflexión

Answer

Máximo local

Answer

Ninguno

Question 32

La función f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 tiene un punto de inflexión en x = ...

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

0

Answer

2

Question 33

La función f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 es cóncava hacia arriba en el intervalo...

Accepted Answer

(1, ∞)

Answer

(-∞, 1)

Answer

(-∞, 0)

Answer

(0, ∞)

Question 34

Para maximizar el área de un rectángulo con un perímetro fijo, ¿qué forma debe tener?

Accepted Answer

Cuadrado

Answer

Rectángulo con base doble que la altura

Answer

No importa la forma

Answer

Rectángulo con altura doble que la base

Question 35

Un objeto se mueve según la función s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t. ¿Cuál es su velocidad máxima?

Accepted Answer

3

Answer

0

Answer

6

Answer

9

Question 36

La función f(x) tiene una derivada f'(x) = 2x - 4. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (2, 1)?

Accepted Answer

y = 2x - 3

Answer

y = x - 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = 2x + 3

Question 37

Si f(x) = x^2 - 4x + 3 presenta un punto de inflexión en x = 2, ¿cuál es el valor de la segunda derivada de f(x) en x = 2?

Accepted Answer

0

Answer

4

Answer

2

Answer

-2

Question 38

La función f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x es creciente en el intervalo...

Accepted Answer

(1, 3)

Answer

(0, 1)

Answer

(-∞, 0)

Answer

(3, ∞)

Question 39

Un fabricante de cajas quiere construir una caja abierta de volumen máximo a partir de una lámina cuadrada de metal de 10 cm de lado. ¿Cuál es la altura de la caja que maximiza el volumen?

Accepted Answer

10/3 cm

Answer

2 cm

Answer

5 cm

Answer

1 cm

Question 40

La función f(x) = ln(x) es cóncava hacia abajo en el intervalo...

Accepted Answer

(0, ∞)

Answer

(0, 1)

Answer

(1, ∞)

Answer

(-∞, 0)