Concepto de derivada: Definición y aplicaciones en Análisis Matemático I

Question 1

Calcula la derivada de la función f(x) = x³ - 2x² + x - 1 respecto a x.

Accepted Answer

3x² - 4x + 1

Answer

3x² + 4x - 1

Answer

x³ - 4x + 1

Answer

2x² - 4x

Question 2

Determina la derivada lateral por la izquierda de la función f(x) = |x| en el punto x = 0.

Accepted Answer

-1

Answer

0

Answer

No existe

Answer

1

Question 3

Sea f(x) una función continua en el intervalo [0, 2]. Si f'(x) > 0 para todo x en el intervalo (0, 2), ¿qué propiedad se puede afirmar sobre la función f en [0, 2]?

Accepted Answer

f es estrictamente creciente en [0, 2].

Answer

f es constante en [0, 2].

Answer

f es estrictamente decreciente en [0, 2].

Answer

f alcanza un máximo en [0, 2].

Question 4

¿Cuál de las siguientes funciones NO es derivable en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |2x - 1|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = x²

Question 5

Sea f(x) una función par. ¿Qué se puede decir sobre la derivada de f?

Accepted Answer

f'(x) es una función impar.

Answer

f'(x) es una función par.

Answer

f'(x) no es ni par ni impar.

Question 6

Considera la función f(x) = (x³ - 1) / (x² + 1). Calcula el valor de la derivada segunda de f en el punto x = 1.

Accepted Answer

2/3

Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

0

Question 7

Definición de derivada:

Accepted Answer

Límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero.

Answer

Área bajo la curva de la función entre dos puntos.

Answer

Pendiente de la recta secante entre dos puntos.

Question 8

El método de Newton-Raphson para encontrar raíces de f(x) consiste en:

Accepted Answer

Iterar el proceso x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n) hasta que |x_(n+1) - x_n| sea menor que una tolerancia.

Answer

Resolver la ecuación f(x) = 0 analíticamente.

Question 9

¿Cuál de las siguientes fórmulas es la definición formal de la derivada de f(x) en x = a?

Accepted Answer

lim_(h->0) [f(a+h) - f(a)] / h

Answer

lim_(x->a) [f(x) - f(a)] / x

Answer

lim_(h->0) [f(a+h) + f(a)] / h

Answer

lim_(x->0) [f(x) + f(a)] / x

Question 10

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre las derivadas de orden superior?

Accepted Answer

La derivada de orden n de una función f(x) es la derivada de la derivada de orden n-1 de f(x).

Answer

La derivada de orden n de una función f(x) es igual a la derivada de f(x) elevada a n.

Answer

La derivada de orden n de una función f(x) es siempre una función lineal.

Question 11

Calcula la derivada de la función f(x) = e^(3x) respecto a x.

Accepted Answer

3e^(3x)

Answer

e^(3)

Answer

e^(3x)/3

Answer

3xe^(3x)

Question 12

¿Cuál de los siguientes métodos se puede utilizar para calcular la derivada de la función f(x) = sen(x^2)?

Accepted Answer

Regla de la cadena

Answer

Regla del cociente

Answer

Regla de L'Hôpital

Answer

Regla del producto

Question 13

Sea f(x) = |x - 2|. ¿Cuál es la derivada de f(x) en x = 2?

Accepted Answer

No existe

Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para la derivada de una función creciente?

Accepted Answer

Su derivada es positiva.

Answer

Su derivada no existe.

Answer

Su derivada es negativa.

Answer

Su derivada es cero.

Question 15

Sea f(x) = sen(x). ¿Cuál es su derivada en el punto x?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

xcos(x)

Answer

-sen(x)

Answer

sen(x)

Question 16

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva y = x³ en el punto (1, 1)?

Accepted Answer

3

Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Question 17

Sea f(x) = |x - 2|. ¿Es diferenciable en x = 2?

Accepted Answer

No

Answer

Solo en x = 2

Answer

Solo en x = 0

Answer

Sí

Question 18

La derivada de una función f(x) es f'(x) = (x - 1)²(x + 2). ¿Cuáles son sus puntos críticos?

Accepted Answer

x = 1, -2

Answer

x = -1, -2

Answer

x = 1, 2

Answer

x = -1, 2

Question 19

¿Cuál de las siguientes NO es una propiedad de las derivadas?

Accepted Answer

Son siempre continuas

Answer

Pueden ser positivas, negativas o cero

Answer

Son lineales

Answer

Cumplen la regla de la cadena

Question 20

Calcula la derivada de la función f(x) = x^3 - 2x^2 + 1

Accepted Answer

3x^2 - 4x

Answer

3x^2 + 4x

Answer

x^2 - 4x^3

Answer

x^3 - 4x^2

Question 21

¿Cuál de las siguientes funciones NO es derivable en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|/x

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Question 22

Si f'(x) es la derivada de f(x), ¿cuál es la segunda derivada de f(x)?

Accepted Answer

f''(x)

Answer

f'(f(x))

Answer

(f'(x))^2

Answer

f(f'(x))

Question 23

Si f(x) es una función invertible y F(x) es su función inversa, ¿cuál es la derivada de F(x) en términos de f(x) y f'(x)?

Accepted Answer

F'(x) = 1/f'(F(x))

Answer

F'(x) = F(f(x))

Answer

F'(x) = f'(F(x))

Answer

F'(x) = f(F(x))