Integración Numérica: Métodos y Errores - Análisis Numérico para Ingeniería Mecánica

Question 1

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica posee mayor orden de convergencia?

Accepted Answer

Gauss-Legendre

Answer

Simpson

Answer

Trapecios

Answer

Rectángulos

Question 2

El método de los trapecios aplica la siguiente regla de integración numérica:

Accepted Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) * f(b))

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) - f(b)) / 2

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) / f(b))

Question 3

¿Cuál es la base del método de Gauss-Legendre?

Accepted Answer

Puntos de integración y pesos optimizados.

Answer

Una división iterativa del intervalo de integración.

Answer

Una transformación lineal del intervalo de integración.

Answer

Una sucesión de polinomios ortogonales.

Question 4

¿En qué condiciones sobrestima o subestima el método de los trapecios el valor de una integral definida?

Accepted Answer

Ambos, dependiendo de la función y el número de subintervalos.

Answer

Siempre subestima.

Answer

Siempre sobreestima.

Question 5

En el método de los trapecios, la integral definida ∫[a,b] f(x) dx se aproxima como:

Accepted Answer

[(b-a)/2] * [f(a) + f(b)]

Answer

[(b-a)/2] * [f(b) - f(a)]

Answer

[(a+b)/2] * [f(b) + f(a)]

Answer

[(a-b)/2] * [f(b) - f(a)]

Question 6

¿Cuál es una ventaja del método de Simpson 1/3 sobre el método de los trapecios?

Accepted Answer

Mayor precisión para polinomios de hasta grado 3

Answer

Mejor estabilidad numérica

Answer

Menor coste computacional

Answer

Aplicabilidad a funciones discontinuas

Question 7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el error de integración numérica es correcta?

Accepted Answer

El error surge tanto de la fórmula de integración como de la discretización de la función.

Answer

El error es siempre positivo

Answer

El error se puede eliminar totalmente aumentando el número de puntos de integración

Question 8

El método de integración numérica que utiliza una parábola como función interpolante es:

Accepted Answer

Simpson

Answer

Trapecios

Answer

Monte Carlo

Answer

Gauss-Legendre

Question 9

El método de integración numérica que generalmente proporciona la mayor precisión para una cantidad determinada de evaluaciones de función es:

Accepted Answer

Gauss-Legendre

Answer

Monte Carlo

Answer

Trapecios

Answer

Simpson

Question 10

El número de puntos de integración utilizados en el método de Gauss-Legendre depende principalmente de:

Accepted Answer

El grado del polinomio de interpolación

Answer

El intervalo de integración

Answer

La función a integrar

Answer

El tamaño del paso de integración

Question 11

El método de Monte Carlo para integración numérica se basa en el uso de:

Accepted Answer

Números aleatorios

Answer

Polinomios de interpolación

Answer

Cuadraturas gaussianas

Answer

La regla de los trapecios

Question 12

¿Cuál de los siguientes métodos de integración numérica tiene mayor orden de precisión?

Accepted Answer

Gauss-Legendre

Answer

Monte Carlo

Answer

Trapecios

Answer

Simpson

Question 13

¿Cuál de los siguientes no es un método de integración numérica?

Accepted Answer

Derivación numérica

Answer

Trapecios

Answer

Simpson

Answer

Gauss-Legendre

Question 14

¿Cuál de los siguientes es un inconveniente del método de Monte Carlo para la integración numérica?

Accepted Answer

Alta variabilidad en los resultados

Answer

Fácil implementación

Answer

Alta precisión

Question 15

¿Cuál de las siguientes fórmulas corresponde al método de los trapecios para calcular la integral de una función f(x) en el intervalo [a, b]?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * [f(a) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b - a) / 3 * [f(a) + 3f(m) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b - a) / 4 * [f(a) + 2f(m) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b - a) / 6 * [f(a) + 4f(m) + f(b)]

Question 16

En el método de Simpson, ¿cuál es el error de truncamiento para la aproximación de la integral de f(x) en el intervalo [a, b]?

Accepted Answer

O(h^4)

Answer

O(h^2)

Answer

O(h^6)

Answer

O(h^8)

Question 17

El método de Gauss-Legendre se basa en:

Accepted Answer

Fórmulas de cuadratura que utilizan puntos y pesos determinados analíticamente para minimizar el error.

Answer

Regla de la mano derecha.

Answer

Regla del punto medio.

Question 18

¿Para qué valor de n, el método de Gauss-Legendre utiliza n puntos de integración?

Accepted Answer

n + 1

Answer

3n

Answer

2n

Answer

n-1

Question 19

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los errores de integración es correcta?

Accepted Answer

El error de truncamiento disminuye a medida que aumenta el número de puntos de integración o el orden del polinomio de interpolación.

Answer

El error de redondeo aumenta a medida que aumenta el número de puntos de integración.

Answer

El error total es siempre igual a la suma del error de truncamiento y el error de redondeo.

Question 20

El método de integración por partes se puede utilizar para:

Accepted Answer

Transformar una integral en otra más sencilla de resolver utilizando la regla del producto.

Answer

Calcular integrales definidas de funciones discontinuas.

Answer

Aproximar integrales usando polinomios.

Question 21

¿Qué método de integración numérica es más preciso para integrar funciones que tienen derivadas de orden superior?

Accepted Answer

Métodos de Gauss-Legendre de orden superior (por ejemplo, Gauss-Legendre de 5 puntos)

Answer

Método de los trapecios

Answer

Método de Gauss-Legendre con 2 puntos

Question 22

¿Cuál de las siguientes fórmulas representa la regla del trapecio compuesta para estimar la integral definida de f(x) entre a y b?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a)/2n * [f(a) + 2∑[i=1,n-1] f(a + ih) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a)/n * [f(a) + ∑[i=1,n-1] f(a + ih) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a)/2 * [f(a) + f(b)]

Question 23

La regla de Simpson 1/3 compuesta se basa en aproximar la función f(x) dentro de cada subintervalo por:

Accepted Answer

Un polinomio de segundo grado

Answer

Una línea recta

Answer

Una función exponencial

Answer

Un polinomio de tercer grado

Question 24

Los puntos de cuadratura con pesos predefinidos se utilizan en:

Accepted Answer

Cuadratura de Gauss-Legendre

Answer

Regla del trapecio

Answer

Regla de Simpson

Answer

Método de Euler

Question 25

El error de truncamiento en la integración numérica surge debido a:

Accepted Answer

Aproximar la función integrando por un polinomio

Answer

El tamaño del intervalo de integración

Answer

La elección del método de integración

Answer

Errores de redondeo en los cálculos

Question 26

Al aumentar el número de subintervalos en la regla del trapecio compuesta, el error de truncamiento:

Accepted Answer

Disminuye

Answer

Se vuelve aleatorio

Answer

Aumenta

Answer

Permanece constante

Question 27

Para una función f(x) con una segunda derivada continua en el intervalo [a, b], la fórmula del error de truncamiento para la regla del trapecio compuesta es:

Accepted Answer

E ≈ -(b-a)^3 / 12n^2 * f''(ξ)

Answer

E ≈ -(b-a)^2 / 12n^2 * f''(ξ)

Answer

E ≈ -(b-a)^3 / 12n * f''(ξ)

Answer

E ≈ -(b-a)^3 / 24n^2 * f''(ξ)

Question 28

La regla de Simpson 1/3 compuesta tiene un error de truncamiento que es:

Accepted Answer

Proporcional a (b-a)^5 / n^4

Answer

Proporcional a (b-a)^3 / n^4

Answer

Proporcional a (b-a)^5 / n^2

Question 29

En la cuadratura de Gauss-Legendre, el grado máximo del polinomio que se puede integrar exactamente con n puntos de cuadratura es:

Accepted Answer

2n - 1

Answer

n - 1

Answer

n

Answer

2n

Question 30

Para integrar numéricamente una función con singularidades en el intervalo de integración, se recomienda:

Accepted Answer

Dividir el intervalo en subintervalos para evitar las singularidades

Answer

Utilizar la cuadratura de Gauss-Legendre

Answer

Aplicar la regla del trapecio compuesta

Question 31

La integración numérica se aplica en ingeniería mecánica para:

Accepted Answer

Resolver problemas de mecánica de fluidos, transferencia de calor y análisis estructural

Answer

Crear modelos de redes neuronales

Answer

Diseñar algoritmos de aprendizaje automático