Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

Selecciona la ecuación que corresponde a una ecuación diferencial de primer orden.

Accepted Answer

y' - xy = 0

Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y = x^3

Question 2

¿Qué método se emplea para resolver la ecuación diferencial y' + p(x)y = q(x)?

Accepted Answer

Factor integrante

Answer

Variación de constantes

Answer

Método de Euler

Answer

Separación de variables

Question 3

¿Bajo qué condición una ecuación diferencial de primer orden es exacta?

Accepted Answer

Cuando ∂M/∂y = ∂N/∂x

Answer

Cuando M y N son funciones de y

Answer

Cuando M/N es constante

Answer

Cuando M y N son funciones de x

Question 4

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación diferencial de primer orden?

Accepted Answer

y' + xy = 0

Answer

y'''' + xy = 0

Answer

y''' + xy = 0

Answer

y'' + xy = 0

Question 5

¿Cuál es la solución general de la ecuación y' = (1 + y^2) / x?

Accepted Answer

y = tan(x/2) + C

Answer

y = cot(x/2) + C

Answer

y = -tan(x/2) + C

Question 6

¿Cuál es la ecuación diferencial que representa el crecimiento poblacional de una especie a una tasa proporcional a su tamaño?

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = ky'

Answer

y' = k/y

Answer

y' = ky^2

Question 7

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación diferencial de primer orden?

Accepted Answer

dy/dx + y = x

Answer

dy/dx² + dy/dx = 0

Answer

d³y/dx³ - y = 0

Answer

d²y/dx² + dy/dx + y = 0

Question 8

¿Cuál es el orden de la ecuación diferencial d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = 0?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

4

Answer

3

Question 9

¿Cuál de las siguientes expresiones representa una ecuación diferencial de primer orden?

Accepted Answer

y' = x + y

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

sen(x) + cos(y) = 0

Answer

y = x^2 + y^2

Question 10

Determina la solución particular de la ecuación diferencial y' + y = e^x, con la condición inicial y(0) = 1.

Accepted Answer

y = (1/2)e^x + (1/2)

Answer

y = e^x + 1

Answer

y = (1/2)e^x - (1/2)

Answer

y = e^x - 1

Question 11

¿Qué método se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables?

Accepted Answer

Separación de variables

Answer

Variación de parámetros

Answer

Sustitución

Answer

Integración por partes

Question 12

Indica cuál de las siguientes afirmaciones sobre las ecuaciones diferenciales de Bernoulli es verdadera:

Accepted Answer

Son ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden.

Answer

Son ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Answer

Son ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Question 13

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales **representa** una ecuación de primer orden?

Accepted Answer

y' + xy = 0

Answer

y' = x^2 + y^2

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y'' = sin(y')

Question 14

¿Cuál de los siguientes factores de integración es válido para la ecuación diferencial y' + y = sen(x)?

Accepted Answer

e^x

Answer

x

Answer

e^(-x)

Answer

cos(x)

Question 15

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales **NO** es de primer orden?

Accepted Answer

$\frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0$

Answer

$ (1+x^2)dy - ydx = 0$

Answer

$\frac{dy}{dx} = 2x + 3$

Answer

$y' + xy = sin(x)$

Question 16

Determina la solución general de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx} = 2xy$.

Accepted Answer

$y = Ce^{x^2}$

Answer

$y = Ce^{-x^2}$

Answer

$y = Cx^2$

Answer

$y = Ce^{2x}$

Question 17

¿Cuál es el factor integrante de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$?

Accepted Answer

$x$

Answer

$x^2$

Answer

$e^x$

Answer

$\frac{1}{x}$

Question 18

Un tanque contiene inicialmente 100 litros de agua con 10 kg de sal disueltos. Se agrega agua pura al tanque a una tasa de 5 L/min, y la mezcla se mantiene uniforme mediante agitación constante. Si la solución sale del tanque a la misma tasa, ¿cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales describe la cantidad de sal $Q(t)$ en el tanque en el tiempo  $t$?

Accepted Answer

$Q'(t) = -\frac{Q(t)}{20}$

Answer

$Q'(t) = 10 - \frac{Q(t)}{20}$

Answer

$Q'(t) = -\frac{Q(t)}{100}$

Answer

$Q'(t) = 5 - \frac{Q(t)}{20}$

Question 19

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la pelota con constante de proporcionalidad $k = 0.1$ kg/s, ¿cuál es la ecuación diferencial que describe la velocidad $v(t)$ de la pelota en el tiempo $t$?

Accepted Answer

$m\frac{dv}{dt} = -mg - 0.1v$

Answer

$\frac{dv}{dt} = -g - 0.1v$

Answer

$m\frac{dv}{dt} = -0.1v$

Answer

$m\frac{dv}{dt} = -mg + 0.1v$

Question 20

Determina la solución particular de la ecuación diferencial $y' + 2y = 4x$ que cumple la condición inicial $y(0) = 1$.

Accepted Answer

$y = 2x - 1 + 2e^{-2x}$

Answer

$y = x^2 + e^{-2x}$

Answer

$y = 2x - 1$

Answer

$y = 2e^{-2x}$

Question 21

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las ecuaciones diferenciales exactas es **incorrecta**?

Accepted Answer

Toda ecuación diferencial de la forma $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es exacta.

Answer

La solución general de una ecuación diferencial exacta se puede encontrar mediante la integración de $M(x,y)$ con respecto a $x$ o $N(x,y)$ con respecto a $y$.

Answer

Una ecuación diferencial $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es exacta si y solo si $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$.

Question 22

Determina la solución general de la ecuación diferencial $(3x^2y + 2xy + y^3)dx + (x^2 + y^2)dy = 0$.

Accepted Answer

$x^3y + x^2y + \frac{y^4}{4} = C$

Answer

$x^3y + xy^2 = C$

Answer

$3x^2y + y^3 = C$

Answer

La ecuación no es exacta y no se puede resolver con los métodos vistos.

Question 23

Se tiene la ecuación diferencial $y' = y^2 - 4$. ¿Cuáles son las soluciones de equilibrio de esta ecuación?

Accepted Answer

$y = 2$ and $y=-2$

Answer

No tiene soluciones de equilibrio

Answer

$y = 0$

Answer

$y = 2$ and $y = 0$

Question 24

Se tiene la ecuación diferencial $y' = y(1-y)$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la solución  $y(t)$ que cumple $y(0) = 0.5$ es VERDADERA?

Accepted Answer

$\lim_{t 	o \infty} y(t) = 1$

Answer

La solución es periódica.

Answer

$\lim_{t 	o \infty} y(t) = \infty$

Answer

$\lim_{t 	o \infty} y(t) = 0$