Integración Numérica de Ecuaciones Diferenciales: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

Para garantizar la estabilidad de un método de integración numérica multipaso, el polinomio característico asociado al método debe tener todas sus raíces:

Accepted Answer

Dentro del círculo unitario en el plano complejo

Answer

Sobre el eje real en el plano complejo

Answer

Sobre el eje imaginario en el plano complejo

Answer

Fuera del círculo unitario en el plano complejo

Question 2

El error de truncamiento del método de Euler es de orden:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 3

El método de separación de variables se puede utilizar para resolver EDOs de primer orden con:

Accepted Answer

Variables separables

Answer

Coeficientes constantes

Answer

Condiciones de contorno no homogéneas

Answer

Soluciones analíticas

Question 4

En el método de Gear de orden 2, ¿cuál es el orden del polinomio base utilizado para aproximar la solución?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

4

Question 5

En el método de Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45), ¿cuál es la diferencia clave entre los órdenes 4 y 5?

Accepted Answer

El orden 5 proporciona una estimación del error, lo que permite controlar el error y adaptar dinámicamente el tamaño del paso.

Answer

El orden 5 es más estable que el orden 4.

Answer

El orden 4 se utiliza para calcular la solución y el orden 5 es para estimación de error.

Answer

No hay diferencia significativa entre los órdenes 4 y 5.

Question 6

**El método de Runge-Kutta de orden 4 es:**

Accepted Answer

**Implícito y de un solo paso.**

Answer

Implícito y de varios pasos

Answer

Explícito y de varios pasos

Answer

Explícito y de un solo paso

Question 7

**La estabilidad de un método de integración numérica depende de:**

Accepted Answer

**El valor del paso y la ecuación diferencial.**

Answer

Solo del valor del paso

Answer

Solo de la ecuación diferencial

Answer

Ni del valor del paso ni de la ecuación diferencial

Question 8

**¿Cuál de los siguientes es un método de integración numérica multipaso?**

Accepted Answer

Método de Adams-Bashforth

Answer

Método de Euler

Answer

Método de Heun

Answer

Método de Runge-Kutta de orden 2

Question 9

**La convergencia de un método de integración numérica se refiere a:**

Accepted Answer

**La aproximación de la solución exacta a medida que el paso disminuye.**

Answer

La eficiencia del método

Answer

La estabilidad del método

Question 10

**El orden de convergencia de un método de integración numérica es:**

Accepted Answer

**La tasa a la que el error disminuye con respecto al paso.**

Answer

La estabilidad del método

Answer

El número de pasos necesarios para alcanzar una precisión dada

Question 11

**¿Cuál de los siguientes no es un factor a considerar al elegir un método de integración numérica?**

Accepted Answer

**La disponibilidad de software.**

Answer

La eficiencia del método

Answer

La estabilidad del método

Answer

La precisión requerida

Question 12

**En el método de Adams-Bashforth, el valor de yn+1 se calcula utilizando:**

Accepted Answer

Valores anteriores de y y f(y, t)

Answer

Solo valores anteriores de f(y, t)

Answer

Valores de y y f(y, t) en el punto t+1

Answer

Solo valores anteriores de y

Question 13

**El método de Euler hacia atrás es:**

Accepted Answer

**Implícito y de un solo paso.**

Answer

Explícito y de varios pasos

Answer

Implícito y de varios pasos

Answer

Explícito y de un solo paso

Question 14

**¿Cuál de los siguientes es un método de integración numérica que no requiere la evaluación de derivadas?**

Accepted Answer

Integración de trapezoides

Answer

Método de Euler

Answer

Método de Runge-Kutta

Question 15

En el método de integración numérica de Euler para resolver la ecuación diferencial ordinaria $y' = f(x,y)$, la aproximación de $y$ en el punto $x_n$ se calcula como:

Accepted Answer

$y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)$

Answer

$y_{n+1} = y_n - h f(x_{n-1}, y_{n-1})$

Answer

$y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_{n-1})$

Answer

$y_{n+1} = y_n - h f(x_n, y_n)$

Question 16

¿Cuál de los siguientes es un método de Runge-Kutta de orden 4 para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias?

Accepted Answer

Método de Runge-Kutta 4

Answer

Método de Euler

Answer

Método de Adams-Bashforth

Question 17

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la estabilidad de los métodos de integración numérica es cierta?

Accepted Answer

Un método explícito puede ser inestable para ciertos valores de $h$.

Answer

Todos los métodos implícitos son estables.

Answer

Todos los métodos explícitos son estables.

Question 18

¿Cuál de las siguientes transformaciones convierte una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden?

Accepted Answer

Transformación de Riccati

Answer

Transformación de Laplace

Answer

Transformación de Abel

Answer

Transformación de Liouville

Question 19

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para encontrar series de potencias que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias?

Accepted Answer

Método de Frobenius

Answer

Método de Superposición

Answer

Método de Variación de Parámetros

Answer

Método de Laplace

Question 20

La función $y(x) = e^x$ es una solución de la ecuación diferencial ordinaria:

Accepted Answer

$y'' - y = 0$

Answer

$y'' + 2y' + y = 0$

Answer

$y'' - 2y' + y = 0$

Answer

$y'' + y = 0$

Question 21

El método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias utiliza un paso por iteración. Este método es clasificado como:

Accepted Answer

Método de un paso

Answer

Método de dos pasos

Answer

Método implícito

Answer

Método multipaso

Question 22

El método de Runge-Kutta de orden 4 es conocido por:

Accepted Answer

Tener orden de convergencia 4

Answer

Ser un método implícito

Answer

Ser menos preciso que el método de Euler

Answer

Requerir solo una evaluación de la función por iteración

Question 23

Un método de integración numérica se considera estable si:

Accepted Answer

La solución numérica no crece sin control a medida que aumenta el número de iteraciones

Answer

El error de truncamiento disminuye a medida que aumenta el número de iteraciones

Answer

La solución numérica coincide exactamente con la solución analítica

Question 24

¿Cuál de los siguientes es un método multipaso para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias?

Accepted Answer

Método de Adams-Bashforth

Answer

Método de Runge-Kutta

Answer

Método de Euler

Question 25

El criterio de estabilidad de von Neumann para métodos de un paso afirma que el método es estable si:

Accepted Answer

|r|<1 para todos los valores propios de la matriz de amplificación

Answer

|r|>1 para todos los valores propios de la matriz de amplificación

Answer

r=1 para todos los valores propios de la matriz de amplificación

Answer

r=0 para todos los valores propios de la matriz de amplificación

Question 26

El método de integración numérica más apropiado para resolver una ecuación diferencial ordinaria rígida es:

Accepted Answer

Método implícito

Answer

Método explícito

Answer

Método de un paso

Answer

Método multipaso

Question 27

Dado el problema de valor inicial y' = f(x,y), y(x0) = y0, ¿cuál de los siguientes métodos de integración numérica es explícito?

Accepted Answer

Método de Euler

Answer

Método de Adams-Moulton

Answer

Método de Runge-Kutta de cuarto orden

Answer

Método de Adams-Bashforth

Question 28

El método de Euler se basa en aproximar la solución de la ecuación diferencial mediante:

Accepted Answer

La pendiente de la recta tangente en el punto inicial

Answer

La integral de la función f(x,y) en el intervalo del paso

Answer

La media de los valores de la solución en los puntos inicial y final del paso

Question 29

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es CORRECTA sobre el método de Runge-Kutta de cuarto orden?

Accepted Answer

Es un método de orden superior que proporciona una mayor precisión que el método de Euler.

Answer

Es un método explícito que solo utiliza la información del punto anterior en el tiempo.

Answer

Es un método de un paso que requiere solo una evaluación de la función f(x,y) por paso.

Question 30

El error de truncamiento local de un método de integración numérica se refiere a:

Accepted Answer

El error cometido en un solo paso del método

Answer

El error acumulado a lo largo de toda la integración

Answer

El error debido a la precisión finita de las operaciones aritméticas

Answer

El error causado por la elección del tamaño del paso

Question 31

La estabilidad de un método de integración numérica se refiere a:

Accepted Answer

La capacidad del método para mantener la solución numérica acotada en presencia de pequeños errores.

Answer

La velocidad de convergencia del método a la solución exacta.

Answer

La precisión del método en la solución numérica.

Question 32

Un método de integración numérica es convergente si:

Accepted Answer

La solución numérica converge a la solución exacta cuando el tamaño del paso tiende a cero.

Answer

El método tiene un orden de precisión alto.

Answer

El método es estable.

Question 33

Para resolver una ecuación diferencial con condiciones de contorno, ¿qué método de integración numérica sería más adecuado?

Accepted Answer

Métodos de diferencias finitas

Answer

Métodos de Adams-Bashforth

Answer

Métodos de Runge-Kutta

Answer

Métodos de Euler

Question 34

En un problema de valor inicial, la condición inicial proporciona:

Accepted Answer

El valor de la solución en el punto inicial

Answer

La solución analítica de la ecuación diferencial

Answer

El valor de la derivada en el punto inicial

Answer

El tamaño del paso de integración

Question 35

Un método de integración numérica de orden n significa que el error de truncamiento local es:

Accepted Answer

Proporcional a (Δt)^(n+1)

Answer

Proporcional a (Δt)^n

Answer

Independiente del tamaño del paso

Question 36

¿Cuál de los siguientes factores NO afecta la elección del tamaño del paso en la integración numérica?

Accepted Answer

La precisión del método de integración

Answer

La complejidad computacional del método

Answer

La estabilidad del método

Answer

La tolerancia al error

Question 37

¿Cuál de los siguientes métodos NO es un método de integración numérica para EDOs?

Accepted Answer

Método de Newton-Raphson

Answer

Método de Adams-Bashforth

Answer

Método de Euler

Answer

Método de Runge-Kutta de orden 4

Question 38

El método de Euler es un método de:

Accepted Answer

Un paso

Answer

Predicción-corrección

Answer

Multipaso

Answer

Dos pasos

Question 39

Un método de Runge-Kutta de orden 4 tiene un error de truncamiento local de orden:

Accepted Answer

h⁵

Answer

h²

Answer

h⁴

Answer

h³

Question 40

¿Qué método ofrece una mejor precisión en general: Euler o Runge-Kutta de orden 4?

Accepted Answer

Runge-Kutta de orden 4

Answer

Euler

Answer

Ambos tienen la misma precisión

Answer

Depende del problema

Question 41

Un método numérico se considera estable si:

Accepted Answer

Los errores numéricos no crecen exponencialmente con el tiempo

Answer

Converge para cualquier tamaño de paso

Answer

Siempre proporciona la solución exacta

Question 42

¿Cuál es la principal ventaja de los métodos multipaso sobre los métodos de un paso?

Accepted Answer

Mayor eficiencia computacional

Answer

No requieren condiciones iniciales

Answer

Son siempre estables

Answer

Mayor precisión para el mismo tamaño de paso

Question 43

El método de Adams-Bashforth es un ejemplo de método:

Accepted Answer

Multipaso explícito

Answer

Euler mejorado

Answer

Multipaso implícito

Answer

Runge-Kutta

Question 44

La convergencia de un método numérico para EDOs implica que:

Accepted Answer

La solución numérica se acerca a la solución exacta al disminuir el tamaño del paso

Answer

El método es estable para cualquier tamaño de paso

Answer

El método siempre proporciona la solución exacta

Question 45

¿Cuál de los siguientes factores NO afecta la elección del método numérico para resolver una EDO?

Accepted Answer

El lenguaje de programación utilizado

Answer

La estabilidad del problema

Answer

La precisión deseada

Answer

La eficiencia computacional

Question 46

¿Para qué tipo de problemas son especialmente útiles los métodos de integración numérica?

Accepted Answer

Problemas cuyas soluciones analíticas son difíciles o imposibles de obtener

Answer

Problemas con soluciones analíticas simples

Answer

Problemas lineales