Derivadas vectoriales: Conceptos y aplicaciones en Cálculo Vectorial

Question 1

¿Cuál es la derivada del vector posición respecto al tiempo?

Accepted Answer

Velocidad

Answer

Aceleración

Answer

Vector cero

Answer

Vector posición

Question 2

¿Qué representa la derivada parcial de una función escalar f con respecto a x?

Accepted Answer

Tasa de cambio de f con respecto a x

Answer

Tasa de cambio de x con respecto a f

Answer

Segunda derivada de f con respecto a x

Answer

Segunda derivada cruzada de f

Question 3

¿Qué define la divergencia de un campo vectorial F?

Accepted Answer

Medida de la "apertura" de un campo vectorial

Answer

Medida de la "cerradura" de un campo vectorial

Answer

Medida del flujo de F a través de una superficie

Answer

Medida de la circulación de F alrededor de una curva

Question 4

Calcula la derivada parcial de la función f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 respecto a x.

Accepted Answer

2x

Answer

x^2

Answer

2y

Answer

y^2

Question 5

Calcula el gradiente de la función f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 en el punto (1, 2, 3).

Accepted Answer

(2, 4, 6)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(3, 2, 1)

Answer

(4, 2, 6)

Question 6

Calcula la divergencia del campo vectorial F(x, y, z) = xmathbf{i} + ymathbf{j} + zmathbf{k} en el punto (1, 2, 3).

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

0

Question 7

Calcula el rotacional del campo vectorial F(x, y, z) = xmathbf{i} + ymathbf{j} + zmathbf{k} en el punto (1, 2, 3).

Accepted Answer

(0, 0, 0)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(2, 1, 0)

Answer

(0, 1, 2)

Question 8

¿Es el campo vectorial F(x, y, z) = xmathbf{i} - ymathbf{j} + zmathbf{k} irrotacional?

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Question 9

Calcula la divergencia del campo vectorial F = (x² + y²)i + (y² + z²)j + (z² + x²)k.

Accepted Answer

2(x + y + z)

Answer

1

Answer

0

Answer

2(x - y - z)

Question 10

La ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x, y) = sin(x) + cos(y) en el punto (π/4, π/3) es:

Accepted Answer

y - π/3 = (√2/2) (x - π/4)

Answer

y - π/4 = (√2/2) (x - π/3)

Answer

x - π/3 = (√2/2) (y - π/4)

Answer

x - π/4 = (√2/2) (y - π/3)

Question 11

La divergencia del campo vectorial F = (x^2, y^2, z^2) es:

Accepted Answer

2(x + y + z)

Answer

3(x + y + z)

Answer

x + y + z

Answer

0

Question 12

La derivada total de una función f(x, y) con respecto a t, siendo x = x(t) e y = y(t), viene dada por:

Accepted Answer

df/dt = (∂f/∂x) dx/dt + (∂f/∂y) dy/dt

Answer

df/dt = (∂f/∂x) dx/dt

Answer

df/dt = (∂f/∂x) + (∂f/∂y)

Question 13

Si z es una función diferenciable de x e y, y x e y son funciones diferenciables de t, entonces la derivada de z con respecto a t es:

Accepted Answer

dz/dt = (∂z/∂x) dx/dt + (∂z/∂y) dy/dt

Answer

dz/dt = (∂z/∂x) + (∂z/∂y)

Answer

dz/dt = (∂z/∂y) dy/dt

Answer

dz/dt = (∂z/∂x) dx/dt

Question 14

Sea f(x, y) una función diferenciable dos veces. El hessiano de f es:

Accepted Answer

Matriz de derivadas parciales segundas de f

Answer

Matriz de derivadas parciales primeras de f

Answer

Matriz de derivadas totales de f

Answer

Matriz de derivadas mixtas de f

Question 15

Determinar el gradiente de la función f(x,y) = e^(x^2 + y^2).

Accepted Answer

2xe^(x^2 + y^2) i + 2ye^(x^2 + y^2) j

Answer

e^(x^2 + y^2) i + e^(x^2 + y^2) j

Answer

2x i + 2y j

Answer

x^2e^(x^2 + y^2) i + y^2e^(x^2 + y^2) j

Question 16

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la divergencia del campo vectorial F(x,y) = x^2 i + xy j?

Accepted Answer

2x + y

Answer

x^2 + y^2

Answer

0

Answer

x + y

Question 17

Hallar el rotacional del campo vectorial F(x,y,z) = yi + xj + zk.

Accepted Answer

0

Answer

-x i - y j - z k

Answer

x i + y j + z k

Question 18

Las derivadas parciales de una función ¿cómo se calculan?

Accepted Answer

Derivando la función respecto a una variable, manteniendo las demás constantes.

Answer

Derivando la función respecto a una variable, variando las demás.

Answer

Derivando la función respecto a todas las variables simultáneamente.

Answer

Derivando la función respecto a una variable, considerando que las demás son funciones de esa variable.

Question 19

Calcula la derivada total de la función f(x, y) = x² + y³.

Accepted Answer

(2x, 3y²)

Answer

(x², 3y²)

Answer

(x, y)

Answer

(2x, y³)

Question 20

¿Qué representa el gradiente de una función escalar f(x, y, z)?

Accepted Answer

La dirección de la máxima tasa de cambio de f en un punto dado.

Answer

La dirección del flujo de f en un punto dado.

Answer

La velocidad de cambio de f en un punto dado.

Answer

La magnitud del cambio de f en un punto dado.

Question 21

La divergencia de un campo vectorial ¿qué nos indica?

Accepted Answer

La tendencia del campo a expandirse o contraerse en un punto dado.

Answer

La rotación del campo en un punto dado.

Answer

La magnitud del campo en un punto dado.

Answer

La dirección del flujo del campo en un punto dado.

Question 22

Calcula la divergencia del campo vectorial F(x, y, z) = (x, y, z).

Accepted Answer

3

Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Question 23

El rotacional de un campo vectorial ¿qué representa?

Accepted Answer

La tendencia del campo a rotar o girar alrededor de un punto dado.

Answer

La expansión o contracción del campo en un punto dado.

Answer

La dirección del flujo del campo en un punto dado.

Answer

La magnitud del campo en un punto dado.

Question 24

El Teorema del Gradiente establece que:

Accepted Answer

Si el gradiente de una función escalar es cero en un punto, la función es constante en ese punto.

Answer

Si el gradiente de una función escalar es distinto de cero en un punto, la función es creciente en ese punto.

Answer

Si el gradiente de una función escalar es cero en un punto, la función es decreciente en ese punto.

Answer

Si el gradiente de una función escalar es distinto de cero en un punto, la función es constante en ese punto.

Question 25

¿En qué aplicaciones es útil el rotacional de un campo vectorial?

Accepted Answer

En la determinación de la circulación de un fluido alrededor de un punto.

Answer

En la búsqueda de los máximos y mínimos de una función.

Answer

En el cálculo del trabajo realizado por una fuerza sobre un objeto.

Answer

En la determinación de la dirección del flujo de un campo.