Transformaciones lineales: definición y propiedades

Question 1

¿Qué propiedad caracteriza a una transformación lineal?

Accepted Answer

Preserva las combinaciones lineales (suma de vectores y multiplicación por escalares).

Answer

Invierte la dirección de los vectores.

Answer

Cambia la dimensión del espacio vectorial.

Question 2

Determina si la transformación T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x + 2y, z) es lineal o no lineal.

Accepted Answer

Lineal

Answer

No lineal porque no preserva la resta.

Answer

No lineal porque no preserva el producto escalar.

Answer

No lineal porque no es inyectiva.

Question 3

¿Cuál de las siguientes propiedades es cierta para todas las transformaciones lineales?

Accepted Answer

Preservan las combinaciones lineales.

Answer

Son siempre sobreyectivas.

Answer

Son siempre inyectivas.

Answer

Son siempre biyectivas.

Question 4

¿Cuál de las siguientes transformaciones NO es lineal?

Accepted Answer

T: R² → R² definida por T(x, y) = (x², y²)

Answer

T: R³ → R³ definida por T(x, y, z) = (x - y, y + z, 2z)

Answer

T: R² → R² definida por T(x, y) = (2x + y, 3y - x)

Answer

T: R² → R² definida por T(x, y) = (x - 2, y + 1)

Question 5

¿Qué afirmación es verdadera sobre las transformaciones lineales inyectivas?

Accepted Answer

Tienen núcleo trivial (sólo el vector nulo está en el núcleo).

Answer

Son siempre biyectivas.

Answer

Su imagen es siempre todo el espacio de llegada.

Question 6

Sea T: R² → R² una transformación lineal tal que T(1, 0) = (2, 1) y T(0, 1) = (1, 2). La matriz asociada a T en la base canónica de R² es:

Accepted Answer

[(2, 1), (1, 2)]

Answer

[(2, -1), (1, -2)]

Answer

[(1, 2), (2, 1)]

Answer

[(1, -2), (2, -1)]

Question 7

Una transformación lineal es aquella que:

Accepted Answer

Satisface la propiedad aditiva y la propiedad multiplicativa por escalares

Answer

Solo se aplica a matrices cuadradas

Answer

Conserva la estructura de la suma

Question 8

Sea T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x - y, y + z). ¿Es T una transformación lineal?

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque T no es aditiva, es decir, T(u + v) ≠ T(u) + T(v) para algunos vectores u y v.

Answer

No, porque T no es homogénea, es decir, T(cx) ≠ cT(x) para algún vector x y escalar c.

Answer

No, porque T(0) = (0, 0) ≠ 0.

Question 9

¿Cuál de las siguientes propiedades es necesaria y suficiente para que una transformación T: V → W sea lineal?

Accepted Answer

T(u + v) = T(u) + T(v) para todo u, v en V y T(cu) = cT(u) para todo u en V y escalar c.

Answer

La imagen de T es un subespacio de W.

Answer

T(0) = 0

Answer

El núcleo de T es un subespacio de V.

Question 10

Sea T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x + y, y - z). ¿Es T sobreyectiva?

Accepted Answer

No

Answer

Sí, porque el núcleo de T es trivial.

Answer

Sí, porque T es lineal.

Answer

Sí, porque la imagen de T es un plano.

Question 11

Sea T: R² → R² una transformación lineal tal que T(e₁) = (1, 0) y T(e₂) = (0, 1), donde e₁ y e₂ son los vectores base estándar de R². ¿Cuál es la matriz de T?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 0], [1, 1]]

Answer

[[1, 1], [0, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 12

El valor de x para el cual el polinomio f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 es divisible entre x^2 - 1 es:

Accepted Answer

±1

Answer

±2

Answer

1

Answer

0

Question 13

Cuál de las siguientes opciones NO es una condición necesaria para que una transformación T: V → W sea lineal?

Accepted Answer

T(u + v) = T(u) + T(v) para algunos vectores u, v en V.

Answer

T(u + v) = T(u) + T(v) para todo u, v en V.

Answer

T(ku) = kT(u) para todo u en V y escalar k.

Answer

T(0) = 0, donde 0 representa el vector cero en V.

Question 14

Si T: V → W es una transformación lineal y dim(V) = n, dim(N(T)) = k, ¿cuál es la dimensión de la imagen de T?

Accepted Answer

n - k

Answer

k

Answer

n + k

Answer

n

Question 15

La transformación T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x + y, z) es:

Accepted Answer

Sobreyectiva

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Inyectiva

Answer

Biunívoca

Question 16

¿Qué es el núcleo de una transformación lineal T: V → W?

Accepted Answer

El conjunto de todos los vectores en V que se mapean al vector cero en W.

Answer

El conjunto de todos los vectores en V que se mapean a sí mismos.

Answer

El conjunto de todos los vectores en V que se mapean a vectores distintos de cero en W.

Answer

El conjunto de todos los vectores en W que tienen preimagen en V.

Question 17

Sea T: R² → R² la transformación lineal definida por una matriz A. Si det(A) = 0, ¿qué podemos concluir sobre T?

Accepted Answer

T no es invertible.

Answer

T es inyectiva.

Answer

T es la transformación identidad.

Answer

T es sobreyectiva.

Question 18

Si T: V → W es una transformación lineal inyectiva, ¿qué podemos concluir sobre el núcleo de T?

Accepted Answer

El núcleo de T contiene solo el vector cero.

Answer

El núcleo de T es igual a V.

Answer

El núcleo de T no está definido.

Answer

El núcleo de T es igual a W.

Question 19

Sean T: V → W y S: W → U transformaciones lineales. La composición S ∘ T es:

Accepted Answer

Una transformación lineal de V a U.

Answer

La composición S ∘ T no está definida.

Answer

Una transformación lineal de W a W.

Answer

Una transformación lineal de U a V.

Question 20

Si una transformación lineal T: V → V cumple T(T(v)) = T(v) para todo v en V, ¿cómo se llama a T?

Accepted Answer

Proyección

Answer

Reflexión

Answer

Rotación

Answer

Traslación

Question 21

¿Cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente una transformación lineal?

Accepted Answer

Es una función de un espacio vectorial sobre sí mismo que preserva las operaciones de suma y escalar.

Answer

Es una función inyectiva de un espacio vectorial sobre sí mismo.

Question 22

Si T: V → W y S: W → U son transformaciones lineales, entonces la composición S ∘ T es:

Accepted Answer

Una transformación lineal de V a U

Answer

Una transformación lineal de W a V

Answer

No necesariamente una transformación lineal

Answer

Una transformación afín

Question 23

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para todas las transformaciones lineales?

Accepted Answer

Preservan la independencia lineal.

Answer

Preservan la suma directa.

Answer

Son siempre inyectivas

Answer

Preservan el producto escalar.

Question 24

Sea T: V → V una transformación lineal. Suponga que T^2 = T. ¿Cuál es el rango de T?

Accepted Answer

El subespacio propio de V asociado con el valor propio 1

Answer

El espacio nulo de V

Answer

Todo V

Question 25

Sea T: R^2 → R^3 una transformación lineal dada por T(x, y) = (x + y, x - y, 2x). La matriz asociada con T es:

Accepted Answer

[[1, 1, 2], [1, -1, 0]]

Answer

[[1, 1], [1, -1]]

Answer

[[1, 1, 0], [1, -1, 2]]

Answer

[[1, -1, 2], [1, 1, 0]]

Question 26

Sea T: V → W una transformación lineal y sea U un subespacio de V. Entonces el conjunto T(U):

Accepted Answer

Es un subespacio de W.

Answer

Es siempre la imagen de T.

Answer

Puede no ser un subespacio de W.

Answer

Es siempre el núcleo de T.