Definición de Integral: Concepto y Cálculo con Sustitución

Question 1

¿Cuál es la definición formal de la integral definida ∫[a,b] f(x) dx?

Accepted Answer

El límite de una suma de Riemann cuando el número de subintervalos tiende a infinito.

Answer

La derivada de f(x) en el intervalo [a, b].

Answer

El área bajo la curva de f(x) entre a y b.

Question 2

¿Qué interpretación geométrica corresponde a la integral definida ∫[a,b] f(x) dx, donde f(x) es no negativa?

Accepted Answer

El área de la región delimitada por la gráfica de f(x), el eje x y las líneas verticales x = a y x = b.

Answer

La longitud del arco de la gráfica de f(x) entre a y b.

Question 3

¿Cuál es la regla de sustitución para la integración?

Accepted Answer

Si f(u) es diferenciable con respecto a u y u = g(x), entonces: ∫f(u) du = ∫f(g(x)) g'(x) dx

Answer

Si f(x) es continua con respecto a x y g(x) es diferenciable con respecto a x, entonces: ∫f(x) g(x) dx = f(g(x)) g'(x) dx

Question 4

Calcula la integral: ∫e^(2x) sen(x) dx.

Accepted Answer

1/2 e^(2x) (sen(x) - cos(x)) + C

Answer

e^(2x) (sen(x) + cos(x)) + C

Answer

1/2 e^(2x) (sen(x) + cos(x)) + C

Answer

e^(2x) sen(x) + C

Question 5

La integral definida de una función f(x) entre los puntos a y b representa:

Accepted Answer

El área neta bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b

Answer

El valor máximo de f(x) en el intervalo [a, b]

Answer

La derivada de f(x) en x = a

Answer

La pendiente de la recta tangente a f(x) en x = b

Question 6

Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces la integral definida de f(x) entre a y b:

Accepted Answer

Existe y es un número real

Answer

Puede no existir o ser infinita

Answer

Siempre es igual a cero

Question 7

La integral definida de f(x) entre a y b, donde a > b, es:

Accepted Answer

Igual al negativo de la integral definida de f(x) entre b y a

Answer

Igual a la integral definida de f(x) entre a y b

Answer

Igual a cero

Question 8

La integral de una suma de funciones es:

Accepted Answer

Igual a la suma de las integrales de cada función

Answer

El producto de la suma de las funciones por la integral de la primera función

Answer

No se puede calcular la integral de una suma de funciones

Answer

La multiplicación de las integrales de cada función

Question 9

La integral definida de una constante k entre a y b es:

Accepted Answer

k(b-a)

Answer

0

Answer

k

Answer

k(a-b)

Question 10

La integral de f(x) = x^2 entre 0 y 2 es:

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

4

Answer

1

Question 11

En el método de integración por sustitución, se busca:

Accepted Answer

Transformar la integral en una más sencilla mediante un cambio de variable

Answer

Calcular la derivada de la función integrando

Answer

Resolver la integral por partes

Question 12

La integral de f(x) = sin(x) utilizando la sustitución u = cos(x) es:

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Question 13

El Teorema Fundamental del Cálculo establece la relación entre:

Accepted Answer

La integral definida y la función primitiva

Answer

La derivada y la continuidad

Answer

La integral definida y el límite

Answer

El límite y la continuidad

Question 14

La integral definida de f(x) sobre el intervalo [a, b] representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b

Answer

El valor máximo de f(x) en el intervalo [a, b]

Answer

La derivada de f(x)

Answer

La suma de los valores de f(x) en el intervalo [a, b]

Question 15

¿Para qué se utiliza el método de integración por sustitución?

Accepted Answer

Para simplificar la integral mediante un cambio de variable

Answer

Para hallar el valor máximo de una función

Answer

Para calcular el área bajo la curva de una función

Question 16

De las siguientes afirmaciones sobre la integral definida, ¿cuál es FALSA?

Accepted Answer

La integral definida de una función siempre es positiva

Answer

La integral definida de una función impar en un intervalo simétrico respecto al origen es cero

Answer

La integral definida de una función constante es igual al producto de la constante por la longitud del intervalo

Question 17

La integral indefinida de f(x) se define como:

Accepted Answer

La familia de funciones cuya derivada es f(x)

Answer

El área bajo la curva de f(x)

Answer

La derivada de f(x)

Question 18

Si la integral definida de f(x) sobre el intervalo [a, b] es cero, entonces:

Accepted Answer

f(x) puede ser cero en todo el intervalo o cambiar de signo en el intervalo

Answer

f(x) es cero en todo el intervalo

Answer

f(x) es siempre positiva en el intervalo

Question 19

En el método de integración por sustitución, ¿qué se reemplaza?

Accepted Answer

La variable de integración

Answer

La función a integrar

Answer

La constante de integración

Answer

Los límites de integración

Question 20

Si la integral definida de f(x) sobre el intervalo [a, b] es negativa, ¿qué significa?

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) por debajo del eje x es mayor que el área por encima del eje x

Answer

f(x) no es integrable

Answer

f(x) es siempre negativa en el intervalo

Question 21

¿Cuál es la integral indefinida de f(x) = x^2?

Accepted Answer

F(x) = (1/3)x^3 + C

Answer

F(x) = x^3 + C

Answer

F(x) = (1/2)x^3 + C

Answer

F(x) = 2x + C

Question 22

Si la integral definida de f(x) sobre el intervalo [a, b] es igual a la integral definida de la misma función sobre el intervalo [c, d], entonces:

Accepted Answer

No se puede concluir nada sobre la relación entre los intervalos [a, b] y [c, d]

Answer

Los intervalos [a, b] y [c, d] son iguales

Answer

Los intervalos [a, b] y [c, d] tienen la misma longitud

Question 23

¿Cuál es la interpretación geométrica de la integral definida de f(x) entre los puntos a y b?

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b

Answer

La pendiente de la recta tangente a f(x) en x = b

Answer

El valor máximo de f(x) entre x = a y x = b

Answer

La derivada de f(x) en x = b

Question 24

La integral definida de una función f(x) entre a y b se representa como:

Accepted Answer

∫_a^b f(x) dx

Answer

lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ f(x_i) Δx

Answer

f'(x)

Answer

d/dx ∫_a^b f(x) dx

Question 25

La suma de Riemann se utiliza para:

Accepted Answer

Aproximar el área bajo la curva de una función

Answer

Resolver una ecuación diferencial

Answer

Calcular la derivada de una función

Answer

Encontrar la raíz de una función

Question 26

El teorema fundamental del cálculo relaciona la integral definida con:

Accepted Answer

La derivada de la función

Answer

La función original

Answer

La suma de Riemann de la función

Answer

La integral indefinida de la función

Question 27

¿Cuál es el resultado de la integral indefinida de f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

2 + C

Answer

2x² + C

Answer

x + C

Question 28

La regla de integración por sustitución se utiliza para:

Accepted Answer

Simplificar la integral de una función compuesta

Answer

Encontrar la derivada de una función compuesta

Answer

Aproximar el área bajo la curva de una función

Answer

Resolver una ecuación diferencial

Question 29

Si la integral definida de f(x) entre a y b es 5, entonces la integral definida de -2f(x) entre a y b es:

Accepted Answer

-10

Answer

-5

Answer

5

Answer

10

Question 30

Calcula la integral definida de f(x) = x² entre 0 y 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

4

Answer

1/3

Question 31

La integral definida de una función impar entre -a y a es:

Accepted Answer

0

Answer

-a

Answer

a

Answer

a²

Question 32

La integral definida de una función constante c entre a y b es:

Accepted Answer

c(b - a)

Answer

c(b + a)

Answer

c

Answer

b - a

Question 33

La integral definida de una función f(x) entre los límites a y b representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) entre x=a y x=b

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la curva de f(x) alrededor del eje x

Answer

La pendiente de la recta tangente a la curva de f(x) en x=a

Answer

El valor de la función f(x) en x=b

Question 34

La integral indefinida de una función f(x) representa:

Accepted Answer

La familia de todas las funciones cuya derivada es f(x)

Answer

El valor de la función f(x) en un punto específico

Answer

El área bajo la curva de f(x) desde el origen hasta un punto específico

Question 35

La integral ∫(x^2 + 2x) dx es igual a:

Accepted Answer

(1/3)x^3 + x^2 + C

Answer

2x + 2 + C

Answer

x^3 + 2x^2 + C

Answer

(1/2)x^2 + x + C

Question 36

La integral definida ∫(x^2 + 1) dx entre los límites 0 y 1 es:

Accepted Answer

4/3

Answer

5/3

Answer

2/3

Answer

1

Question 37

La integral ∫(2x + 1)^2 dx se puede calcular utilizando la regla de la cadena. ¿Cuál es la función que debemos sustituir para simplificar la integral?

Accepted Answer

u = 2x + 1

Answer

u = 2x

Answer

u = x^2

Answer

u = 1

Question 38

La integral ∫(sin(x) + cos(x)) dx es igual a:

Accepted Answer

-cos(x) + sin(x) + C

Answer

-sin(x) - cos(x) + C

Answer

sin(x) + cos(x) + C

Answer

cos(x) - sin(x) + C

Question 39

La integral ∫(1/x) dx es igual a:

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

x^2 + C

Answer

x + C

Answer

1/(x^2) + C

Question 40

El método de integración por partes se utiliza para integrar funciones que son el producto de dos funciones. ¿Cuál de las siguientes opciones representa correctamente la fórmula de integración por partes?

Accepted Answer

∫u dv = uv - ∫v du

Answer

∫u dv = uv + ∫v du

Answer

∫u dv = u + v

Answer

∫u dv = ∫v du

Question 41

La integral ∫(x^3 + 2x^2) dx entre los límites -1 y 1 es:

Accepted Answer

1/2

Answer

-1/2

Answer

1

Answer

0

Question 42

La integral ∫(e^x + 1) dx es igual a:

Accepted Answer

e^x + x + C

Answer

x + C

Answer

e^x + C

Answer

e^(x+1) + C