Sistemas de Coordenadas: Cálculo Vectorial para Ingeniería Mecánica

Question 1

¿Qué sistema de coordenadas utiliza un punto, una recta y un plano como ejes?

Accepted Answer

Cartesianas

Answer

Cilíndricas

Answer

Esféricas

Question 2

En un sistema de coordenadas cilíndricas, ¿qué variable representa la distancia desde el eje z?

Accepted Answer

r

Answer

θ

Answer

z

Question 3

La ecuación de transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas es:

Accepted Answer

x = r cos(θ), y = r sen(θ), z = z

Answer

r = x^2 + y^2, θ = arctan(y/x), z = z

Answer

r = x^2 + y^2 + z^2, θ = arctan(y/x), z = z

Question 4

En un sistema de coordenadas esféricas, ¿qué variable representa el ángulo formado por el vector de posición y el eje z?

Accepted Answer

φ

Answer

θ

Answer

r

Question 5

La ecuación de una esfera en coordenadas esféricas es:

Accepted Answer

r = constante

Answer

θ = constante

Answer

φ = constante

Question 6

La ecuación de un plano en coordenadas cartesianas es:

Accepted Answer

Ax + By + Cz + D = 0

Answer

Ar + Bθ + Cz = 0

Answer

Ar + Bφ + Cθ = 0

Question 7

La ecuación de una línea recta en coordenadas cilíndricas es:

Accepted Answer

r = A + Bθ

Answer

θ = A + Br

Answer

z = A + Br

Question 8

Una curva en un sistema de coordenadas cilíndricas se define como r = 2cos(θ). ¿Cuál es la ecuación de la curva en un sistema de coordenadas polares?

Accepted Answer

r = 2

Answer

r = -2

Answer

r = 2sin(θ)

Answer

r = 4

Question 9

La distancia entre dos puntos con coordenadas cartesianas (x₁, y₁, z₁) y (x₂, y₂, z₂) es:

Accepted Answer

((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)^(1/2)

Answer

((x₂-x₁)+(y₂-y₁)+(z₂-z₁))^(1/2)

Answer

(|x₂-x₁|+|y₂-y₁|+|z₂-z₁|)/3

Answer

((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)^(1/2)

Question 10

El vector unitario en la dirección del vector (x, y, z) es:

Accepted Answer

(x/(x²+y²+z²)^(1/2), y/(x²+y²+z²)^(1/2), z/(x²+y²+z²)^(1/2))

Answer

((x²+y²+z²)^(1/2), (x²+y²+z²)^(1/2), (x²+y²+z²)^(1/2))

Answer

(x/y, y/z, z/x)

Answer

(x/|x|, y/|y|, z/|z|)

Question 11

El producto escalar de los vectores (x₁, y₁, z₁) y (x₂, y₂, z₂) es:

Accepted Answer

(x₁*x₂)+(y₁*y₂)+(z₁*z₂)

Answer

(x₁/x₂)+(y₁/y₂)+(z₁/z₂)

Answer

|x₁*y₂|+|y₁*z₂|+|z₁*x₂|

Answer

|x₁*x₂|+|y₁*y₂|+|z₁*z₂|

Question 12

La ecuación x² + y² = 4 en coordenadas cartesianas representa:

Accepted Answer

Un cilindro con radio 2.

Answer

Una esfera con radio 2.

Answer

Un plano.

Answer

Un cono con radio 2.

Question 13

¿Cuál de los siguientes sistemas de coordenadas es el más adecuado para representar una superficie esférica?

Accepted Answer

Coordenadas esféricas

Answer

Ninguno de los anteriores.

Answer

Coordenadas cilíndricas

Answer

Coordenadas cartesianas

Question 14

El punto (4, 30°, 2) en coordenadas cilíndricas se encuentra en el mismo lugar que el punto (x, y, z) en coordenadas cartesianas. ¿Cuál es el valor de x?

Accepted Answer

2√3

Answer

4

Answer

√3

Answer

2

Question 15

La ecuación ρ = 2 en coordenadas esféricas representa:

Accepted Answer

Una esfera con radio 2.

Answer

Un cono con radio 2.

Answer

Un plano.

Answer

Un cilindro con radio 2.

Question 16

Una superficie esférica tiene ecuación en coordenadas esféricas  `r = a`. ¿Cuál es su ecuación en coordenadas cartesianas?

Accepted Answer

x² + y² + z² = a²

Answer

x² + y² - z² = a²

Answer

x² - y² - z² = a²

Answer

x² - y² + z² = a²

Question 17

Un campo vectorial tiene componentes cartesianas (x, y, z). ¿Cuáles son sus componentes cilíndricas?

Accepted Answer

(r cos(θ), r sen(θ), z)

Answer

(x, y, θ)

Answer

(x, y, r)

Answer

(r, θ, z)

Question 18

Un rotor tiene su eje de rotación definido por el vector unitario (0, 0, 1). ¿Cuál es la matriz de rotación correspondiente en coordenadas cartesianas?

Accepted Answer

[[cos(θ), -sen(θ), 0], [sen(θ), cos(θ), 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, cos(θ), -sen(θ)], [0, sen(θ), cos(θ)]]

Answer

[[cos(θ), sen(θ), 0], [sen(θ), cos(θ), 0], [0, 0, 1]]

Question 19

El vector  `℘ = 3î + 2ĵ` está expresado en coordenadas cartesianas. ¿Cuáles son sus coordenadas cilíndricas?

Accepted Answer

(3, arctan(2/3), 2)

Answer

(2, arctan(2/3), 3)

Answer

(3, arctan(3/2), 2)

Answer

(2, arctan(3/2), 3)

Question 20

Un punto tiene coordenadas esféricas (4, π/3, π/4). ¿Cuáles son sus coordenadas cartesianas?

Accepted Answer

(2√2, 2, 2√2)

Answer

(2, 2√2, 2√2)

Answer

(2, 2, 2√2)

Answer

(2√2, 2√2, 2)

Question 21

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre los vectores unitarios en diferentes sistemas de coordenadas?

Accepted Answer

El vector unitario `ρᵢ` en coordenadas cilíndricas es tangente a la circunferencia en el plano xy.

Answer

El vector unitario `ρᵢ` en coordenadas cartesianas es perpendicular al plano xy.

Answer

El vector unitario `ρᵢ` en coordenadas esféricas es paralelo al eje z.

Question 22

Si Φ es un vector expresado en coordenadas cilíndricas como (r, θ, z), ¿cuál es la expresión del gradiente de Φ en coordenadas cartesianas?

Accepted Answer

(∂r/∂x, r(∂θ/∂y), ∂z/∂z)

Answer

(∂r/∂y, r(∂θ/∂y), ∂z/∂x)

Answer

(∂r/∂x, r(∂θ/∂x), ∂z/∂y)

Answer

(∂r/∂y, r(∂θ/∂x), ∂z/∂z)

Question 23

Se lanza una pelota desde el origen con una velocidad inicial de 10 m/s en la dirección de 30° con respecto al eje x. ¿Cuáles son las coordenadas polares de su posición después de 2 segundos?

Accepted Answer

(20 m, 30°)

Answer

(20 m, 60°)

Answer

(10 m, 30°)

Answer

(10 m, 60°)

Question 24

¿Cuál de los siguientes sistemas de coordenadas no es ortogonal?

Accepted Answer

Coordenadas cilíndricas

Answer

Coordenadas cartesianas

Answer

Coordenadas esféricas

Answer

Todos los sistemas de coordenadas mencionados son ortogonales

Question 25

Si f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2, ¿cuál es la expresión de f en coordenadas cilíndricas?

Accepted Answer

r^2

Answer

θ^2 + z^2

Answer

r^2 + z^2

Answer

r^2 + θ^2

Question 26

Un cilindro tiene un radio de 2 unidades y una altura de 5 unidades. ¿Cuál es el volumen del cilindro expresado en coordenadas cilíndricas?

Accepted Answer

10π

Answer

5π

Answer

25π

Answer

20π

Question 27

¿Cuál de las siguientes integrales representa el volumen de la esfera de radio R en coordenadas esféricas?

Accepted Answer

∫[0, π]∫[0, 2π]∫[0, R] ρ^2 sen(φ) dρ dφ dθ

Answer

∫[0, 2π]∫[0, π]∫[0, R] ρ^2 sen(φ) dρ dφ dθ

Answer

∫[0, R]∫[0, 2π]∫[0, π] ρ^2 sen(φ) dρ dφ dθ

Answer

∫[0, R]∫[0, π]∫[0, 2π] ρ^2 sen(φ) dρ dφ dθ

Question 28

Un campo vectorial está dado por ∇ = (x + y)ρ + (y - x)ς. ¿Cuál es la circulación de ∇ alrededor de un círculo de radio a centrado en el origen?

Accepted Answer

2πa^2

Answer

0

Answer

4πa^2

Answer

πa^2