Aplicaciones de las Series: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

En la serie de potencias ∑_{n=0}^{∞} c_n (x-a)^n, el radio de convergencia R implica que la serie:

Accepted Answer

Converge para |x-a| < R.

Answer

Converge para todo x.

Answer

Converge para |x-a| > R.

Answer

Converge para |x-a| = R.

Question 2

El desarrollo en serie de potencias de f(x) = e^x centrado en x = 0 es:

Accepted Answer

∑_{n=0}^{∞} x^n/n!

Answer

∑_{n=0}^{∞} (-1)^n x^(n+1)/n!

Answer

∑_{n=0}^{∞} x^(2n)/(2n)!

Answer

∑_{n=0}^{∞} (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!

Question 3

El desarrollo en serie de potencias de f(x) = sen(x) centrado en x = 0 es:

Accepted Answer

∑_{n=0}^{∞} (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

∑_{n=0}^{∞} x^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

∑_{n=0}^{∞} (-1)^n x^n/n!

Answer

∑_{n=0}^{∞} x^n/n!

Question 4

La solución general de la ecuación diferencial y''+2y'+y=0 mediante el método de series de potencias es:

Accepted Answer

y = c_1 e^(-x) + c_2 e^x

Answer

y = c_1 sen(x) + c_2 cos(x)

Answer

y = c_1 + c_2 ln(x)

Answer

y = c_1 x + c_2

Question 5

El intervalo de convergencia de la serie de potencias ∑_{n=1}^{∞} (x+3)^n/n^2 es:

Accepted Answer

(-6, -2)

Answer

[-6, -2]

Answer

[-6, -2)

Answer

(-6, -2]

Question 6

Considera la serie de potencias (sum_{n=1}^{infty} \frac{x^n}{n!}). ¿A qué función representa?

Accepted Answer

Función exponencial e(x)

Answer

Función tan(x)

Answer

Función senoidal sin(x)

Answer

Función coseno cos(x)

Question 7

Dada la función f(x) = e^x, determina su serie de Maclaurin.

Accepted Answer

(sum_{n=1}^{infty} \frac{1}{n} x^n)

Answer

(sum_{n=1}^{infty} \frac{1}{n^2} x^n)

Answer

(sum_{n=1}^{infty} \frac{(-1)^n}{n} x^n)

Answer

(sum_{n=1}^{infty} \frac{(-1)^n}{n^2} x^n)

Question 8

¿Cuál es el parámetro que determina el dominio de convergencia de una serie de potencias?

Accepted Answer

Radio de convergencia

Answer

Límite de convergencia

Answer

Coeficiente de convergencia

Answer

Suma de la serie

Question 9

¿Qué método utiliza series para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden?

Accepted Answer

Método de las series de Frobenius

Answer

Método de Newton-Raphson

Answer

Método de Laplace

Answer

Método de Runge-Kutta

Question 10

¿Qué tipo de singularidad tiene una ecuación diferencial cuando el método de las series de Frobenius no se puede aplicar?

Accepted Answer

Singularidad irregular

Answer

Singularidad regular

Answer

Singularidad logarítmica

Answer

Singularidad esencial

Question 11

¿Cuál es la ecuación diferencial de segundo orden cuya solución general es y = c₁ cos(x) + c₂ sen(x)?

Accepted Answer

y'' + y = 0

Answer

y'' - y = 0

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y'' - 2y' + y = 0

Question 12

¿Cuál es el radio de convergencia de la serie ∑(n=1)^∞ (2x + 1)^n / 3^n?

Accepted Answer

3/2

Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

3

Question 13

¿Qué método se utiliza para resolver la ecuación integral ∫[a, x] f(t) dt = g(x)?

Accepted Answer

Transformada de Laplace

Answer

Método de Diferencias Finitas

Answer

Integración por Partes

Answer

Regla de Trapecios

Question 14

¿Cuál es el valor de la suma de la serie ∑(n=1)^∞ 1 / (2n - 1)?

Accepted Answer

π/2

Answer

2

Answer

1

Answer

π

Question 15

¿Cuál de las siguientes expresiones es la derivada de la serie ∑(n=1)^∞ n^2 x^(n-1)?

Accepted Answer

∑(n=2)^∞ n(n-1) x^(n-2)

Answer

∑(n=1)^∞ n^3 x^(n-1)

Answer

∑(n=1)^∞ n x^n

Answer

∑(n=1)^∞ n^2 x^n

Question 16

Determinar el valor de la serie geométrica: Σ (n=1 a ∞) (1/3)^n
**Suma de una serie geométrica**

Accepted Answer

1/2

Answer

-2

Answer

-1/2

Answer

2

Question 17

¿Cuál de los siguientes intervalos es de convergencia para la serie de potencias: Σ (n=0 a ∞) (x^n/n!)?
**Intervalo de convergencia**

Accepted Answer

(-∞, ∞)

Answer

(-1, 1)

Answer

[0, 1]

Answer

[-1, 1)

Question 18

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para aproximar el valor de una serie infinita?
**Métodos de aproximación de series**

Accepted Answer

Suma parcial

Answer

Integración

Answer

Regla de l'Hopital

Answer

Diferenciación

Question 19

¿Cuál de las siguientes series es convergente?

Accepted Answer

∑ (1/n^2)

Answer

∑ (1/n)

Answer

∑ (n/2)

Answer

∑ (n^2)

Question 20

Representa la función f(x) = e^x mediante una serie de potencias centrada en x=0.

Accepted Answer

∑ (x^n/n!)

Answer

∑ (x^n/(n+1)!)

Answer

∑ (x^(2n)/n!)

Answer

∑ (x^(n+1)/n!)

Question 21

Resuelve la ecuación diferencial y'' + y = 0 usando series.

Accepted Answer

y = C₁cos(x) + C₂sin(x)

Answer

y = C₁e^(x) + C₂e^(-x)

Answer

y = C₁x + C₂

Answer

y = C₁cos(x^2) + C₂sin(x^2)

Question 22

Determina si la serie ∑ (n/(n+1)^2) es absolutamente convergente.

Accepted Answer

Convergente

Answer

Divergente

Answer

No se puede determinar

Answer

Convergente condicionalmente