Límites y continuidad: cuestionarios interactivos para Análisis Matemático I

Question 1

Determina si la función f(x) = 1 / (x - 2) es uniformemente continua en el intervalo [1, 3]

Accepted Answer

No, no es uniformemente continua

Answer

Sí, es uniformemente continua

Answer

No se puede determinar

Answer

Depende del valor de x

Question 2

¿Cuál de las siguientes propiedades es cierta para funciones continuas?

Accepted Answer

Son integrables

Answer

Son monótonas

Answer

Son convexas

Answer

Son diferenciables

Question 3

Determina si la función f(x) = arctan(x) es continua en el intervalo (0, π/2).

Accepted Answer

Sí, es continua en (0, π/2) porque es derivable en ese intervalo.

Answer

No, no es continua en ningún intervalo

Answer

No, solo es continua en el punto x = 0

Question 4

Calcula el límite de la función f(x) = (ln(x^2 + 1) / x) cuando x tiende a infinito.

Accepted Answer

0

Answer

∞

Answer

1

Question 5

¿Cuál de los siguientes teoremas es fundamental en el estudio de límites?

Accepted Answer

Teorema del Límite

Answer

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Answer

Teorema de Fermat

Question 6

¿Cuál de los siguientes teoremas se utiliza para probar la continuidad de una función racional, es decir, un cociente de dos polinomios?

Accepted Answer

Teorema del límite

Answer

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Answer

Teorema del valor intermedio

Answer

Teorema de Taylor

Question 7

¿Bajo qué condiciones una función es uniformemente continua en un intervalo cerrado?

Accepted Answer

Si es continua y acotada

Answer

Si es integrable y derivable

Answer

Si es monótona y creciente

Answer

Si es continua y diferenciable

Question 8

Proporciona la definición de límite de una función en un punto.

Accepted Answer

El valor al que se aproxima la función cuando el argumento se acerca a ese punto por ambos lados

Answer

El valor al que tiende la función cuando el argumento tiende a infinito

Answer

El valor de la función en el punto

Question 9

¿Qué significa que una función sea continua en un punto?

Accepted Answer

Tiene límite en el punto, es igual a su límite y es derivable en ese punto

Answer

No tiene límite en el punto, pero es derivable en ese punto

Answer

Tiene límite en el punto, pero no es igual a su límite

Question 10

Para calcular el límite de una función que presenta una indeterminación del tipo 0/0, ¿qué técnica se utiliza?

Accepted Answer

Regla de L'Hôpital

Answer

Regla del cociente

Answer

Regla de la cadena

Answer

Regla del producto

Question 11

Determina el intervalo de continuidad de la función f(x) = 1 / (x^2 - 1).

Accepted Answer

(-∞, -1) U (-1, 1) U (1, ∞)

Answer

(-1, 1)

Answer

(-∞, -1) U (1, ∞)

Answer

(-∞, 1) U (1, ∞)

Question 12

Define el concepto de límite de una función.

Accepted Answer

El límite de una función es el valor al que se aproxima la función cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor específico.

Answer

El valor de la función en el punto específico.

Question 13

¿Qué caracteriza a una función continua en un punto?

Accepted Answer

Una función es continua en un punto si su límite en ese punto es igual al valor de la función en ese punto.

Answer

Una función es continua en un intervalo si tiene una derivada en cada punto del intervalo.

Question 14

¿Cuál de las siguientes funciones es continua en todos los números reales?

Accepted Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Question 15

¿Qué tipo de discontinuidad ocurre cuando el límite de una función en un punto es diferente del valor de la función en ese punto?

Accepted Answer

Discontinuidad de salto

Answer

Discontinuidad infinita

Answer

Discontinuidad evitable

Answer

Discontinuidad esencial

Question 16

Para las funciones racionales, ¿cuál es el criterio de continuidad?

Accepted Answer

El denominador no puede ser cero.

Answer

El gráfico de la función no debe tener saltos.

Answer

El numerador debe ser divisible por el denominador.

Answer

La función debe ser derivable en todos los puntos.

Question 17

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los límites infinitos es correcta?

Accepted Answer

El límite de una función es infinito si el valor de la función crece sin límite a medida que el valor de la variable independiente se acerca a un valor específico.

Answer

El límite de una función es infinito si el valor de la función es cero en el punto específico.

Question 18

Calcula el límite cuando x tiende a 0 de la función f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

Indeterminado

Question 19

¿Cuál de las siguientes funciones es continua en el intervalo [0, 1]? 
f(x) = |x - 1|

Accepted Answer

No es continua

Answer

Es continua en [0, 1) pero no en 1.

Answer

Es continua en (0, 1)

Answer

Es continua

Question 20

Calcula el límite cuando x tiende a infinito de la función f(x) = (x^3 + 2x^2 - 1) / (x^2 - 4).

Accepted Answer

Infinito

Answer

Indeterminado

Answer

0

Answer

-1

Question 21

¿Cuál de los siguientes teoremas permite reducir el cálculo de un límite a la evaluación de un valor?

Accepted Answer

Teorema de sustitución directa

Answer

Teorema del valor intermedio

Answer

Teorema del sándwich

Answer

Teorema de límite de funciones algebraicas

Question 22

Determina si la función f(x) = 1 / (x^2 - 4) es discontinua en el punto x = 2.

Accepted Answer

Sí, discontinuidad evitable

Answer

Sí, discontinuidad saltatoria

Answer

Sí, discontinuidad esencial

Answer

No, es continua

Question 23

Calcula el límite cuando h tiende a 0 del incremento de la función f(x) = x^3 + 2x^2 - 5.

Accepted Answer

3x^2 + 4x

Answer

x^3 + 2x^2

Answer

3x + 2

Answer

x^2 + 2x

Question 24

¿Cuál de las siguientes condiciones es necesaria para que una función sea continua en un intervalo cerrado [a, b]? 
f(x) es continua en (a, b) y

Accepted Answer

f(a) = f(b)

Answer

f(x) es integrable en [a, b]

Answer

f(x) es diferenciable en (a, b)

Answer

f(x) es inyectiva en [a, b]

Question 25

Determina si la función f(x) = |x| es continua en el punto x = 0.

Accepted Answer

Sí

Answer

Sí, solo por la derecha

Answer

No

Answer

Sí, solo por la izquierda

Question 26

Calcula el límite cuando x tiende a -1 del incremento de la función f(x) = (2x + 3) / (x - 1).

Accepted Answer

5

Answer

Indeterminado

Answer

0

Answer

-5

Question 27

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre los límites laterales? 
f(x) tiene límite lateral izquierdo en a si y solo si

Accepted Answer

f(a) existe

Answer

f(x) es continua en a

Answer

f(x) es integrable en (a, a + ε) para todo ε > 0

Answer

f(x) es diferenciable en a