Superficies en Geometría Analítica: Ecuaciones, Propiedades y Gráficas

Question 1

Determina la ecuación del cilindro cuya directriz es la elipse x^2/9 + y^2/4 = 1 y generatriz paralela al eje z.

Accepted Answer

x^2/9 + y^2/4 = z^2

Answer

x^2 + y^2 = z^2

Answer

x^2/9 + y^2/4 = (z - 1)^2

Answer

x^2/9 + y^2/4 = (z + 1)^2

Question 2

Calcula el área de la superficie total del cilindro con radio 2 y altura 5.

Accepted Answer

40π

Answer

5π

Answer

20π

Answer

10π

Question 3

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la superficie de un cilindro con radio 3 y eje en el eje z?

Accepted Answer

x^2 + y^2 = 9

Answer

x^2 - y^2 = 9

Answer

y^2 - x^2 = 9

Answer

z = 9

Question 4

Determina la intersección entre el plano x + y + z = 5 y la esfera (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 9.

Accepted Answer

Una circunferencia

Answer

Un punto

Answer

Un conjunto vacío

Answer

Una recta

Question 5

¿Cuál es la proyección ortogonal del punto (1, 2, 3) sobre el plano y = -1?

Accepted Answer

(1, -1, 3)

Answer

(0, -1, 3)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(1, 0, 3)

Question 6

La ecuación de una esfera con centro en el origen y radio 3 es:

Accepted Answer

x² + y² + z² = 9

Answer

x + y + z = 3

Answer

(x - 3)² + (y - 3)² + (z - 3)² = 9

Answer

x² + y² + z² = 3

Question 7

La superficie definida por la ecuación z = x² + y² es un:

Accepted Answer

Paraboloide elíptico

Answer

Hiperboloide

Answer

Elipsoide

Answer

Plano

Question 8

La ecuación del cilindro con eje sobre el eje z y radio 2 es:

Accepted Answer

x² + y² = 4

Answer

z² = 4

Answer

x² - y² = 4

Answer

x + y = 4

Question 9

La intersección del plano z = 2 y la esfera x² + y² + z² = 9 es:

Accepted Answer

Un círculo en el plano z = 2

Answer

Una hipérbola en el plano z = 2

Answer

Una elipse en el plano z = 2

Answer

Una parábola en el plano z = 2

Question 10

¿Cuál es la proyección ortogonal de la recta r: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t sobre el plano xy?

Accepted Answer

x = 1 + t, y = 2 - t

Answer

x = t, y = -t

Answer

z = 3 + 2t

Answer

x = 1, y = 2

Question 11

La superficie cónica generada por la rotación de la recta r: x = y, z = 0 alrededor del eje y es:

Accepted Answer

Un cono circular recto

Answer

Un cono elíptico

Answer

Un cono circular oblicuo

Answer

Un paraboloide

Question 12

La ecuación  x²/a² + y²/b² = 1 representa una superficie tridimensional conocida como:

Accepted Answer

Elipsoide

Answer

Cilindro

Answer

Cono

Question 13

El vector normal al plano con la ecuación 2x - 3y + z = 5 es:

Accepted Answer

(2, -3, 1)

Answer

(1, 1, 1)

Answer

(2, 3, -1)

Answer

(5, 0, 0)

Question 14

La ecuación de una esfera con centro en el origen y radio 4 es:

Accepted Answer

x² + y² + z² = 16

Answer

x² + y² + z² = 4

Answer

x + y + z = 16

Answer

x² + y² = 16

Question 15

La superficie representada por la ecuación x²/a² - y²/b² = 1 se conoce como:

Accepted Answer

Hiperboloide de una hoja

Answer

Cilindro

Answer

Hiperboloide de dos hojas

Answer

Paraboloide

Question 16

Un cilindro circular recto con eje coincidente con el eje z y radio 3 tiene la siguiente ecuación:

Accepted Answer

x² + y² = 9

Answer

x² + y² + z² = 9

Answer

x² + z² = 9

Question 17

La ecuación general de un cono con vértice en el origen y eje coincidente con el eje z es:

Accepted Answer

x²/a² + y²/b² = z²/c²

Answer

x²/a² - y²/b² = z²/c²

Answer

x² + y² = c²

Answer

x² + y² = z²

Question 18

La ecuación x² + y² = 4z define una superficie llamada:

Accepted Answer

Paraboloide elíptico

Answer

Hiperboloide de una hoja

Answer

Hiperboloide de dos hojas

Question 19

La ecuación del plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y es perpendicular al vector (2, -1, 1) es:

Accepted Answer

2x - y + z = 5

Answer

x + 2y + 3z = 14

Answer

x - 2y + z = -1

Answer

2x + y + z = 8

Question 20

La superficie que se genera al rotar la parábola y = x² alrededor del eje x tiene la siguiente ecuación:

Accepted Answer

y² + z² = x⁴

Answer

x² + y² = z⁴

Answer

x² + z² = y⁴

Answer

x² + y² + z² = x⁴

Question 21

La superficie representada por la ecuación x²/9 + y²/16 + z²/25 = 1 es un:

Accepted Answer

Elipsoide

Answer

Hiperboloide de una hoja

Answer

Hiperboloide de dos hojas

Answer

Paraboloide elíptico