Formas cuadráticas: cuestionarios interactivos para Álgebra Lineal

Question 1

¿Cuál de las siguientes expresiones NO es una forma cuadrática?

Accepted Answer

x³ + y²

Answer

-2x² + y² - 3z²

Answer

x² + 2xy + y²

Answer

3x² - 5y² + 4z²

Question 2

¿Cuál de las siguientes formas cuadráticas es positiva definida?

Accepted Answer

x² + y² + 3z²

Answer

-x² + y² + 2z²

Answer

x² - 2xy + y²

Answer

x² - y² - z²

Question 3

La forma cuadrática f(x,y) = -x² + 2xy - y² tiene:

Accepted Answer

Una única dirección propia.

Answer

Ninguna dirección propia.

Answer

Tres direcciones propias ortogonales.

Answer

Dos direcciones propias ortogonales.

Question 4

Define una forma cuadrática.

Accepted Answer

Una función que asigna un escalar a un vector, expresada como un polinomio de segundo grado en las componentes del vector.

Answer

Una matriz cuadrada simétrica cuyas entradas son funciones de segundo grado de las variables.

Answer

Una función que asigna un vector a un escalar, expresada como un polinomio de primer grado en las componentes del vector.

Question 5

A una forma cuadrática se le asocia una matriz. ¿Cuál de las siguientes matrices es la correcta?

Accepted Answer

La matriz cuadrada simétrica cuyos elementos son los coeficientes del polinomio que define la forma cuadrática.

Answer

La matriz inversa de la matriz definida en la opción correcta.

Answer

La matriz transpuesta de la matriz definida en la opción correcta.

Question 6

Define una forma cuadrática definida positiva.

Accepted Answer

Una forma cuadrática que toma valores positivos para todo vector no nulo.

Answer

Una forma cuadrática que toma valores cero para todo vector no nulo.

Answer

Una forma cuadrática que toma valores negativos para todo vector no nulo.

Question 7

Define una forma cuadrática indefinida.

Accepted Answer

Una forma cuadrática que toma valores positivos y negativos para diferentes vectores no nulos.

Answer

Una forma cuadrática que toma valores negativos para todo vector no nulo.

Answer

Una forma cuadrática que toma valores positivos para todo vector no nulo.

Question 8

¿En qué áreas se aplican las formas cuadráticas?

Accepted Answer

Optimización, geometría analítica y física matemática.

Answer

Análisis complejo y teoría de funciones.

Answer

Álgebra abstracta y teoría de números.

Question 9

Una forma cuadrática se dice no definida si:

Accepted Answer

Puede tomar valores positivos y negativos.

Answer

Solo puede tomar valores positivos.

Answer

Solo puede tomar valores negativos.

Answer

Siempre es igual a cero.

Question 10

Una forma cuadrática es diagonalizable si:

Accepted Answer

Puede expresarse como una suma de cuadrados de formas lineales.

Answer

No puede expresarse como una suma de cuadrados de formas lineales.

Answer

Solo puede expresarse como una suma de cuadrados de formas lineales si su matriz asociada es diagonalizable.

Question 11

El rango de una forma cuadrática es:

Accepted Answer

La dimensión del subespacio generado por los vectores propios asociados a los autovalores no nulos.

Answer

La dimensión del subespacio generado por los vectores propios asociados a los autovalores negativos.

Answer

La dimensión del subespacio generado por los vectores propios asociados a los autovalores positivos.

Question 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las formas cuadráticas es **FALSA**?

Accepted Answer

Toda forma cuadrática se puede expresar como la suma de cuadrados perfectos.

Answer

La matriz asociada a una forma cuadrática es siempre simétrica.

Answer

Una forma cuadrática es una función homogénea de grado 2.

Question 13

Determina la matriz asociada a la forma cuadrática f(x, y) = x² + 2xy - y².

Accepted Answer

[[1, 1], [1, -1]]

Answer

[[1, -1], [-1, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Question 14

¿Es la forma cuadrática f(x, y) = x² - 2xy + 3y² definida positiva?

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Semidefinida positiva

Answer

Semidefinida negativa

Question 15

Encuentra el punto crítico de la función f(x, y) = 2x² + 4xy - y².

Accepted Answer

(0, 0)

Answer

(2, -1)

Answer

(1, -1)

Answer

(-1, 1)

Question 16

Considera la forma cuadrática f(x) = ax² + bx + c. ¿Qué valor debe tener 'c' para que f(0) = -1?

Accepted Answer

-1

Answer

-c

Answer

0

Answer

1

Question 17

Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 0), (-1, 0) y (0, 1).

Accepted Answer

x² + y² - 1 = 0

Answer

x² - y² - 1 = 0

Answer

x² + y² + 1 = 0

Answer

x² - y² + 1 = 0

Question 18

¿Cuál de las siguientes opciones representa una forma cuadrática en tres variables?

Accepted Answer

f(x, y, z) = x² + y² + z² + 2xy + 3yz - 4xz

Answer

f(x, y, z) = x + y + z

Answer

f(x, y, z) = x³ + y² + z

Answer

f(x, y, z) = xy + yz + xz

Question 19

¿Es la forma cuadrática f(x, y) = x² - 2y² + 4xy diagonalizable?

Accepted Answer

Sí

Answer

Depende del valor de x e y.

Answer

No se puede determinar con la información proporcionada.

Answer

No

Question 20

Identifica la expresión que representa una forma cuadrática en las variables *x* e *y*.

Accepted Answer

3x² - 2xy + 5y²

Answer

x² - y² + 4xy²

Answer

2x³ + 4xy - y

Answer

7x - 2y + 1

Question 21

Determina la matriz asociada a la forma cuadrática q(x, y) = x² - 4xy + 4y².

Accepted Answer

[[1, -2], [-2, 4]]

Answer

[[1, 2], [2, 4]]

Answer

[[1, -4], [-4, 4]]

Answer

[[1, 4], [4, 4]]

Question 22

Si una forma cuadrática q(x, y) es definida positiva, ¿qué se cumple para todos los valores de (x, y) ≠ (0, 0)?

Accepted Answer

q(x, y) > 0

Answer

q(x, y) < 0

Answer

q(x, y) ≥ 0

Answer

q(x, y) = 0

Question 23

Clasifica la forma cuadrática q(x, y) = -x² + 2xy - 2y² en función de su signo.

Accepted Answer

Indefinida

Answer

Definida negativa

Answer

Definida positiva

Answer

Semidefinida positiva

Question 24

Identifica la matriz que NO puede ser la matriz asociada a una forma cuadrática.

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[2, -1], [-1, 3]]

Answer

[[1, 2], [2, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 25

Si la forma cuadrática q(x, y) representa la energía potencial de un sistema y es definida positiva, ¿cómo se clasifica la estabilidad del sistema?

Accepted Answer

Estable

Answer

Neutro

Answer

Inestable

Answer

Oscilante

Question 26

¿Qué objetivo se busca al diagonalizar una forma cuadrática mediante una transformación lineal?

Accepted Answer

Eliminar los términos cruzados en la expresión algebraica

Answer

Invertir la matriz asociada

Answer

Convertir la matriz asociada a una matriz triangular superior