Espacios vectoriales: definición y propiedades

Question 1

Un conjunto de vectores no nulos que, combinados linealmente, generan todo el espacio vectorial, se denomina:

Accepted Answer

Base

Answer

Combinación lineal

Answer

Generador mínimo

Answer

Plano vectorial

Question 2

El resultado de multiplicar una matriz por un vector es:

Accepted Answer

Un vector

Answer

Una matriz

Answer

Un escalar

Answer

Un tensor

Question 3

La dimensión de un espacio vectorial se define como:

Accepted Answer

El número de vectores linealmente independientes en una base

Answer

El número total de vectores en el espacio vectorial

Answer

El número de subespacios en el espacio vectorial

Answer

El número de dimensiones del espacio físico en el que se encuentra el espacio vectorial

Question 4

Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo siempre tiene, al menos:

Accepted Answer

Una solución

Answer

Ninguna solución

Answer

Solo una solución

Answer

Dos soluciones

Question 5

El núcleo de una transformación lineal es:

Accepted Answer

El conjunto de vectores que se transforman en el vector cero

Answer

El conjunto de vectores que son linealmente dependientes

Answer

El conjunto de vectores que son ortogonales al rango de la transformación

Answer

El conjunto de vectores que se transforman en vectores unitarios

Question 6

Los autovalores de una matriz simétrica son:

Accepted Answer

Números reales

Answer

Números racionales

Answer

Números negativos

Answer

Números complejos

Question 7

¿Qué es un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto no vacío V junto con dos operaciones binarias, suma de vectores y multiplicación escalar, que cumplen ciertas propiedades.

Answer

Un conjunto de puntos que forman una línea recta.

Answer

Un conjunto de números que se pueden sumar y multiplicar.

Question 8

¿Qué ocurre cuando se suman dos subespacios vectoriales?

Accepted Answer

El resultado es también un subespacio vectorial.

Answer

El resultado es siempre un espacio vectorial.

Answer

El resultado no siempre es un subespacio vectorial.

Question 9

¿Qué sucede cuando se multiplica un subespacio vectorial por un escalar?

Accepted Answer

El resultado es también un subespacio vectorial.

Answer

El resultado no siempre es un subespacio vectorial.

Answer

El resultado es siempre un espacio vectorial.

Question 10

¿Qué es el núcleo de una transformación lineal?

Accepted Answer

El conjunto de vectores que son mapeados al vector cero.

Answer

El conjunto de vectores que son mapeados a sí mismos.

Answer

El conjunto de vectores que son mapeados al vector unitario.

Question 11

¿Qué es la imagen de una transformación lineal?

Accepted Answer

El conjunto de todos los vectores que son alcanzados por la transformación.

Answer

El conjunto de todos los vectores que son mapeados al vector cero.

Answer

El conjunto de todos los vectores que son mapeados a sí mismos.

Question 12

¿Cuál es una definición válida de un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto V junto con dos operaciones internas, suma y multiplicación escalar, que satisfacen ciertas propiedades, como asociatividad, conmutatividad y distributividad.

Answer

Un conjunto de vectores que son linealmente independientes.

Answer

Un conjunto de vectores que forman una base.

Question 13

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los subespacios vectoriales es correcta?

Accepted Answer

Un subespacio vectorial es un conjunto no vacío que satisface las operaciones de suma y multiplicación escalar dentro del espacio vectorial, y contiene al vector cero.

Answer

Un subespacio vectorial tiene que tener la misma dimensión que el espacio vectorial.

Answer

Un subespacio vectorial está formado por vectores que son múltiplos escalares del mismo vector.

Question 14

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. ¿Cuál de las siguientes propiedades de la multiplicación escalar es válida?

Accepted Answer

Para cualquier escalar k en K y vectores u, v en V, se cumple que k(u + v) = ku + kv.

Answer

ku + kv = v + u

Answer

(k + 1)u = ku + u

Answer

k(u + v) = kuv

Question 15

Sea T: V → W un isomorfismo de espacios vectoriales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es válida?

Accepted Answer

T es una transformación lineal biyectiva.

Answer

T es biyectiva pero no es una transformación lineal.

Answer

T es una transformación lineal pero no es biyectiva.

Answer

T no es ni una transformación lineal ni biyectiva.

Question 16

¿En un espacio vectorial V sobre el cuerpo de los reales, cuál propiedad establece que la suma de dos vectores no depende del orden en que se sumen?

Accepted Answer

Ley conmutativa de la suma

Answer

Ley asociativa de la suma

Answer

Propiedad del elemento inverso

Answer

Propiedad del elemento neutro

Question 17

¿Cuál de las siguientes operaciones NO está definida para todos los pares de vectores de un espacio vectorial?

Accepted Answer

División de vectores

Answer

Producto interno

Answer

Suma de vectores

Answer

Multiplicación de un vector por un escalar

Question 18

En un espacio vectorial de dimensión n, ¿cuál es el máximo número de vectores linealmente independientes que pueden formar una base?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Question 19

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los subespacios vectoriales es verdadera?

Accepted Answer

La intersección de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.

Answer

La unión de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.

Answer

Todo subespacio vectorial tiene dimensión 1.

Question 20

¿Cuál de las siguientes transformaciones es una transformación lineal?

Accepted Answer

f(x) = Ax, donde A es una matriz

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 21

En un espacio vectorial de dimensión finita, ¿qué teorema garantiza la existencia de una base?

Accepted Answer

Teorema de la base

Answer

Teorema del rango-nulidad

Answer

Teorema de la dimensión

Answer

Teorema de la diagonalización

Question 22

¿Cuál de las siguientes normas vectoriales satisface la desigualdad triangular?

Accepted Answer

Norma euclidiana

Answer

Norma de Manhattan

Answer

Norma de Chebyshev

Answer

Norma del máximo