Aplicaciones de las Integrales: Cálculo de Áreas, Volúmenes y Longitudes

Question 1

Calcula la superficie total de un cilindro de altura 5m y radio de la base 2m.

Accepted Answer

20π m²

Answer

30π m²

Answer

10π m²

Answer

40π m²

Question 2

Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por las curvas y = x² e y = 2x alrededor del eje x.

Accepted Answer

16π/5

Answer

64π/5

Answer

8π/5

Answer

32π/5

Question 3

Calcula el momento de inercia respecto al eje x del área limitada por la curva y = x³ y el eje x, entre los puntos x = 0 y x = 1.

Accepted Answer

1/4

Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

1

Question 4

Calcula la fuerza de fricción entre dos superficies en contacto, donde la fuerza de fricción está dada por F(x) = μN, siendo N la fuerza normal entre las superficies.

Accepted Answer

μN

Answer

Nμ

Answer

N/μ

Answer

μ/N

Question 5

Determina la energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra.

Accepted Answer

mgh

Answer

mgh/2

Answer

2mgh

Answer

mgh²

Question 6

Calcula la longitud del arco de la curva y = x³/3 + 1/(4x) entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

3,68

Answer

4,12

Answer

3,24

Answer

2,58

Question 7

Determina la presión media sobre una placa rectangular sumergida verticalmente en un líquido de densidad constante ρ, con ancho w y profundidad h.

Accepted Answer

ρgh/2

Answer

ρgh

Answer

ρgh/4

Answer

ρg/2h

Question 8

Calcula el área de la región encerrada por la curva y = x² + 1 y el eje x entre x = 0 y x = 2.

Accepted Answer

14/3

Answer

8/3

Answer

16/3

Answer

10/3

Question 9

Determina el centro de masa de la región limitada por las curvas y = x² y y = 4.

Accepted Answer

(0, 16/5)

Answer

(0, 32/5)

Answer

(0, 24/5)

Answer

(0, 8/5)

Question 10

Determina el flujo de calor a través de una barra conductora de longitud L cuyos extremos se mantienen a temperaturas T1 y T2.

Accepted Answer

kA(T2 - T1)/L

Answer

kA(T1 + T2)/2L

Answer

2kA(T2 - T1)/2L

Answer

2kA(T1 + T2)/L

Question 11

Calcula la ecuación diferencial ordinaria que satisface la curva y = C exp(x), donde C es una constante.

Accepted Answer

y' - y = 0

Answer

y'' - y = 0

Answer

y' + y = 0

Answer

y'' + y = 0

Question 12

Determina la transformada de Laplace de la función f(t) = t^2 * exp(-t).

Accepted Answer

2/(s+1)^3

Answer

2/(s-1)^3

Answer

1/(s+1)^3

Answer

1/(s-1)^3

Question 13

¿Cuál es el área de la región limitada por la curva y = x^2, el eje x, y las rectas verticales x = 0 y x = 2?

Accepted Answer

∫(0, 2) x^2 dx

Answer

∫(0, 4) x^2 dx

Answer

∫(0, 4) 2x dx

Answer

∫(0, 2) 2x dx

Question 14

Una función f(x) es continua en el intervalo [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la gráfica de f(x), el eje x, y las rectas verticales x = a y x = b alrededor del eje x se calcula mediante la fórmula:

Accepted Answer

π∫(a, b) [f(x)]^2 dx

Answer

2π∫(a, b) [f(x)]^2 dx

Answer

2π∫(a, b) f(x) dx

Answer

π∫(a, b) f(x) dx

Question 15

La longitud de arco de la curva y = f(x) desde x = a hasta x = b se calcula mediante la fórmula:

Accepted Answer

∫(a, b) √(1 + [f'(x)]^2) dx

Answer

∫(a, b) √(1 + [f(x)]^2) dx

Answer

∫(a, b) √(1 + [f''(x)]^2) dx

Question 16

Un tanque de agua tiene la forma de un cilindro circular recto con un radio de 2 metros y una altura de 5 metros. El tanque está lleno de agua hasta una profundidad de 3 metros. ¿Cuál es el volumen de agua en el tanque?

Accepted Answer

π(2^2)(3)

Answer

π(3^2)(3)

Answer

π(2^2)(5)

Answer

π(3^2)(5)

Question 17

Se necesita calcular el trabajo realizado para mover un objeto desde una posición inicial x = a hasta una posición final x = b bajo la influencia de una fuerza F(x). ¿Qué integral se utiliza para calcular el trabajo?

Accepted Answer

∫(a, b) F(x) dx

Answer

∫(a, b) F(x) / x dx

Answer

∫(a, b) ∫(a, b) F(x) dx

Answer

∫(a, b) F'(x) dx

Question 18

La integral ∫(0, 1) x^2 dx representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva y = x^2 desde x = 0 hasta x = 1.

Answer

La longitud de arco de la curva y = x^2 desde x = 0 hasta x = 1.

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la gráfica de y = x^2, el eje x, y las rectas verticales x = 0 y x = 1 alrededor del eje x.

Question 19

Si una función f(x) es impar, ¿qué podemos afirmar sobre la integral ∫(-a, a) f(x) dx?

Accepted Answer

La integral es igual a 0.

Answer

La integral es igual a ∫(0, a) f(x) dx.

Answer

No se puede determinar el valor de la integral sin más información.

Answer

La integral es igual a 2∫(0, a) f(x) dx.

Question 20

La integral ∫(a, b) f'(x) dx representa:

Accepted Answer

El cambio neto de la función f(x) desde x = a hasta x = b, lo que equivale a f(b) - f(a).

Answer

El área bajo la curva y = f'(x) desde x = a hasta x = b.

Answer

La derivada de la función f(x) en x = b.

Question 21

Un sistema de aprendizaje automático utiliza una función de costo para evaluar el rendimiento de un modelo. La función de costo es una integral definida que representa la diferencia entre las predicciones del modelo y los valores reales. ¿Qué método se utiliza comúnmente para encontrar los parámetros del modelo que minimizan la función de costo?

Accepted Answer

Descenso de gradiente, que implica utilizar la derivada de la función de costo para actualizar iterativamente los parámetros del modelo.

Answer

Método de bisección, que divide el intervalo de búsqueda por la mitad para encontrar la raíz de la función de costo.

Answer

Método de Newton-Raphson, que utiliza la derivada segunda de la función de costo para acelerar la convergencia.

Question 22

¿Cuál es el área de la región limitada por las curvas y = x² e y = 2x - x²?

Accepted Answer

1/3 unidades cuadradas, calculada como la diferencia entre las áreas bajo las dos curvas.

Answer

2/3 unidades cuadradas

Answer

1/2 unidades cuadradas

Answer

1 unidad cuadrada

Question 23

Una variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad dada por f(x) = 2x para 0 ≤ x ≤ 1, y f(x) = 0 en cualquier otro lugar. ¿Cuál es el valor esperado de X?

Accepted Answer

2/3, calculado como la integral de x * f(x) sobre el dominio de f(x).

Answer

1/2

Answer

3/2

Answer

1

Question 24

La longitud de una curva parametrizada por x = t² y y = t³, para 0 ≤ t ≤ 1, se puede calcular usando cuál integral?

Accepted Answer

∫₀¹ √(4t² + 9t⁴) dt, que representa la integral del elemento de longitud.

Answer

∫₀¹ (2t + 3t²) dt

Answer

∫₀¹ √(1 + 9t⁴) dt

Answer

∫₀¹ √(1 + 4t²) dt

Question 25

Calcula la integral definida ∫₀π/2 (x * sen(x)) dx.

Accepted Answer

1, calculada usando la integración por partes con u = x y dv = sen(x) dx.

Answer

0

Answer

π/2

Answer

-1

Question 26

Un resorte tiene una constante de resorte de 20 N/m. ¿Cuánto trabajo se requiere para estirar el resorte 0.1 metros desde su longitud natural?

Accepted Answer

0.1 J, calculado como la integral de la fuerza del resorte sobre la distancia.

Answer

0.2 J

Answer

2 J

Answer

1 J

Question 27

Calcula el área de la región limitada por las curvas **y = x(^2)** e **y = 2x + 1**.

Accepted Answer

1/6

Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

1

Question 28

Calcula el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las curvas **y = x** e **y = x(^2)** alrededor del eje **x**.

Accepted Answer

π/15

Answer

2π/15

Answer

π/5

Answer

π/10

Question 29

Calcula la longitud de la curva **y = sen(x)** en el intervalo **[0, π]**.

Accepted Answer

2

Answer

π

Answer

4

Answer

1

Question 30

Calcula el trabajo realizado por una fuerza constante de 10 Newtons en el desplazamiento de un cuerpo a lo largo de una distancia de 5 metros.

Accepted Answer

50 Julios

Answer

15 Julios

Answer

25 Julios

Answer

10 Julios

Question 31

Calcula el momento de inercia de una barra delgada de longitud **L** y masa **M** con respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa por su punto medio.

Accepted Answer

ML(^2)/12

Answer

ML(^2)/4

Answer

ML(^2)/6

Answer

ML(^2)/2

Question 32

Calcula la presión hidrostática sobre una compuerta rectangular de altura **h** sumergida verticalmente en un fluido de densidad **ρ**.

Accepted Answer

ρgh

Answer

ρg/h

Answer

ρh/g

Answer

gh/ρ

Question 33

Calcula la cantidad de líquido que sale de un recipiente a través de un pequeño orificio en el fondo con forma de círculo de radio **r** en una unidad de tiempo.

Accepted Answer

πr(^2)√(2gh)

Answer

πr√(2gh)

Answer

2πr(^2)gh

Answer

πr(^3)√(2gh)

Question 34

Calcula el centro de masa de una placa rectangular de densidad uniforme **ρ** y dimensiones **a** y **b**.

Accepted Answer

(a/2, b/2)

Answer

(a/2, b/4)

Answer

(0, 0)

Answer

(a/4, b/2)

Question 35

Calcula el momento de inercia de una esfera sólida de radio **R** y densidad **ρ** con respecto a un eje que pasa por su centro.

Accepted Answer

(2/5)MR(^2)

Answer

(3/5)MR(^2)

Answer

(1/5)MR(^2)

Answer

(4/5)MR(^2)

Question 36

Calcula el área de la superficie de un cono circular recto de radio **R** y altura **h**.

Accepted Answer

πR(R + h)

Answer

2πRh

Answer

πR(^2)(R + h)

Answer

πRh