Aplicaciones de las Matrices: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

En ingeniería mecánica, las matrices se utilizan principalmente para:

Accepted Answer

Resolver problemas de vibraciones, dinámica y análisis estructural

Answer

Simplificar ecuaciones diferenciales

Answer

Calcular promedios y desviaciones estándar

Question 2

Entre las siguientes operaciones, ¿cuál no se puede realizar con matrices?

Accepted Answer

División

Answer

Multiplicación

Answer

Resta

Answer

Suma

Question 3

El producto de dos matrices A y B es una matriz C cuyas filas son:

Accepted Answer

Combinaciones lineales de las filas de A y cuyas columnas son combinaciones lineales de las columnas de B

Answer

Una matriz con el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B

Question 4

El espacio nulo de una matriz A es el conjunto de todos los vectores que:

Accepted Answer

Multiplicados por A dan el vector cero

Answer

Son ortogonales a las columnas de A

Answer

Tienen una norma igual a uno

Answer

Son paralelos a las filas de A

Question 5

El álgebra de matrices se ocupa principalmente del estudio de:

Accepted Answer

Propiedades y operaciones de matrices

Answer

Análisis numérico

Answer

Ecuaciones diferenciales

Answer

Cálculo vectorial

Question 6

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de las matrices es relevante en ingeniería mecánica?

Accepted Answer

Análisis de estructuras

Answer

Contabilidad financiera

Answer

Planificación de recursos humanos

Answer

Predicción de tendencias económicas

Question 7

Utilizando la matriz de transformación que se muestra a continuación, determinar las nuevas coordenadas del punto (2, 3) después de la transformación: 
[[2 1] 
[1 3]]

Accepted Answer

(7, 11)

Answer

(2, 3)

Answer

(3, 2)

Answer

(11, 7)

Question 8

¿Cuál de las siguientes operaciones es equivalente a multiplicar una matriz A por un vector X?

Accepted Answer

Combinación lineal del vector X con los vectores columna de A

Answer

Suma de matrices

Answer

Producto escalar

Answer

Determinante

Question 9

El rango de una matriz es:

Accepted Answer

El número máximo de columnas linealmente independientes

Answer

El determinante de la matriz

Answer

El número total de filas

Question 10

En una matriz de adyacencia, cada elemento representa:

Accepted Answer

El peso del borde entre dos vértices

Answer

El grado de un vértice

Answer

La distancia entre dos vértices

Answer

El número de caminos entre dos vértices

Question 11

En el análisis de datos, una matriz de covarianza se utiliza para:

Accepted Answer

Estimar la correlación entre variables

Answer

Reducir la dimensionalidad de los datos

Answer

Detectar valores atípicos

Answer

Calcular la media y la varianza

Question 12

Una empresa de ingeniería mecánica está diseñando un sistema de suspensión para un nuevo vehículo. El sistema consta de tres resortes con constantes de resorte k1, k2 y k3, respectivamente. La fuerza total ejercida por los resortes se puede representar mediante la matriz [k1, k2, k3]. ¿Qué operación matricial se utiliza para calcular la fuerza total ejercida por los tres resortes si las deformaciones de los resortes son x1, x2 y x3, respectivamente?

Accepted Answer

Multiplicación de matrices

Answer

Transpuesta de una matriz

Answer

Resta de matrices

Answer

Suma de matrices

Question 13

Un sistema de ecuaciones lineales que representa el equilibrio de fuerzas en un mecanismo de manivela-biela se expresa como Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas (fuerzas) y b es el vector de términos independientes. ¿Qué método se puede utilizar para determinar la solución única de este sistema de ecuaciones?

Accepted Answer

Método de eliminación de Gauss-Jordan

Answer

Método de la matriz inversa

Answer

Método de la regla de Cramer

Answer

Método de la matriz transpuesta

Question 14

Un sistema de ecuaciones lineales que describe el movimiento de un robot de 6 grados de libertad se representa por Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de variables (posiciones y velocidades) y b es el vector de términos independientes. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el rango de la matriz A en este caso?

Accepted Answer

El rango de A debe ser igual a 6 para que el sistema tenga una solución única.

Answer

El rango de A debe ser menor que 6 para que el sistema tenga una solución única.

Answer

El rango de A debe ser mayor que 6 para que el sistema tenga una solución única.

Question 15

Se utiliza una matriz de transformación 3x3 para representar la rotación de un componente mecánico en el espacio tridimensional. ¿Qué tipo de transformación se realiza si la matriz de transformación es una matriz diagonal?

Accepted Answer

Escala en cada uno de los ejes

Answer

Reflexión sobre un plano

Answer

Rotación alrededor de un eje

Answer

Traslación en el espacio

Question 16

Una empresa de ingeniería mecánica está analizando la vibración de una estructura mecánica utilizando métodos matriciales. La matriz de masa y la matriz de rigidez de la estructura se representan mediante matrices de 4x4. ¿Qué tipo de operación matricial se utiliza para obtener la frecuencia natural de vibración de la estructura?

Accepted Answer

Determinante de una matriz

Answer

Traza de una matriz

Answer

Inversa de una matriz

Answer

Transpuesta de una matriz

Question 17

Un equipo de ingenieros mecánicos está utilizando un software de elementos finitos para analizar el comportamiento de un componente bajo carga. El software representa el componente como una malla de elementos finitos y utiliza matrices para calcular las fuerzas internas y desplazamientos en cada elemento. ¿Qué tipo de matriz se utiliza para almacenar las fuerzas internas en cada elemento?

Accepted Answer

Matriz de rigidez del elemento

Answer

Matriz de transformación del elemento

Answer

Matriz de amortiguamiento del elemento

Answer

Matriz de masa del elemento

Question 18

Se utiliza una matriz de 2x2 para representar la transformación de un punto en el plano. ¿Qué tipo de transformación se realiza si la matriz es una matriz de rotación?

Accepted Answer

Rotación alrededor de un punto

Answer

Reflexión sobre una línea

Answer

Traslación en el plano

Answer

Escala en el plano

Question 19

Un sistema de ecuaciones lineales que describe el flujo de calor en un cuerpo rígido se representa por Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas (temperaturas) y b es el vector de términos independientes. ¿Qué propiedad de la matriz A garantiza que el sistema tenga una solución única?

Accepted Answer

La matriz A debe ser invertible.

Answer

La matriz A debe ser ortogonal.

Answer

La matriz A debe ser diagonal.

Answer

La matriz A debe ser simétrica.

Question 20

Se utiliza una matriz de 4x4 para representar la transformación de un punto en el espacio tridimensional. ¿Qué tipo de transformación se realiza si la matriz es una matriz de traslación?

Accepted Answer

Desplazamiento del punto en el espacio

Answer

Rotación del punto alrededor de un eje

Answer

Escala del punto en cada uno de los ejes

Answer

Reflexión del punto sobre un plano

Question 21

Un sistema de ecuaciones lineales que representa el equilibrio de fuerzas en un mecanismo de engranajes se expresa como Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas (fuerzas) y b es el vector de términos independientes. ¿Qué método se puede utilizar para verificar si el sistema tiene una solución única?

Accepted Answer

Calcular el rango de la matriz A

Answer

Calcular el determinante de la matriz A

Answer

Calcular la traza de la matriz A

Question 22

¿Cuál de las siguientes matrices representa el sistema de ecuaciones lineales 2x + 3y = 5 y 4x - y = 7?

Accepted Answer

[2 3; 4 -1]

Answer

[2 4; 3 -1]

Answer

[4 1; -2 3]

Answer

[3 2; 1 4]

Question 23

Calcula el rango de la matriz A = [2 1; 1 2]

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

2

Answer

0

Question 24

Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones lineales representado por la matriz A = [2 3; 4 5] y el vector b = [1; 2].

Accepted Answer

x = -1, y = 1

Answer

x = 3, y = 2

Answer

x = 2, y = 3

Answer

x = 1, y = -1

Question 25

Calcula la matriz inversa de la matriz B = [1 2; 3 4]

Accepted Answer

[4 -2; -3 1]

Answer

[2 1; -3 4]

Answer

La matriz B no tiene inversa

Answer

[1 4; -3 -2]

Question 26

¿Cuál de las siguientes matrices es una matriz diagonalizable?

Accepted Answer

[1 0; 0 2]

Answer

[2 1; -1 2]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[1 0; 2 1]

Question 27

Calcula los autovalores de la matriz C = [3 2; -1 1]

Accepted Answer

1, 4

Answer

1, 2

Answer

3, 4

Answer

2, 3

Question 28

¿Cuál de las siguientes matrices representa una transformación lineal que refleja respecto al eje x?

Accepted Answer

[1 0; 0 -1]

Answer

[-1 0; 0 -1]

Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Question 29

Calcula la matriz de transición que lleva de la base estándar a la base B = {v1, v2} donde v1 = [1; 2] y v2 = [2; 3]

Accepted Answer

[1 2; 2 3]

Answer

[2 0; 3 1]

Answer

[1 0; 2 1]

Answer

[2 1; 3 2]

Question 30

¿Cuál de los siguientes vectores es un vector propio del operador lineal representado por la matriz A = [2 1; -1 2]?

Accepted Answer

[1; 1]

Answer

[1; 0]

Answer

[2; 1]

Answer

[0; 1]

Question 31

Calcula el valor propio correspondiente al vector propio [1; 1] del operador lineal representado por la matriz A = [2 1; -1 2]

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

1

Answer

4