Aproximación de funciones: Cálculo Numérico para Ingeniería Informática

Question 1

Determina la fórmula general de un polinomio de aproximación de grado 2 para aproximar una función $f(x)$ en un intervalo.

Accepted Answer

p(x) = a + bx + cx^2

Answer

p(x) = a + bx + cx

Answer

p(x) = a + bx^2 + cx^3

Answer

p(x) = a + bx + c

Question 2

Dados los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 5), calcula la matriz de diferencias divididas de primer orden.

Accepted Answer

[1, 2, 3]

Answer

[1, 1, 1]

Answer

[-1, 1, 3]

Answer

[1, -1, 1]

Question 3

En un spline cúbico, ¿cuál es la condición de contorno natural en el punto inicial $x_0$?

Accepted Answer

s''(x_0) = 0

Answer

s'''(x_0) = 0

Answer

s''''(x_0) = 0

Answer

s'''''(x_0) = 0

Question 4

Supongamos que queremos aproximar la función f(x) = sin(x) mediante un polinomio de grado 3 en el intervalo [0, π]. ¿Cuál es la forma general del polinomio de aproximación?

Accepted Answer

a + bx + cx² + dx³

Answer

a + bx + cx² + dx⁴

Answer

a + bx² + cx³ + dx⁴

Answer

a + bx³ + cx⁴ + dx⁵

Question 5

En el contexto de la interpolación spline, ¿qué propiedad garantiza que la función spline resultante sea continua?

Accepted Answer

Continuidad en los nodos

Answer

Continuidad en las derivadas terceras

Answer

Continuidad en las derivadas primeras

Answer

Continuidad en las derivadas segundas

Question 6

En la aproximación de una función mediante una spline, ¿cuál es el objetivo de la condición de contorno de Dirichlet?

Accepted Answer

Fijar el valor de la función spline en los puntos finales del intervalo de aproximación.

Answer

Fijar la primera derivada de la función spline en los puntos finales del intervalo de aproximación.

Answer

Fijar la segunda derivada de la función spline en los puntos finales del intervalo de aproximación.

Question 7

Supongamos que tenemos una función f(x) que es periódica. ¿Qué tipo de spline es más adecuada para aproximarla?

Accepted Answer

Spline periódica

Answer

Spline natural

Answer

Spline de Akima

Answer

Spline de Bézier

Question 8

En una aproximación spline, ¿cuál es el papel de los nudos?

Accepted Answer

Los puntos donde la función spline cambia de polinomio.

Answer

Los puntos donde la función spline es continua.

Answer

Los puntos donde la primera derivada de la función spline es continua.

Question 9

¿Cuál de los siguientes es un beneficio de utilizar la interpolación spline en lugar de la interpolación polinomial?

Accepted Answer

Mayor flexibilidad y precisión.

Answer

Menor complejidad computacional.

Answer

Requisitos de almacenamiento de datos más bajos.

Question 10

En un problema de aproximación de funciones, ¿qué factor influye principalmente en la elección del método de aproximación?

Accepted Answer

La naturaleza de la función y el nivel deseado de precisión.

Answer

El número de puntos de datos disponibles.

Answer

El software de análisis numérico utilizado.

Question 11

¿Cuál de los siguientes métodos de aproximación de funciones no es iterativo?

Accepted Answer

Polinomios de interpolación

Answer

Aproximación por mínimos cuadrados

Answer

Método de Newton-Raphson

Answer

Aproximación por ajuste de curvas

Question 12

¿Cuál de las siguientes condiciones es necesaria para que una función sea integrable?

Accepted Answer

Continuidad

Answer

Diferenciabilidad

Answer

Periodicidad

Answer

Monotonicidad

Question 13

¿Cuál de los siguientes métodos de aproximación de funciones utiliza una función de ponderación?

Accepted Answer

Regla de Simpson 1/3

Answer

Regla del rectángulo

Answer

Regla del punto medio

Answer

Regla del trapecio

Question 14

¿Cuál de los siguientes métodos de aproximación de funciones es más preciso para aproximar funciones altamente oscilantes?

Accepted Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación lineal

Answer

Regla del trapecio

Answer

Aproximación por mínimos cuadrados

Question 15

¿Qué técnica de aproximación de funciones se basa en el uso de polinomios?

Accepted Answer

Aproximación polinomial

Answer

Aproximación por diferencias finitas

Answer

Aproximación por fracciones continuas

Answer

Aproximación por splines

Question 16

Una spline cúbica que interpola los puntos (0, 1), (1, 2), (2, 3) y (3, 4) tiene la siguiente forma general:
P(x) = a + bx + cx² + dx³
Calcula el valor de 'a'.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

4

Question 17

El error en la aproximación de una función f(x) mediante un polinomio de grado n está acotado por:

Accepted Answer

M * h^(n+1) / (n+1)!

Answer

M * h^(n+2) / (n+2)!

Answer

M * h^(n) / n!

Answer

M * h^(n+1)

Question 18

La aproximación de una función usando diferencias divididas es un método de:

Accepted Answer

Interpolación polinomial

Answer

Integración numérica

Answer

Extrapolación

Answer

Ajuste por splines

Question 19

Las series de Fourier son útiles para aproximar funciones que son:

Accepted Answer

Periódicas

Answer

Continuas

Answer

Monótonas

Answer

No periódicas

Question 20

¿Qué tipo de función se emplea en la aproximación por polinomios?

Accepted Answer

Polinomio

Answer

Spline

Answer

Función racional

Question 21

¿Cuál es un factor decisivo a la hora de seleccionar el grado de un polinomio de aproximación?

Accepted Answer

Encontrar un equilibrio entre la precisión y la simplicidad del modelo

Answer

Maximizar el valor del coeficiente de correlación

Answer

Minimizar el número de puntos de interpolación

Question 22

En la aproximación de funciones racionales, ¿qué método iterativo se utiliza para construir la función racional aproximada?

Accepted Answer

Método de las fracciones continuas

Answer

Método de integración

Answer

Método para encontrar raíces

Question 23

¿Qué característica de los splines asegura la suavidad y continuidad de la función aproximada?

Accepted Answer

Continuidad de las derivadas

Answer

Mínima desviación de los puntos de datos

Answer

Interpolación exacta

Answer

Facilidad de cálculo

Question 24

En el contexto de la aproximación de funciones, ¿qué se entiende por error de aproximación?

Accepted Answer

La diferencia entre la función original y la función aproximada

Answer

La integral de la función aproximada

Answer

El derivado de la función original

Question 25

¿Cuál de las siguientes técnicas de aproximación NO es un método de interpolación?

Accepted Answer

Aproximación de Taylor

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación de splines

Answer

Interpolación polinómica

Question 26

Para ajustar los coeficientes de un polinomio de grado 2 que aproxima la función f(x) = e^x, ¿cuál es el conjunto de puntos más adecuado?

Accepted Answer

{(0, 1), (1, e), (2, e^2)}

Answer

{(0, e), (1, e^2), (2, e^3)}

Answer

{(0, 0), (1, e), (2, e^4)}

Answer

{(1, 0), (2, e), (3, e^6)}

Question 27

Indica cuál es el requisito fundamental para que una función sea uniformemente derivable:

Accepted Answer

Poseer derivadas continuas en todo el dominio

Answer

Tener una derivada acotada

Answer

Ser continua en todo el dominio

Answer

Ser diferenciable en todo el dominio

Question 28

En la interpolación de Lagrange, ¿cuál es la expresión del error de aproximación en un punto intermedio del intervalo [a, b]?

Accepted Answer

R(x) = f^(n+1)(ξ) / (n+1)!, donde ξ ∈ [a, b]

Answer

R(x) = f(x) - P(x), donde P(x) es el polinomio interpolador

Answer

R(x) = f'(x) / (n+1)

Answer

R(x) = f^(n)(x) / n!

Question 29

Indica la principal ventaja de un spline cúbico de Hermite en comparación con un spline cúbico natural:

Accepted Answer

Mayor control sobre las derivadas en los puntos de ajuste

Answer

Menor error de aproximación

Answer

Mayor simplicidad en el cálculo

Question 30

Encuentra la mejor aproximación de la función f(x) = x^2 en el intervalo [-1, 1] utilizando un spline cúbico natural.

Accepted Answer

x^2

Answer

x^3

Answer

-x^2

Answer

x^4

Question 31

Cuál de las siguientes técnicas de aproximación de funciones utiliza funciones racionales para representar la función original?

Accepted Answer

Aproximación de funciones racionales

Answer

Aproximación polinómica

Answer

Aproximación mediante diferencias finitas

Answer

Aproximación con splines

Question 32

Si se aproxima la función f(x) = e^x mediante un polinomio de segundo grado (grado 2), ¿cuál es el coeficiente del término x^2?

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

1

Answer

-1/2

Question 33

Para determinar el grado óptimo de un polinomio de aproximación, se utiliza el criterio de:

Accepted Answer

Minimizar el error cuadrático medio

Answer

Maximizar la pendiente de la recta tangente

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Minimizar el número de términos

Question 34

Si se utiliza un spline cúbico para aproximar una función, ¿cuántos puntos de control se necesitan para definir el spline?

Accepted Answer

n+1

Answer

n

Answer

n-1

Answer

2n

Question 35

¿Cuál de las siguientes propiedades caracteriza a los splines naturales?

Accepted Answer

Tienen derivadas segundas continuas.

Answer

Tienen derivadas primeras continuas.

Answer

Tienen una curvatura constante.

Answer

Ninguna de las anteriores

Question 36

Si se utiliza una aproximación de funciones racionales para aproximar una función que tiene una singularidad, ¿qué tipo de singularidad se puede manejar con esta técnica?

Accepted Answer

Singularidad de tipo polo

Answer

Singularidad de tipo salto

Answer

Singularidad de tipo esencial

Answer

Ninguna de las anteriores

Question 37

La principal ventaja de utilizar un spline para aproximar una función es que:

Accepted Answer

Proporciona una aproximación suave y continua.

Answer

Es preciso para funciones con altas derivadas.

Answer

Requiere pocos datos.

Answer

Es fácil de calcular.

Question 38

Si se utiliza la aproximación de Padé para aproximar una función con una singularidad en x=0, la fracción racional resultante tiene la forma:

Accepted Answer

[m/n](x) = (a_0 + a_1*x + ... + a_m*x^m) / (b_0 + b_1*x + ... + b_n*x^n)

Answer

[m/n](x) = (1 + a_1*x + ... + a_m*x^m) / (1 + b_1*x + ... + b_n*x^n)

Answer

[m/n](x) = (a_0 + a_1*x + ... + a_m*x^m) / (1 + b_0 + b_1*x + ... + b_n*x^n)

Question 39

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la aproximación de Chebyshev es correcta?

Accepted Answer

Minimiza el error máximo en un intervalo.

Answer

Maximiza el error mínimo en un intervalo.

Answer

Requiere el conocimiento de la derivada de la función.

Question 40

En una aproximación de splines de B-spline, las funciones de base tienen la forma de:

Accepted Answer

Polinomios por tramos

Answer

Funciones racionales

Answer

Funciones exponenciales

Answer

Funciones trigonométricas