Anillos y cuerpos: Conceptos y propiedades esenciales

Question 1

¿Cuál de los siguientes conjuntos NO es un anillo?

Accepted Answer

Los números racionales positivos

Answer

Los números enteros

Answer

Los números complejos

Answer

Los polinomios de grado ≤ 2 sobre un cuerpo

Question 2

¿Cuál de las siguientes operaciones define un cuerpo?

Accepted Answer

Suma y multiplicación

Answer

Suma y resta

Answer

Multiplicación y división

Answer

Suma, resta y multiplicación

Question 3

En un anillo R, se define un elemento invertible como aquel que tiene inverso multiplicativo. ¿Qué tipo de anillo es un anillo en el que todo elemento distinto de cero es invertible?

Accepted Answer

Cuerpo

Answer

Anillo conmutativo

Answer

Anillo con unidad

Answer

Anillo de división

Question 4

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un campo?

Accepted Answer

Los números racionales

Answer

Los números reales positivos

Answer

Los números complejos con parte real cero

Answer

Los números enteros

Question 5

Una propiedad esencial de los anillos es:

Accepted Answer

Poseer dos operaciones binarias: suma y multiplicación

Answer

Ser un conjunto con una única operación binaria

Answer

Ser una estructura algebraica con una sola operación unaria

Question 6

En un anillo R, ¿qué propiedad garantiza que (a + b) + c = a + (b + c) para todo c en R?

Accepted Answer

Asociatividad de la suma

Answer

Asociatividad de la multiplicación

Answer

Conmutatividad de la multiplicación

Answer

Conmutatividad de la suma

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los cuerpos es INCORRECTA?

Accepted Answer

Todo anillo es un cuerpo

Answer

Todo cuerpo tiene un elemento neutro para la multiplicación

Answer

Todo cuerpo tiene inversos multiplicativos

Answer

Todo cuerpo tiene un elemento neutro para la suma

Question 8

Para que un anillo con unidad R sea un cuerpo, ¿qué propiedad adicional debe cumplir?

Accepted Answer

Todo elemento no nulo de R tiene un inverso multiplicativo

Answer

R es un anillo conmutativo

Answer

R tiene un elemento neutro para la suma

Question 9

Define un campo. ¿Cuál de las siguientes descripciones es correcta?

Accepted Answer

Un anillo conmutativo con unidad donde todos sus elementos no nulos poseen inversos multiplicativos

Answer

Un anillo no conmutativo con un elemento neutro para la multiplicación

Answer

Un conjunto con dos operaciones binarias que cumplen propiedades específicas

Question 10

En un anillo, ¿qué operación tiene mayor precedencia?

Accepted Answer

Multiplicación sobre suma

Answer

Ambas tienen la misma precedencia

Answer

Suma sobre multiplicación

Question 11

Determina si el conjunto de números racionales con las operaciones usuales es un cuerpo:

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque la suma no es asociativa

Answer

No, porque no tiene un elemento neutro para la multiplicación

Answer

No, porque la multiplicación no es conmutativa

Question 12

Indica cuál de los siguientes conjuntos **no** es un cuerpo con las operaciones usuales:

Accepted Answer

Conjunto de números enteros

Answer

Conjunto de números racionales

Answer

Conjunto de números complejos

Answer

Conjunto de números reales

Question 13

En un campo finito, ¿qué propiedad cumple el número de elementos?

Accepted Answer

Es una potencia de un número primo

Answer

Es siempre primo

Answer

Es siempre par

Answer

Es divisible por 3

Question 14

Si R es un anillo y a, b ∈ R, ¿cuál afirmación es **siempre** verdadera?

Accepted Answer

(-a)b = a(-b)

Answer

a - b = b - a

Answer

a/b = b/a

Answer

(ab)⁻¹ = a⁻¹b⁻¹

Question 15

En un anillo de polinomios con coeficientes reales, ¿cuál es el elemento neutro para la suma?

Accepted Answer

Polinomio constante cero

Answer

Polinomio constante uno

Answer

Polinomio x^2

Answer

Polinomio x

Question 16

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre anillos es cierta?

Accepted Answer

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación.

Answer

Un anillo es un conjunto con una sola operación binaria.

Question 17

Sea R un anillo conmutativo con unidad. Dados a, b y c pertenecientes a R, entonces:

Accepted Answer

a(b + c) = ab + ac

Answer

a(b + c) = ba + cb

Answer

a(b + c) = (a + b)c

Question 18

¿Cuál de las siguientes estructuras algebraicas es un cuerpo?

Accepted Answer

Un campo numérico

Answer

Un grupo cíclico

Answer

Un monoide

Answer

Un anillo conmutativo

Question 19

Sea K un cuerpo. ¿Cuál de los siguientes elementos no tiene inverso multiplicativo?

Accepted Answer

0 (cero)

Answer

Cualquier elemento distinto de 0

Answer

1 (uno)

Answer

-1

Question 20

Sea R un anillo no conmutativo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

R puede tener divisores de cero.

Answer

R siempre es un grupo bajo la multiplicación.

Answer

R siempre es un cuerpo.

Answer

R siempre tiene un elemento identidad.

Question 21

¿Cuál de los siguientes conjuntos NO forma un cuerpo?

Accepted Answer

Los números enteros bajo las operaciones de suma y multiplicación

Answer

Los números racionales bajo las operaciones de suma y multiplicación

Answer

Los números complejos bajo las operaciones de suma y multiplicación

Question 22

En un cuerpo, ¿cuál de los siguientes elementos es el elemento neutro aditivo?

Accepted Answer

0

Answer

El elemento identidad multiplicativo

Answer

1

Answer

El elemento absorbente

Question 23

Un cuerpo finito de q elementos, donde q es un número primo, tiene ¿cuántos elementos invertibles?

Accepted Answer

q - 1

Answer

q^2

Answer

q

Answer

q/2

Question 24

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un cuerpo?

Accepted Answer

Los números racionales no nulos con las operaciones usuales.

Answer

Los números enteros módulo n, donde n es un número natural mayor que 1.

Answer

Los números enteros con las operaciones usuales.

Answer

Los números reales con la operación de suma y la multiplicación por un número distinto de cero.

Question 25

¿Cuál de los siguientes conjuntos no es un anillo?

Accepted Answer

Los números pares con las operaciones usuales

Answer

Los números enteros módulo n, donde n es un número natural mayor que 1.

Answer

Las funciones reales continuas con las operaciones de suma y composición.

Answer

Los polinomios con coeficientes reales y las operaciones usuales.

Question 26

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre cuerpos es verdadera?

Accepted Answer

Todos los cuerpos son anillos.

Answer

Los cuerpos son estructuras algebraicas más generales que los anillos.

Answer

Los cuerpos no tienen elementos invertibles.

Answer

Todos los anillos son cuerpos.

Question 27

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre anillos es verdadera?

Accepted Answer

Un anillo es un conjunto con dos operaciones que son asociativas, conmutativas y distributivas

Answer

Un anillo es un conjunto con dos operaciones que son distributivas, pero no asociativas ni conmutativas.

Answer

Un anillo es un conjunto con dos operaciones que son conmutativas, pero no asociativas

Answer

Un anillo es un conjunto con dos operaciones que son asociativas, pero no conmutativas

Question 28

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un cuerpo?

Accepted Answer

Los números racionales

Answer

Los números enteros

Answer

Los números irracionales

Answer

Los números naturales

Question 29

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el elemento neutro de un anillo es verdadera?

Accepted Answer

Es único

Answer

Puede haber varios elementos neutros

Answer

No existe elemento neutro

Answer

Es el mismo que el elemento absorbente

Question 30

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los ideales de un anillo es verdadera?

Accepted Answer

Son subconjuntos que están cerrados bajo la suma y la multiplicación por elementos del anillo

Answer

Son subconjuntos que están cerrados bajo la suma y la multiplicación, pero no bajo la resta

Answer

Son subconjuntos que están cerrados bajo la suma, pero no bajo la multiplicación

Answer

Son subconjuntos que están cerrados bajo la multiplicación, pero no bajo la suma

Question 31

¿Cuál es el orden del grupo multiplicativo del cuerpo de los números complejos?

Accepted Answer

Infinito

Answer

2

Answer

1

Answer

4

Question 32

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los homomorfismos de anillos es verdadera?

Accepted Answer

Preservan las operaciones de suma y multiplicación

Answer

Preservan la suma, pero no la multiplicación

Answer

Preservan la multiplicación, pero no la suma

Answer

No preservan ninguna de las operaciones

Question 33

¿Cuál es el anillo más pequeño que contiene un elemento no nulo que satisface x² = 0?

Accepted Answer

El anillo de los números enteros módulo 2

Answer

El anillo de los números enteros

Answer

El cuerpo de los números racionales

Answer

El anillo de los números complejos

Question 34

¿Cuál de los siguientes teoremas establece que todo cuerpo finito es un campo de Galois?

Accepted Answer

Teorema de Wedderburn

Answer

Teorema de Lagrange

Answer

Teorema de Cayley-Hamilton

Answer

Teorema de Fermat

Question 35

¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial sobre un cuerpo F de los polinomios de grado menor o igual que n?

Accepted Answer

n+1

Answer

2n

Answer

n²

Answer

n

Question 36

Sea R un anillo conmutativo con unidad. ¿Cuál de las siguientes propiedades es falsa para un ideal I de R?

Accepted Answer

I es un cuerpo

Answer

El producto de un elemento de I y un elemento de R pertenece a I

Answer

I es un subanillo de R

Answer

La suma de dos elementos de I pertenece a I

Question 37

El anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo F, denotado como F[x], es...

Accepted Answer

Un dominio de integridad

Answer

Un anillo sin unidad

Answer

Un anillo no conmutativo

Answer

Un cuerpo

Question 38

Sea R un anillo conmutativo con unidad. Si a, b ∈ R y a es un divisor de cero, entonces...

Accepted Answer

ab puede ser cero o no ser cero

Answer

ab es igual a a

Answer

ab es siempre cero

Answer

ab es siempre no cero

Question 39

El anillo ℤ/6ℤ es...

Accepted Answer

Un anillo conmutativo con unidad

Answer

Un anillo sin unidad

Answer

Un cuerpo

Answer

Un anillo no conmutativo

Question 40

Sea R un anillo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

Accepted Answer

El elemento neutro de la suma es único

Answer

R es un cuerpo

Answer

R es conmutativo

Answer

Todo elemento tiene un inverso multiplicativo

Question 41

El anillo de matrices cuadradas de tamaño n × n sobre un cuerpo F, denotado como M_n(F), es...

Accepted Answer

Un anillo no conmutativo

Answer

Un cuerpo

Answer

Un anillo conmutativo

Question 42

Un ideal $I$ de un anillo $R$ es maximal si...

Accepted Answer

No existe ningún ideal propio de R que contenga a I.

Answer

I contiene todos los elementos de R.

Answer

I es un subanillo de R.

Question 43

Un homomorfismo de anillos entre los anillos $R$ y $S$ es una función $f: R ightarrow S$ que preserva...

Accepted Answer

La suma y la multiplicación.

Answer

Solo la operación de suma o la de multiplicación, no ambas.

Answer

La multiplicación pero no la suma.

Answer

La suma pero no la multiplicación.