Continuidad de Funciones: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

Si f(x) es continua en [a, b], entonces la integral ∫[a, b] f(x) dx:

Accepted Answer

Existe y es un número finito

Answer

Puede ser infinita

Answer

No existe

Question 2

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre continuidad es FALSA?

Accepted Answer

Toda función continua es derivable.

Answer

La composición de funciones continuas es continua.

Answer

La continuidad en un punto no implica continuidad en todo el dominio.

Answer

La suma de funciones continuas es continua.

Question 3

Sea f(x) una función continua en [a, b]. Si f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces, según el Teorema del Valor Intermedio:

Accepted Answer

Existe c en (a, b) tal que f(c) = 0

Answer

No se puede hacer ninguna conclusión

Answer

f(x) es constante en [a, b]

Answer

f(x) es estrictamente creciente en [a, b]

Question 4

La continuidad de una función implica:

Accepted Answer

Que sus límites laterales en cada punto son iguales

Answer

Que su primera derivada existe en cada punto

Answer

Que su gráfica es una línea recta

Question 5

Sea f(x) continua en [a, b]. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

La gráfica de f(x) en [a, b] es una curva continua sin saltos ni interrupciones.

Answer

f(x) toma todos los valores reales en [a, b]

Answer

f(x) es diferenciable en todo [a, b]

Question 6

¿Cuál es la condición necesaria para que una función sea continua en un punto?

Accepted Answer

El límite de la función en ese punto debe existir y ser igual al valor de la función en ese punto

Answer

La función debe ser diferenciable en un intervalo abierto que contenga ese punto

Answer

La función debe tener derivada en ese punto

Question 7

¿Qué teorema establece que la suma de dos funciones continuas es continua?

Accepted Answer

Teorema de la suma

Answer

Teorema del valor intermedio

Answer

Teorema del producto

Answer

Teorema del cociente

Question 8

¿Qué tipo de gráfica corresponde a una función continua?

Accepted Answer

Una gráfica sin saltos ni discontinuidades

Answer

Una gráfica con un punto de inflexión

Answer

Una gráfica con un máximo absoluto

Answer

Una gráfica con una asíntota vertical

Question 9

¿Qué criterio se utiliza para determinar si una función continua en un intervalo cerrado es integrable en ese intervalo?

Accepted Answer

Criterio de integrabilidad de Riemann

Answer

Criterio de derivación bajo el signo integral

Answer

Criterio de integrabilidad de Lebesgue

Answer

Criterio de convergencia uniforme

Question 10

¿Qué afirma el Teorema del Valor Intermedio para una función continua en un intervalo cerrado?

Accepted Answer

Toma todos los valores intermedios entre sus valores mínimo y máximo

Answer

Tiene una asíntota vertical

Answer

Es estrictamente monótona

Question 11

¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función f(x) = |x| en x = 0?

Accepted Answer

Discontinuidad de salto

Answer

Discontinuidad esencial

Answer

Discontinuidad removible

Question 12

Sea f(x) una función definida en R. Según la definición de continuidad, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta si f es continua en x = a?

Accepted Answer

lim(x->a) f(x) = f(a)

Answer

f(x) es integrable en [a, b] para algún intervalo [a, b] que contiene a.

Answer

f(x) es diferenciable en x = a

Question 13

Determina si la función f(x) = (x + 2) / (x - 1) es continua en x = 1.

Accepted Answer

No es continua

Answer

Es continua

Answer

Es continua por la derecha

Answer

Es continua por la izquierda

Question 14

La función f(x) = sin(x) es continua en:

Accepted Answer

Todos los números reales

Answer

Sólo en los números racionales

Answer

Sólo en los números irracionales

Answer

En ningún número real

Question 15

Determina si la función f(x) = x^2 es uniformemente continua en [0, 1].

Accepted Answer

Sí, es uniformemente continua

Answer

No, no es uniformemente continua

Answer

Es uniformemente continua sólo para ε > 1

Answer

Es uniformemente continua sólo para δ < 1

Question 16

El teorema del valor medio establece que si f(x) es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), entonces existe un c ∈ (a, b) tal que:

Accepted Answer

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Answer

f'(c) = (f(b) - f(a)) / 2

Answer

f(c) = (f(b) + f(a)) / 2

Answer

f(c) = f(a) + f'(c) * (b - a)

Question 17

Sea f(x) una función definida en R. ¿Cuál(es) de las siguientes condiciones es(son) suficiente(s) para que f(x) sea continua en R?

Accepted Answer

f(x) es continua en cada punto de R

Answer

f(x) es diferenciable en cada punto de R

Answer

f(x) es acotada en R

Answer

f(x) es integrable en R

Question 18

Sea f(x) una función continua. Si lim(x->a) g(x) = f(a), ¿qué se puede concluir?

Accepted Answer

g(x) puede ser continua o discontinua en x = a

Answer

No se puede determinar la continuidad de g(x) en x = a

Answer

g(x) es continua en x = a

Answer

g(x) es discontinua en x = a

Question 19

Una función f(x) es continua en un punto c si:

Accepted Answer

El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a f(c) y f(c) está definida.

Answer

La derivada de f(x) en c es cero.

Answer

f(c) es un número finito.

Question 20

El teorema del valor intermedio establece que si f(x) es continua en [a, b] y f(a) < f(b), entonces:

Accepted Answer

Existe un c en (a, b) tal que f(c) = (f(a) + f(b))/2.

Answer

f(x) es diferenciable en [a, b].

Answer

f(x) alcanza su máximo en [a, b].

Question 21

Una función f(x) es derivable en un punto c si y solo si:

Accepted Answer

f(x) es continua en c y f'(c) existe.

Answer

f(x) es diferenciable en un intervalo que contiene a c.

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en c es distinta de cero.

Answer

El límite de f'(x) cuando x tiende a c existe.

Question 22

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para una función f(x) continua en [a, b]?

Accepted Answer

El máximo y el mínimo de f(x) en [a, b] son valores alcanzados.

Answer

f(x) es cóncava en [a, b].

Answer

f(x) es creciente en [a, b].

Question 23

La gráfica de una función continua f(x) interseca el eje x en los puntos a y b, con a < b. Si f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces:

Accepted Answer

Existe al menos una raíz de f(x) = 0 en (a, b).

Answer

f(x) tiene un punto de inflexión en (a, b).

Answer

f(x) es cóncava hacia arriba en (a, b).

Answer

f(x) es creciente en (a, b).

Question 24

Una función f(x) es uniformemente continua en un intervalo [a, b] si:

Accepted Answer

Para cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que |f(x) - f(y)| < ε siempre que |x - y| < δ.

Answer

f(x) es continua en [a, b].

Answer

f(x) es derivable en [a, b].

Question 25

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la continuidad de una función en un punto es verdadera?

Accepted Answer

Una función es continua en un punto si y solo si sus límites por la derecha e izquierda son iguales y son iguales al valor de la función en ese punto.

Answer

Una función es continua en un punto si y solo si es integrable en ese punto.

Answer

Una función es continua en un punto si y solo si es derivable en ese punto.

Question 26

¿Cuál de las siguientes funciones no es continua en todo su dominio?

Accepted Answer

Función racional

Answer

Función trigonométrica

Answer

Función polinómica

Answer

Función exponencial

Question 27

Considera la función f(x) = 1/(x-1). ¿En qué número no está definida?

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

0

Answer

2

Question 28

Determina si la función f(x) = tan(x) es continua en x = π/2.

Accepted Answer

No es continua

Answer

Es continua por la derecha, pero no por la izquierda

Answer

Es continua por la izquierda, pero no por la derecha

Answer

Es continua

Question 29

Considera la función f(x) = sqrt(x+1). ¿En qué punto tiene una discontinuidad removible?

Accepted Answer

x = -1

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

En ningún punto

Question 30

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

Alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [a, b].

Answer

Es derivable en [a, b].

Answer

Es monótona en [a, b].

Question 31

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para probar la continuidad uniforme de una función en un intervalo?

Accepted Answer

Teorema de Heine-Cantor

Answer

Teorema del Valor Intermedio

Answer

Teorema de la composición de funciones continuas

Question 32

¿Cuál de las siguientes funciones NO es continua en todo su dominio?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2 + 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Question 33

Dada la función g(x) = { sin(x) si x < 0, x^2 + 1 si x >= 0 }, ¿es g(x) diferenciable en x = 0?

Accepted Answer

No, g(x) no es diferenciable en x = 0 porque el límite de la derivada de g(x) cuando x tiende a 0 por la izquierda es 1, mientras que el límite de la derivada de g(x) cuando x tiende a 0 por la derecha es 0, y estos límites no coinciden.

Answer

Sí, g(x) es diferenciable en x = 0 porque g(x) es continua en x = 0.

Answer

Sí, g(x) es diferenciable en x = 0 porque la derivada de g(x) existe en x = 0.

Question 34

Sea h(x) = { 1 / x si x != 0, 0 si x = 0 }. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es CORRECTA?

Accepted Answer

h(x) no es continua en x = 0 porque el límite de h(x) cuando x tiende a 0 no existe.

Answer

h(x) es continua en x = 0 porque h(0) está definida.

Answer

h(x) es continua en x = 0 porque el límite de h(x) cuando x tiende a 0 es igual a 0.

Question 35

Dada una función f(x) continua en el intervalo [a, b], ¿qué teorema garantiza la existencia de un punto c en (a, b) donde f(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)?

Accepted Answer

Teorema del valor medio

Answer

Teorema fundamental del cálculo

Answer

Teorema de Weierstrass

Answer

Teorema de Bolzano

Question 36

Si una función f(x) es continua en el intervalo [a, b] y f(a) * f(b) < 0, ¿qué teorema garantiza la existencia de al menos un punto c en (a, b) donde f(c) = 0?

Accepted Answer

Teorema de Bolzano

Answer

Teorema de Weierstrass

Answer

Teorema fundamental del cálculo

Question 37

¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una función f(x) sea continua en un punto x = a?

Accepted Answer

El límite de f(x) cuando x tiende a a debe existir y ser igual a f(a).

Answer

La función debe ser definida en x = a.

Answer

La derivada de f(x) debe existir en x = a.

Question 38

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera para que una función f(x) sea continua en un punto x = a?

Accepted Answer

f(a) está definido,  lim_(x→a) f(x) existe y lim_(x→a) f(x) = f(a).

Answer

El límite izquierdo de f(x) en x = a existe.

Answer

El límite derecho de f(x) en x = a existe.

Question 39

¿Para qué valor de k la función g(x) = {x^2 + 1 si x ≤ 2; kx si x > 2} es continua en x = 2?

Accepted Answer

k = 5

Answer

No existe tal valor de k.

Answer

k = 2

Answer

k = 4

Question 40

¿Cuál de las siguientes funciones NO es continua en su dominio?

Accepted Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^3 - 2x + 1

Question 41

Si f(x) y g(x) son funciones continuas en x = a, ¿cuál de las siguientes afirmaciones NO es necesariamente verdadera?

Accepted Answer

f(x)/g(x) es continua en x = a.

Answer

f(x) + g(x) es continua en x = a.

Answer

f(x) - g(x) es continua en x = a.

Answer

c * f(x) es continua en x = a para cualquier constante c.

Question 42

El Teorema del Valor Intermedio garantiza que, para una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b],...

Accepted Answer

toma todos los valores entre f(a) y f(b).

Answer

es derivable en el intervalo (a, b).

Answer

tiene un mínimo absoluto en el intervalo [a, b].

Answer

tiene un máximo absoluto en el intervalo [a, b].

Question 43

La función f(x) = 1/x presenta una discontinuidad...

Accepted Answer

infinita en x = 0.

Answer

es continua en todo su dominio.

Answer

evitable en x = 0.

Answer

de salto finito en x = 0.

Question 44

Si lim_(x→2-) f(x) = 3 y lim_(x→2+) f(x) = 5, entonces...

Accepted Answer

lim_(x→2) f(x) no existe.

Answer

f(x) es continua en x = 2.

Answer

f(2) = 3.

Answer

f(2) = 5.

Question 45

La función f(x) = √(x-4) es continua en...

Accepted Answer

[4, ∞).

Answer

(4, ∞).

Answer

(-∞, 4].

Question 46

Una función continua en un intervalo cerrado y acotado...

Accepted Answer

siempre alcanza un máximo y un mínimo absoluto en ese intervalo.

Answer

puede no tener un máximo o un mínimo absoluto en ese intervalo.

Answer

siempre es derivable en ese intervalo.